金鑫 王蕾 高峰 張恒

(蘭州交通大學(xué)數(shù)理與軟件工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

GDP的時(shí)間序列模型的建立及應(yīng)用
——以 蘭 州 市 為 例

金鑫 王蕾 高峰 張恒

(蘭州交通大學(xué)數(shù)理與軟件工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

GDP是人們了解和把握一個(gè)國家或地區(qū)宏觀經(jīng)濟(jì)運(yùn)行狀況的有效途徑。文章在介紹時(shí)間序列的基礎(chǔ)上，利用Eviews統(tǒng)計(jì)軟件及非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法，對(duì)蘭州市1978—2010年的GDP數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析，建立了ARIMA(1，1，4)模型。檢驗(yàn)表明，該模型具有較好的預(yù)測效果，利用該模型對(duì)蘭州市未來5年的GDP進(jìn)行了預(yù)測。

GDP;時(shí)間序列分析;ARIMA模型;非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法;預(yù)測

0 引言

GDP是衡量一個(gè)地區(qū)經(jīng)濟(jì)實(shí)力的一項(xiàng)重要指標(biāo)，它不僅考慮了經(jīng)濟(jì)總量的大小，而且結(jié)合了人口多少的因素。因此，準(zhǔn)確預(yù)測蘭州市的GDP對(duì)蘭州市經(jīng)濟(jì)的發(fā)展具有重大參考價(jià)值，與此同時(shí)一些國內(nèi)外專家學(xué)者對(duì)GDP的發(fā)展規(guī)律及預(yù)測方法進(jìn)行了許多研究。GDP的普通預(yù)測方法是利用現(xiàn)有的GDP和現(xiàn)在經(jīng)濟(jì)增長率來計(jì)算若干年以后的GDP，這種方法沒有考慮經(jīng)濟(jì)波動(dòng)的影響和隨機(jī)因素的干擾，預(yù)測結(jié)果將會(huì)出現(xiàn)較大的偏差。文獻(xiàn)[1]以我國1954—2004年的 GDP數(shù)據(jù)為依據(jù)，采用BOX-Jenkins方法建立ARIMA(1，1，1)模型，揭示我國GDP增長變化的規(guī)律性，并對(duì)回歸結(jié)果進(jìn)行實(shí)證分析。文獻(xiàn)[2]利用Eviews3.1統(tǒng)計(jì)軟件對(duì)1950—2004年廣西的GDP進(jìn)行了分析，建立了 ARIMA(1，1，2)模型，而且模型引入了回歸項(xiàng)——全社會(huì)固定資產(chǎn)投資額，對(duì)廣西國內(nèi)生產(chǎn)總值作出預(yù)測。以上文章在模型定階時(shí)都是根據(jù)ACF圖(自相關(guān)函數(shù)圖)及PACF(偏自相關(guān)函數(shù)圖)來判斷模型的階數(shù)，如果圖形的拖尾和截尾特征不明顯，階數(shù)的判斷容易出現(xiàn)錯(cuò)誤，因此所得模型不一定是最佳模型。本文對(duì)最佳階數(shù)的確定則是在AIC準(zhǔn)則下進(jìn)行重復(fù)擬合得到的，而且在模型的適應(yīng)性檢驗(yàn)時(shí)利用非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行檢驗(yàn)比上述文章更客觀。

改革開放以來，蘭州市經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展取得了輝煌的成就。2007年GDP達(dá)到732.76億元，是改革之初1978的33.6倍，由圖1可以看出，城市經(jīng)濟(jì)是在波動(dòng)中發(fā)展前進(jìn)的，GDP的增長呈現(xiàn)階段性的成長過程，經(jīng)濟(jì)發(fā)展經(jīng)歷了3次大的起伏周期。

1978—1991年是改革開放后經(jīng)歷的第一個(gè)發(fā)展周期，年均增長6.6%，1984年達(dá)到最高點(diǎn)，然后不斷回落，1991年達(dá)到2.2%的低點(diǎn)。其特點(diǎn)是波動(dòng)幅度大，增長率變化不平穩(wěn)。

第二個(gè)周期始于90年代初期1992年，到1994年達(dá)到最高點(diǎn)，然后逐漸減速，1999年達(dá)到最低點(diǎn)，2000年結(jié)束，這一周期平均增長速度達(dá)到了9.6%。其特點(diǎn)為波動(dòng)幅度相對(duì)較小，增長率變化呈現(xiàn)出一定規(guī)律。

第三個(gè)周期始于2001年，經(jīng)濟(jì)發(fā)展速度不斷加快，表現(xiàn)出穩(wěn)定加速的特征，目前仍處于該發(fā)展周期，平均增速為11.42%。特點(diǎn)為高位增長，變化平穩(wěn)。

從周期波動(dòng)幅度來看，蘭州市經(jīng)濟(jì)波動(dòng)呈現(xiàn)出逐步減緩的趨勢。在1978—1991年的經(jīng)濟(jì)增長周期中，GDP增長的最大幅度為17%(1984年)，而最小值為 -3.3%(1981年)，其離差即波動(dòng)幅度為20.3%。在第二個(gè)周期中最大波動(dòng)幅度12.6%與最小值8.0%的差為4.6，這8年間增長最大波動(dòng)僅為4.6%，相比較第一個(gè)周期波動(dòng)幅度下降了將近4倍。在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，平均值反映的是隨機(jī)變量的集中趨勢，而標(biāo)準(zhǔn)差則反映了變量的離散程度。這3個(gè)周期平均增長率不斷加速上升，但標(biāo)準(zhǔn)差卻不斷減小，分別為 5.45、1.48、1.45，這說明經(jīng)濟(jì)增長速度不斷加快，而波動(dòng)幅度卻不斷減小，經(jīng)濟(jì)發(fā)展更趨穩(wěn)定。

1ARIMA模型介紹

對(duì)于一個(gè)非平穩(wěn)時(shí)間序列來說，方差、均值和協(xié)方差等都是隨時(shí)間變化的，也可以說，非平穩(wěn)時(shí)間序列在各時(shí)間段上的隨機(jī)規(guī)律是不同的，很難通過時(shí)間序列已知的信息去掌握序列整體上的隨機(jī)性。1970年，BOX和Jenkins提出了以隨機(jī)理論為基礎(chǔ)的時(shí)間序列分析方法:自回歸(AR)模型，移動(dòng)平均(MA)模型以及自回歸求積移動(dòng)平均(ARIMA)模型。AR模型和 MA模型就是ARIMA模型的特例。若對(duì)一個(gè)有明顯趨勢的非平穩(wěn)時(shí)間序列，利用d階差分之后可變?yōu)槠椒€(wěn)的時(shí)間序列，則可建立ARIMA(p，d，q)模型。

1.1 ARIMA(p，d，q)模型的一般形式

Φ(B)▽dxt=Θ(B)εt，E(εt)=0，Var(εt)=，E(εtεs)=0，s≠t Exsεt=0，?s ＜ t。其中，▽d=(1-B)d;Φ(B)=1-φ1B-…-φpBp為平穩(wěn)可逆ARIMA模型的自回歸系數(shù)多項(xiàng)式;Θ(B)=1-θ1B-…-θqBq為平穩(wěn)可逆ARLMA模型的移動(dòng)平滑系數(shù)多項(xiàng)式。

1.2 ARIMA(p，d，q)模型的建模思想

1)根據(jù)時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)(ACF)圖和偏自相關(guān)函數(shù)(PACF)圖，ADF單位根檢驗(yàn)觀察其方差及季節(jié)性變化規(guī)律，識(shí)別該序列的平穩(wěn)性。

2)數(shù)據(jù)進(jìn)行平穩(wěn)化處理，如果數(shù)據(jù)序列是非平穩(wěn)的，有增長或下降趨勢等，則要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行差分處理。

3)如果時(shí)間序列的偏自相關(guān)函數(shù)是截尾的，而自相關(guān)函數(shù)是拖尾的，則可判斷此序列適合AR模型;如果平穩(wěn)時(shí)間序列的偏自相關(guān)函數(shù)是拖尾的，而自相關(guān)函數(shù)是截尾的，則此序列適合MA模型;如果平穩(wěn)時(shí)間序列的偏自相關(guān)函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)都是拖尾的，則適合ARMA模型。

4)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。

5)進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，診斷白噪聲序列。

1.3 模型定階

1)Ljung-Box(1978)檢驗(yàn)。

2)利用ACF圖和PACF圖的性質(zhì)來確定模型的階數(shù)。

3)最佳準(zhǔn)則函數(shù)定階法，即Akaike提出的AIC準(zhǔn)則。該準(zhǔn)則是在模型參數(shù)極大似然估計(jì)的基礎(chǔ)上，對(duì)模型的階數(shù)和相應(yīng)參數(shù)同時(shí)給出一組最佳估計(jì)，選取使AIC達(dá)到最小的一組階數(shù)為理想階數(shù)。

2 數(shù)據(jù)分析及預(yù)測

2.1 模型的識(shí)別和定階

蘭州市國內(nèi)生產(chǎn)總值時(shí)間序列數(shù)據(jù)(1978—2010)見表1。蘭州市GDP用Y表示，年份用X表示，X和Y的變化曲線見圖1。

表1 1978—2010年蘭州市GDP

圖1 X和Y的變化曲線圖

由圖1可以看出，隨著改革開放和人民生活水平的提高，蘭州市的GDP總體上出現(xiàn)不斷增長的趨勢，具體來說是一種指數(shù)增長趨勢，非水平平穩(wěn)。

對(duì)于指數(shù)增長的非平穩(wěn)時(shí)間序列，一般方法是通過對(duì)指數(shù)增長趨勢進(jìn)行對(duì)數(shù)變換后轉(zhuǎn)換為線性趨勢，然后再對(duì)其進(jìn)行差分來消除線性趨勢。所以可對(duì)蘭州市GDP數(shù)據(jù)取對(duì)數(shù)并作一階差分后得到時(shí)間序列圖，如圖2所示。

圖2 差分后的時(shí)間序列圖

由圖2可以看出，取對(duì)數(shù)并作一階差分后，時(shí)間序列基本平穩(wěn)。因此，可利用取對(duì)數(shù)變換和一階差分后的數(shù)據(jù)進(jìn)行模型的識(shí)別和定階，所以可以確定ARIMA(p，d，q)模型中的d應(yīng)為1。為了確定模型中的p和q，作出一階差分后的自相關(guān)(ACF)圖和偏自相關(guān)(PACF)圖，分別見圖3、圖4。為了能找到最佳的階數(shù)，采用最佳準(zhǔn)則函數(shù)定階法中的Akaike最小信息準(zhǔn)則(AIC)來判定模型的最佳階數(shù)。原序列的相關(guān)圖和偏相關(guān)圖如圖3所示。

圖3 原序列的相關(guān)圖和偏相關(guān)圖

由圖3可以看出，原序列是一個(gè)非平穩(wěn)時(shí)間序列。

對(duì)原序列取對(duì)數(shù)后的相關(guān)圖和偏相關(guān)圖如圖4所示。

圖4 取對(duì)數(shù)后的相關(guān)圖和偏相關(guān)圖

由偏相關(guān)圖可以看出，在k=2后呈截尾特征。由此判定應(yīng)用AR(1)模型擬合取對(duì)數(shù)后的序列數(shù)據(jù)。共選擇2個(gè)AR(2)，一個(gè)含有位移項(xiàng)，另一個(gè)不含。另外考慮相關(guān)圖k=4時(shí)有峰值，隨后按照正弦衰減，所以建立一個(gè) ARIMA(1，1，4)模型或 ARIMA(2，1，4)模型。

2.2 模型的建立

利用Eviews軟體分別作出ARIMA(2，1，4)和 ARIMA(1，1，4)模型的參數(shù)，如圖 5、圖 6所示。

圖 5 ARIMA(2，1，4)模型參數(shù)

圖 6 ARIMA(1，1，4)模型參數(shù)

由圖5可以看出，ARIMA(2，1，4)模型的AIC值為8.144 091，由圖6可以看出，ARIMA(1，1，4)模型的 AIC 值為7.247 343，所以本文采用ARIMA(1，1，4)模型來預(yù)測蘭州市的GDP。

2.3 模型的檢驗(yàn)

模型的檢驗(yàn)也就是對(duì)所建模型的優(yōu)劣性進(jìn)行檢驗(yàn)，通過對(duì)原序列數(shù)據(jù)與擬合數(shù)據(jù)的誤差(殘差)序列進(jìn)行檢驗(yàn)來實(shí)現(xiàn)。若殘差序列為白噪聲序列，模型應(yīng)用于預(yù)測是合理的;若殘差序列不是白噪聲序列，說明模型應(yīng)用于預(yù)測是不合理的。對(duì)模型擬合后的殘差序列用Eviews處理后得出的不同延期數(shù)QLB統(tǒng)計(jì)量為:Q(6)=47.437，Q(12)=49.630，Q(16)=50.340，括號(hào)內(nèi)數(shù)字為對(duì)應(yīng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的P值。由此可知，在檢驗(yàn)的顯著水平為0.05的條件下，由于延遲6階的卡方檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量P?0.05，所以該差分序列是白噪聲序列，即擬合后的殘差序列沒有信息可用，這個(gè)序列值的變動(dòng)是隨機(jī)波動(dòng)的。

為了驗(yàn)證有效性給出了實(shí)際值與預(yù)測值得對(duì)比圖，如圖7所示。

圖7 實(shí)際值與預(yù)測值對(duì)比圖

由圖7可以看出擬合效果很好，沒有出現(xiàn)太大的偏差，說明模型是有效的。

2.4 模型的預(yù)測

由 ARIMA(1，1，4)模型:

又因?yàn)?▽ln xt=ln xt- ln xt-1

可得ln xt的預(yù)測公式為:

所以可得序列X的預(yù)測公式:

通過上述討論可知，用ARIMA(1，1，4)可很好地預(yù)測蘭州市2011—2015年的 GDP，見表3(此模型只能用于中短期預(yù)測)。

表3 2011—2015年蘭州市GDP預(yù)測數(shù)

3 結(jié)語

通過對(duì)蘭州市1978—2010年間的GDP時(shí)間序列進(jìn)行分析，建立 ARIMA(1，1，4)模型，借助模型參數(shù)對(duì)原序列進(jìn)行量化表示，最終使擬合的殘差序列成為白噪聲序列，擬合的結(jié)果在理論上具有說服力，在應(yīng)用上切實(shí)可行。但根據(jù)ARIMA時(shí)間序列模型方法得到的蘭州市GDP預(yù)測結(jié)果，應(yīng)該說是個(gè)預(yù)測值，而且只能是中短期預(yù)測。

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Time Series Model Constitution and Application of GDP——A Case Study of Lanzhou

JIN Xin WANG LeiGAO Feng ZHANG Hen

(School of Mathematics，Physics and Software Engineering，Lanzhou Jiaotong University，Lanzhou 730070)

GDP is an efficient tool for people to know and hold macroscopically economics status of a country or area.Based on the introduction time series model，this paper gives an empirical analysis of the GDP data(1978—2010)of Lanzhou，by using Eviews ststistical software and nonparametric method in statistics.Based on this，the ARIMA(1，1，4)time series model is established，whose examination results indicate that it has a better forecast effect.And then，this paper uses it to forecast the GDP of Lanzhou in the next five years.

GDP;time series analysis;ARIMA model;non-parametric method in statistics;forecast

F127;O212.1

A

1671-0436(2011)03/04-0067-05

2011-07-08

金鑫(1982— )，男，碩士研究生。

責(zé)任編輯:張秀蘭