張鋼，殷慶振，阮娟，蔣德得，高剛

(上海大學(xué) 機(jī)電工程與自動(dòng)化學(xué)院，上海 200072)

永磁懸浮是利用永磁體之間的作用力來(lái)實(shí)現(xiàn)懸浮物體在全部或部分自由度上的穩(wěn)定懸浮，它不需主動(dòng)電子控制系統(tǒng)，不僅節(jié)省了電力消耗，更重要是省掉了可能失效的復(fù)雜的控制系統(tǒng)部件，使系統(tǒng)更加可靠，使用壽命更長(zhǎng)，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、工作可靠、無(wú)磨損、能耗小等突出優(yōu)點(diǎn)。永磁軸承可與電磁軸承、機(jī)械軸承、空氣軸承和超導(dǎo)體磁軸承等相結(jié)合，構(gòu)成各種形式的磁軸承系統(tǒng)，具有廣泛應(yīng)用前景[1-2]。

在永磁軸承設(shè)計(jì)中，磁軸承本身承載能力和剛度十分重要。其承載能力可以通過(guò)堆疊以及恰當(dāng)?shù)慕Y(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)高承載力、高剛度來(lái)滿(mǎn)足要求。阻尼可以通過(guò)引入機(jī)械阻尼器、電磁阻尼器來(lái)實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力穩(wěn)定。

針對(duì)永磁軸承力學(xué)特性，國(guó)內(nèi)、外學(xué)者進(jìn)行了大量的工作，建立了各自的模型及計(jì)算公式[3-6]，但針對(duì)永磁軸承支承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的具體研究還十分不足。下文以軸向磁化的永磁軸承為研究對(duì)象，建立永磁軸承的剛度矩陣，分析永磁軸承尺寸參數(shù)對(duì)各剛度的影響。

1 永磁軸承的分析模型

為便于建立解析模型，取一個(gè)動(dòng)磁環(huán)和相鄰的一個(gè)靜磁環(huán)作為研究對(duì)象，建立如圖1所示直角坐標(biāo)系，一對(duì)磁環(huán)在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為：上磁環(huán)中心坐標(biāo)(0,0,z2)，下磁環(huán)中心坐標(biāo)(0,0,z1)。環(huán)外徑為R, 磁環(huán)高度為b, 磁環(huán)厚度為a。

圖1 單個(gè)軸向磁化永磁軸承空間坐標(biāo)系

2 永磁軸承的剛度矩陣

在懸浮系統(tǒng)中，由于轉(zhuǎn)子繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)，不考慮繞z軸旋轉(zhuǎn)自由度，因此剛度矩陣是5×5矩陣[7]。

(1)

坐標(biāo)變換到柱坐標(biāo)系中，磁體為圓柱體，則Kxx=Kyy=Kr，Kαα=Kββ=Kφ；磁場(chǎng)是保守場(chǎng)，因此剛度矩陣為對(duì)稱(chēng)陣，即Kij=Kji。

在轉(zhuǎn)子處于中心位置時(shí)，沿z軸移動(dòng)磁環(huán)，徑向力始終為零，因此除Kzz=Kz之外，第3行和第3列都為零。

沿x軸移動(dòng)磁環(huán)，力Fy和力矩Mx始終為0，因此，Kyx=Kαx=0；同理Kβα=Kxα=0，Kyβ=Kβy=0。因此在柱坐標(biāo)系中，5自由度永磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的剛度矩陣可簡(jiǎn)化成

(2)

式中：下標(biāo)r,φ,z分別代表相應(yīng)矢量在徑向、周向和軸向的分量。

由Earnshaw定律可知[8]：2Kr+Kz=0，因此只需考慮3個(gè)未知?jiǎng)偠鹊闹怠?/p>

2.1 力與力矩的推導(dǎo)

運(yùn)用等效電流法分析永磁體的受力，由洛侖茲定律可得力的計(jì)算公式[9]

(3)

磁學(xué)基本公式可得[10]

(4)

(5)

(6)

由上式推導(dǎo)得到圓柱永磁體的軸向力和y軸力矩。

Fz=2πRJφ[Aφ(R,z2+0.5b)-Aφ(R,z2-0.5b)]，

(7)

My=-JφBz(Rcos2φzsinφy-z2cosφzcosφy)+

JφBr(Rsin2φzcosφz+Rz2cos3φzcosφy+

z2cos2φzsinφy)。

(8)

2.2 剛度矩陣表達(dá)式

徑向剛度[10]

(9)

傾斜剛度

2aΛ(Ri,z)+a(2R-a)μ0Φ(Ri,z)+

2az(2R-a)Bz(Ri,z)+(3aR2-az2-

(10)

式中：Φ，Λ分別為永磁體的標(biāo)量勢(shì)和矢量勢(shì)積分；R1=R；R2=R-a。

耦合剛度

(11)

3 無(wú)量綱化和參數(shù)影響規(guī)律

3.1 尺寸參數(shù)對(duì)軸向力的影響

使用Matlab編制計(jì)算程序，得到無(wú)量綱軸向力隨無(wú)量綱軸向距離的變化曲線如圖2所示。

圖2 無(wú)量綱軸向力隨無(wú)量綱軸向距離的變化曲線

(12)

表 1 比例系數(shù)Pz值

圖3 比例系數(shù)變化曲線

圖4 比例系數(shù)變化曲線

分析表1可以得到：當(dāng)R/a>3時(shí)，變化范圍小于2%，即可以忽略外徑對(duì)無(wú)量綱軸向力的影響。

圖隨和的變化曲線圖

3.2 尺寸參數(shù)對(duì)徑向剛度的影響

選擇標(biāo)準(zhǔn)徑向剛度為

(13)

圖隨的變化曲線

定義徑向剛度比例系數(shù)

(14)

圖7 比例系數(shù)變化曲線

圖8 比例系數(shù)變化曲線

圖隨和的變化曲線圖

3.3 特定軸向力和徑向剛度的優(yōu)化

以單位體積產(chǎn)生的軸向力和徑向剛度最大為目標(biāo)，對(duì)一對(duì)磁環(huán)構(gòu)成的永磁軸承進(jìn)行優(yōu)化。一對(duì)永磁軸承所占體積為

V=πb(2a+h)(R0+Ri),

(15)

則單位體積軸向力和徑向剛度為

(16)

圖10 單位體積軸向力隨和的變化圖

在設(shè)計(jì)中，由于單對(duì)磁環(huán)剛度有限，為滿(mǎn)足實(shí)際要求，可通過(guò)采用堆疊的形式來(lái)提高剛度。

圖11 單位體積徑向剛度隨和的變化圖

3.4 尺寸參數(shù)對(duì)傾斜剛度的影響

定義標(biāo)準(zhǔn)傾斜剛度為

(17)

外徑對(duì)傾斜剛度的影響如圖12所示。通過(guò)圖12可以看出，外徑對(duì)傾斜剛度的影響不能像軸向力和徑向剛度那樣忽略。

圖12 比例系數(shù)變化曲線

圖隨和的變化曲線圖

3.5 尺寸參數(shù)對(duì)耦合剛度的影響

定義標(biāo)準(zhǔn)耦合剛度為

(18)

耦合剛度比例系數(shù)Pφr為

(19)

耦合剛度隨磁環(huán)外徑的變化規(guī)律如圖14所示。

圖14 比例系數(shù)變化曲線

圖隨和變化圖

4 結(jié)論

(1)在軸向力和徑向剛度分析中，當(dāng)R/a>3時(shí)，磁環(huán)外徑作為弱影響參數(shù)而可以被省略。

(2)在傾斜剛度和耦合剛度分析中，外徑的影響不能被忽略。

(3)當(dāng)磁環(huán)高度和厚度相等時(shí)，永磁軸承性能最優(yōu)。

在永磁懸浮系統(tǒng)中，永磁軸承剛度矩陣中的各個(gè)剛度是研究永磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)，它們對(duì)永磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性起著十分重要的作用。