張 青，張 昆

（安徽農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院，安徽合肥230036）

近年來(lái)，關(guān)于連續(xù)型和離散型捕食系統(tǒng)的周期行為的研究吸引了諸多學(xué)者的關(guān)注．但在時(shí)標(biāo)上研究捕食系統(tǒng)的周期解的相關(guān)工作不多．時(shí)標(biāo)動(dòng)力學(xué)方程作為一種更為廣泛的方程類型，它包括了微分方程和差分方程作為特例，是近年新興的研究領(lǐng)域．自2006年Bohner等［5]首次運(yùn)用重合度理論中的延拓定理研究時(shí)標(biāo)動(dòng)力學(xué)方程的周期解存在性以來(lái)，相繼有些學(xué)者進(jìn)行了此類問(wèn)題的研究．經(jīng)典的Lotka－Volterra競(jìng)爭(zhēng)模型可表示為

這里x（t）和y（t）分別表示食餌和捕食者的密度，b1和b2分別表示兩種群的內(nèi)稟增，bi，aij（i，j＝1，2）均為正常數(shù)，其具體意義可見文獻(xiàn)［9] ．考慮到環(huán)境的變化，我們得到更適合的Lotka－Volterra競(jìng)爭(zhēng)模型

本文將在時(shí)標(biāo)上研究如下系統(tǒng)

的周期解存在性問(wèn)題．令x（t）＝exp（u1（t）），y（t）＝exp（u2（t）），當(dāng)T＝R時(shí)，系統(tǒng)（3）變成（2）．T＝Z（整數(shù)集）時(shí)，系統(tǒng)（3）變成

1 基本引理

為了證明周期解的存在性，先介紹重合度理論中的連續(xù)性定理．設(shè)X，Z是賦范向量空間，L：DomL?X→Z為線性映射，N：X→Z為連續(xù)映射．如果DimKerL＝codim ImL＜＋∞且ImL為Z中的閉子集，則稱映射L為指標(biāo)為0的Fredholm映射．如果ImL是指標(biāo)為0的Fredholm映射且存在連續(xù)投影P：X→X及Q：Z→Z使得lmP＝KerL，ImL＝Ker Q＝Im（I－Q），則L（I－P）X→ImL可逆，設(shè)其逆映射為Kp．設(shè)Ω為X中的有界開集，如果有界且Kp（I－Q）N→X是緊的，則稱N在為L(zhǎng)－緊．又因?yàn)镮mQ與Ker L同構(gòu)，所以存在同構(gòu)映射J：ImQ→Ker L．

引理1［10]（連續(xù)性定理）設(shè)L是指標(biāo)為0的Fredholm映射，N在為L(zhǎng)－緊的．假設(shè)：（a）對(duì)任意的λ∈（0，1），x∈?Ω，都有LxλNx；（b）對(duì)任意的x∈?Ω∩Ker L并且deg｛JQN；Ω∩Ker L；0｝0，則方程Lx＝Nx在DomL∩內(nèi)至少存在一個(gè)解．

引理2［11]設(shè)t1，t2∈Iω，t∈T，若g是T→R的ω－周期函數(shù)，則

2 主要結(jié)論

定義1 lω＝｛（u1，u2）∈（T，R2）：ui（t＋ω）＝ui（t），i＝1，2，?t∈T｝且

顯然lω是Banach空間．

證明 令X＝Z＝lω，定義

設(shè)Ω是X中的有界開集，顯然QN和Kp（IQ）N是連續(xù)的．因?yàn)閄是Banach空間，所以由Arzela－Ascoli定理知在Ω上是緊的，且QN）是有界的，于是N在上是L－緊的．

考慮算子方程Lx＝λNx，λ∈（0，1）即

設(shè)（u1（t），u2（t））T∈X是式（5）對(duì)應(yīng)某個(gè)λ∈（0，1）的一個(gè)解，在［k，k＋ω] 對(duì)式（5）積分得

由式（5）～式（7）得

因?yàn)椋踰1（t），u2（t）]T∈X，所以存在ξi，ηi∈［k，k＋ω] （i＝1，2）使得

由式（6）和式（7）得

于是

下面考慮兩種情況．

（I）若u1（η1）≥u2（η2）則由式（6）得

因此

由式（8），式（10）和式（11）得

所以

根據(jù)式（6）我們知道

于是

由（8），（10）和（15）得

所以

（II）若u1（η1）＜u2（η2）則由式（6）得

于是

由（8），（10）和（19）得

所以

根據(jù)式（6），我們知道

于是

由（8），（10）和（23）得

所以

顯然Si（i＝1，2，3，4）的取法與λ無(wú)關(guān)．記S＝max｛S1，S4｝＋max｛S2，S3｝＋S0其中S0為充分大的數(shù)，使得下面的代數(shù)方程組

如果方程組（27）無(wú)解，顯然有

定義2 φ：DomL×［0，1] →X：

至此，引理1的條件全部滿足，于是系統(tǒng)（3）至少存在一個(gè)ω－周期解．

3 結(jié)束語(yǔ)

文獻(xiàn)［9] 也研究了具有時(shí)滯的Lotka－Volterra競(jìng)爭(zhēng)模型的周期解問(wèn)題，其使用的方法是中心流形方法和規(guī)范型理論．本文運(yùn)用時(shí)標(biāo)上連續(xù)拓?fù)涠榷ɡ硌芯縇otka－Volterra競(jìng)爭(zhēng)模型的周期行為，建立了這類系統(tǒng)的周期解存在的一個(gè)充分性判據(jù)，使此類系統(tǒng)的連續(xù)與離散情形的周期解問(wèn)題得到統(tǒng)一．也就是說(shuō)，如果系統(tǒng)（3）至少存在一個(gè)ω－周期解，則系統(tǒng)（2）和（4）至少存在一個(gè)ω－周期解．所得結(jié)果是對(duì)該類模型研究結(jié)果很好的補(bǔ)充．

［1] Ding W，Han M．Dynamic of a non－autonomous predator－prey system with infinite delay and diffusion［J] ．Comput Math Appl，2008，56（5）：1 335－1 350．

［2] Zhang Z，Hou Z，Li W．Multiplicity of positive periodic solutions to a generalized delayed predator－prey system with stocking［J] ．Nonlinear Anal，2008，68（9）：2 608－2 622．

［3] Sun Y G，Saker S H．Positive periodic solutions of discret three－level food－chain model of Holling type II［J] ．Appl Math Compu．，2006，180（1）：353－365．

［4] Fan M．Wang Q．Periodic solutions of a class of nonautonomous discrete time semi－ratio－dependent predator－prey systems［J] ．Discrete Contin Dyn Syst Ser B，2004，4（3）：563－574．

［5] Bohner M，F(xiàn)an M，Zhang J M．Existence of periodic solutions in predator－prey and competition dynamic systems［J] ．Nonlinear Anal：RWA，2006，7（5）：1 193－1 204．

［6] 黃燕革，姚曉潔，黃勇．時(shí)間測(cè)度上具有Beddington－DeAngelis類功能反應(yīng)和擴(kuò)散的捕食系統(tǒng)的周期解［J] ．華南師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010，4（4）：19－26．

［7] 黎勇，秦發(fā)金．時(shí)間測(cè)度上具有Holling－N類功能反應(yīng)和擴(kuò)散的捕食系統(tǒng)的周期解［J] ．?dāng)?shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2010，40（2）：126－134．

［8] 劉振杰．時(shí)間測(cè)度上具有時(shí)滯基于比率的捕食者－食餌擴(kuò)散系統(tǒng)的周期解［J] ．?dāng)?shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2008，38（24）：235－239．

［9] Zhang J，Jin Z，Yan J，et al．Stability and Hopf bifurcation in a delayed competition system［J] ．Nonlinear Anall，2009，70：658－670．

［10] Gaines R E，Mawhin J L．Coincidence degree and nonlinear differential equations［M] ．Berlin Springer－Verlag：1977．

［11] Fan M，Wang K．Periodic solutions of a discrete time nonautonomous ratio－dependent predator－prey system［J] ．Math Comput Modelling，2002，35（9－10）：951－961．