戴精科，郭道省，張邦寧，陳雪冰

（1.解放軍理工大學通信工程學院，南京210007；2.解放軍61068部隊；陜西長安710100）

LDPC 碼在非相干BFSK系統(tǒng)中的性能分析?

戴精科1，郭道省1，張邦寧1，陳雪冰2

（1.解放軍理工大學通信工程學院，南京210007；2.解放軍61068部隊；陜西長安710100）

通過理論分析和計算機仿真研究了LDPC碼在非相干BFSK系統(tǒng)中的性能。首先證明單輸入雙輸出的非相干BFSK系統(tǒng)滿足信道對稱條件，然后分別利用離散密度進化（DDE）和高斯近似（GA）算法給出了LDPC碼的性能下界，后者與前者相比性能非常接近而且計算量要小很多。通過仿真得到幾種常用LDPC碼的性能并與譯碼門限以及香農極限進行了比較，在相同碼長條件下，度參數為（3，6）的碼字具有最優(yōu)的性能，并且其譯碼門限距離香農極限只有約0.67 dB。

LDPC碼；非相干檢測；BFSK；對稱條件；離散密度進化

1 引言

為了實現可靠傳輸，通信系統(tǒng)通常利用信道編碼來糾正信息傳遞過程中的隨機錯誤。自從Turbo碼［1］被提出后，人們發(fā)現了很多性能接近香農極限的信道碼［2-4］。其中低密度奇偶校驗（Low Density Parity Check，LDPC）碼具有以下特點［5］：能夠并行譯碼，具有較快的譯碼速度；存在多種復雜度低的簡化譯碼算法；具有自交織性且能確定譯碼結果正確與否；誤碼平層較低，性能接近甚至超過Turbo碼。目前，LDPC碼在衛(wèi)星通信特別是深空通信中已經得到了廣泛應用。

為了分析信道編碼的性能，人們提出了許多方法，其中密度進化（Density Evolution，DE）算法［6-8］是當前分析LDPC編碼系統(tǒng)性能的有效工具。只要滿足對稱性條件［6］，該算法能通過跟蹤分析譯碼器中變量節(jié)點和校驗節(jié)點之間所傳遞消息的概率密度來判斷LDPC碼的譯碼門限，而且還可以設計性能更好的不規(guī)則LDPC碼［5，9］。對于實際信道DE算法的實現十分復雜，人們提出了多種簡化算法，例如離散密度進化（Discrete Density Evolution，DDE）法［10］和高斯近似（Gaussian Approximation，GA）法［11，12］，其中GA算法把迭代中計算消息密度的無限維問題轉化為求高斯分布密度函數均值的一維問題，在犧牲很小估計性能的前提下大大減少了運算量。利用DE（簡化）算法，文獻［5］、［6］研究了加性高斯白噪聲（AdditiveWhite Gaussian Noise，AWGN）信道中LDPC碼的性能，而文獻［13］、［14］則分別分析了其在瑞利和萊斯衰落信道中的性能。

以上文獻的研究基本都集中在相干檢測的BPSK系統(tǒng)，當載波相位較難估計（例如采用跳頻通信體制）時，通信系統(tǒng)往往會采用非相干檢測方法［4，15-17］，其中最常見的是差分檢測（針對Differential M-ary Phase Shift Keying，DMPSK）和平方律檢測（針對Frequency Shift Keying，FSK）。對于差分相位調制系統(tǒng)，文獻［15，16］分別研究了LDPC碼在AWGN和瑞利衰落信道中的性能。對于FSK系統(tǒng)，文獻［4，17］利用外信息轉移（Extrinsic Information Transfer，EXIT）圖分析了重復累計碼、Turbo碼的性能；文獻［18，19］分別仿真了LDPC碼在非相干檢測的MFSK和快跳頻BFSK系統(tǒng)中的性能，但都未從理論上給出系統(tǒng)的性能界。

目前還沒有見到有關分析LDPC碼在非相干BFSK系統(tǒng)中理論性能的報道，因此本文將對該系統(tǒng)在AWGN信道中的性能進行研究，給出理論下界并仿真實際碼性能。在BPSK或MDPSK系統(tǒng)中，一個輸入符號只對應一個信道輸出，信道的對稱條件能夠較好地滿足［6，15］，但是對于非相干檢測BFSK系統(tǒng)，一個輸入對應兩個輸出，信道的對稱性不能夠直接得到。因此，我們考察LDPC和積譯碼器的初始信息——符號的對數似然比（Log Likelihood Ratios，LLRs），證明它滿足信道對稱條件，可以利用DE（簡化）算法來估計系統(tǒng)的理論下界。采用DDE和GA算法發(fā)現，LDPC碼在非相干檢測BFSK系統(tǒng)中具有接近香農極限的性能（例如，相距0.67 dB），而且這兩種算法估計的性能非常接近（例如，相距0.05 dB）。最后，通過仿真展示了幾種實際LDPC碼的性能并得到了一些有意義的結論。

2 系統(tǒng)模型

圖1給出了LDPC編碼非相干檢測BFSK系統(tǒng)模型。

圖1 LDPC編碼非相干BFSK系統(tǒng)模型Fig.1 Themodel of LDPC coded non-coherent BFSK system

在發(fā)送端，LDPC編碼后的信息比特被送入BFSK調制器，經歷AWGN信道后，在接收端的信號為

式中，0≤t≤T，m=0，1；Es和T分別為符號能量和持續(xù)時間，f0和f1分別是編碼后比特為0或1時對應的載波頻率，而且滿足正交性條件［20］；φm是［0，2π）上均勻分布的隨機相位；n（t）為加性白高斯噪聲，其雙邊功率譜密度為N0／2。接收信號經過平方律檢測器（解調）后的輸出為Ym=Y2m，c+Y2m，s，其中Ym，c和Ym，s分別是檢測器的同相和正交分量，且滿足均值為、方差為N0／2的高斯分布。不妨設發(fā)送端發(fā)送的比特為1且對應載波頻率f1，隨機變量Ym的概率密度函數（PDF）為［19，20］

式中，I0（*）為修改的零階貝賽爾函數。顯然，如果發(fā)送比特為0，Y1和Y0的PDF正好相反。譯碼使用和積算法，其輸入信息對數似然比為［19］

3 密度進化算法和系統(tǒng)性能分析

利用密度進化分析系統(tǒng)性能時必須滿足對稱條件，其中校驗和變量節(jié)點的對稱性是由譯碼算法決定，而信道對稱性由實際信道決定。從文獻［6］可知，和積譯碼算法可以保證校驗和變量節(jié)點的對稱性，因此，我們重點討論信道對稱性，證明系統(tǒng)的對稱條件后假設發(fā)送信息為全1碼字并利用密度進化分析性能。由式（2）～（4）可知，很難解出和積譯碼器初始信息L的PDF閉合表達式，不過通過量化隨機變量可以求得其概率質量函數（Probability Mass Function，PMF）［10］，并利用離散密度進化獲取系統(tǒng)性能。觀察L的PMF發(fā)現它與高斯分布非常類似，因此也將利用高斯近似來獲取系統(tǒng)性能。采用密度進化時存在無環(huán)且碼長無限的假設，實際系統(tǒng)中LDPC碼（本文僅討論規(guī)則LDPC碼）都是有環(huán)而且長度有限，因此DE（簡化）算法得到的門限是實際系統(tǒng)的性能下界［6］。

3.1 信道對稱性

對編碼比特進行如下映射：1→1，0→-1。對于單輸入、單輸出的相干解調BPSK系統(tǒng)，信道的對稱性由下式保證［6］：

式中，xt為第t個編碼比特，而Yt為相應的解調器輸出。對于非相干解調的BFSK系統(tǒng)，平方律檢測器的輸出為Y1和Y0兩項，因此其對稱性不能用式（5）來保證。和積譯碼器的初始消息為L，它由PDF分別滿足式（2）、（3）的兩個隨機變量組成（其中第二個分布是參數為N0的指數分布），且發(fā)送數據xt（±1）將決定這兩個隨機變量的相對位置。下面證明L滿足對稱性條件。

假設L的PDF為P（Lt=l｜xt=1）=q，q的取值由式（2）～（4）決定。發(fā)送數據xt=1時，式（4）右邊分子中的隨機變量Y1的PDF為式（2），分母中的隨機變量Y0的PDF為式（3）。發(fā)送數據xt=-1時，Y1和Y0的PDF正好相反，所以有P（Lt= -l｜xt=-1）=q。從上述分析可知，非相干檢測器傳遞給譯碼器的消息可以寫為Lt=xtzt，即消息是發(fā)送數據與信道轉移概率的乘積——此處zt為信道轉移概率，定義為Pr（zt=l）=q，與信息比特的取值無關。由文獻［6］可知，如果消息Lt的符號隨著信息比特符號跳變而發(fā)生翻轉，系統(tǒng)性能與碼字無關，因此單輸入雙輸出的非相干BFSK系統(tǒng)滿足對稱性條件，可以用全1（或全0）碼字來研究LDPC碼的性能。

3.2 離散密度進化

3.2.1 初始信息

假設發(fā)送信息為全1碼字的（dv，dc）規(guī)則LDPC碼，把式（2）、（3）所示PDF進行量化，可以獲得相應的PMF為（Δ為量化間隔，Z為全體整數集合）

因此初始消息L的PMF為

式中，ˉL為式（4）的量化函數。根據式（6）、（7）計算出不同比特信噪比（Eb／N0）下的pu0，并把它與均值為m0、方差為2m0高斯分布隨機變量的PDF進行比較（如圖2所示），其中m0為u0的均值。由圖可知，L的PMF與高斯分布的PDF曲線非常接近。

圖2 初始消息L的PMF與高斯分布的PDF曲線Fig.2 The PMF and PDF curves of initialmessage L and Gaussian distribution

3.2.2 離散密度進化算法

假設第l次迭代時校驗和變量節(jié)點的PMF分別為p（l）u、plv（由于每個節(jié)點的輸入和輸出信息都是獨立同分布的，所以略去了表示節(jié)點度數的角標），則在和積譯碼算法的迭代中變量和校驗節(jié)點的輸入信息分別為［10］

ˉa和ˉb為量化消息，其PMF為pˉa和pˉb。令ˉc=ˉR（ˉa，ˉb），定義R為消息ˉc的PMF，則：

按照和積譯碼算法，消息在校驗和變量節(jié)點之間根據式（8）、（9）進行迭代，如果信噪比超過譯碼門限，隨著l的增加，即誤碼率趨向于0，否則誤碼率會大于某個非0數值。

圖3展示了Eb／N0分別為7.32 dB、7.33 dB和7.40 dB時變量節(jié)點消息的PMF進化曲線，且隨著l的增加曲線從左向右“移動”。計算中設dv=3，dc或l到達100。由圖可知，當信噪比為7.32 dB時，隨迭代次數的增加下降很慢且趨向于一個非0定值；當信噪比大于7.33 dB時隨迭代次數的增加而趨向于0，而且信噪比的增加會減少所需迭代次數。通過離散密度進化我們得到系統(tǒng)的門限約為7.33 dB，與香農極限僅有0.62 dB的差距。

圖3 使用離散密度進化時變量節(jié)點消息的PMF進化Fig.3 The PMF evolution of variable nodes′messagewhen using DDE

3.3 高斯近似

雖然離散密度進化可以獲取系統(tǒng)的門限，但計算量比較大［10］。由圖2可知，譯碼器的初始信息與高斯分布非常類似，因此我們可以利用高斯近似［11］來求取系統(tǒng)的譯碼門限，這樣在譯碼迭代中只需要計算變量和校驗節(jié)點消息的均值mv、mu即可。獲得初始信息均值mu0有兩種方法：一種是利用初始消息L的PMF（式（7）），得到mu0=∫pu0u0d u0；另一種方法是通過仿真實際信道中L的數值并取平均來得到mu0。本文選用第二種方法。

在得到mu0后，高斯近似算法中變量節(jié)點和校驗節(jié)點輸入消息的進化式如下所示：

迭代進行到一定次數后，節(jié)點消息的均值不再發(fā)生變化，此時停止迭代，系統(tǒng)誤碼率且概率密度函

圖4 使用高斯近似時變量節(jié)點消息的PDF進化Fig.4 The PDF evolution of variable nodes′messagewhen using GA

圖4展示了信噪比分別為7.37 dB、7.38 dB和7.40 dB時變量節(jié)點消息的PDF進化曲線，對它的分析與圖3類似，此處不再贅述。值得注意的是，此時系統(tǒng)的門限為7.38 dB，與離散密度進化獲得的門限只相差0.05 dB，因此GA相對于DDE犧牲的性能很小。

4 仿真結果

基于圖1所示模型，我們對LDPC碼在系統(tǒng)中的性能進行計算機仿真，碼字的校驗矩陣由漸進邊長增長（Progressive Edge-Growth，PEG）算法產生，碼率為0.5。CL表示LDPC碼的環(huán)長，一般來說在相同碼長條件下，校驗矩陣中的度參數（dv，dc）越小，環(huán)長越大。Shannon limit表示非相干檢測BFSK系統(tǒng)的香農極限，Threshold是采用高斯近似得到的系統(tǒng)譯碼門限，N為碼長，Ber／Per表示系統(tǒng)的誤碼率與誤包率之比，和積譯碼算法的最大迭代次數為100。

圖5給出了具有不同碼長的（2，4）LDPC碼在非相干BFSK系統(tǒng)中的性能。由圖可知，系統(tǒng)性能隨著碼長的增加越來越接近譯碼門限，這說明高斯近似算法能夠很好的預測性能。但是Threshold距離香農極限還有大約2.5 dB的差距，這是因為碼字的校驗矩陣中行、列的重量（1的個數）較小，校驗譯碼能力不強。

圖6 （3，6）LDPC碼的性能（CL=8）Fig.6 The performance of（3，6）LDPC code（CL=8）

圖5 （2，4）LDPC碼的性能（CL=10）Fig.5 The performance of（2，4）LDPC code（CL=10）

圖7（4，8）LDPC碼的性能（CL=6）Fig.7 The performance of（4，8）LDPC code（CL=6）

圖6 和圖7分別展示了具有不同碼長的（3，6）和（4，8）LDPC碼在非相干BFSK系統(tǒng)中的性能。隨著碼長增加，系統(tǒng)性能趨近于高斯近似算法所給出的門限，而且在相同碼長情況下，環(huán)長CL=8的碼字性能要優(yōu)于CL=6的碼字。值得注意的是，比較圖5和圖6可知，盡管（2，4）LDPC碼的環(huán)長CL= 10，大于（3，6）LDPC碼的環(huán)長，但在相同碼長條件下的性能較差，這說明碼字性能與環(huán)長和度參數都有關系。比較圖5～7，（3，6）LDPC碼的性能在碼長相等的條件下比其它兩種碼字的要好，由高斯近似獲得的理論譯碼門限距離香農極限只有大約0.67 dB。另外，如果CL為定值，N越大，系統(tǒng)性能與門限之間的距離越?。蝗绻鸑為定值，則CL越大，距離越小，這主要是因為密度進化理論中無限碼長以及無環(huán)（CL→+∞）的假設。

5 結論

本文較全面地研究了AWGN信道下具有不同度參數和碼長的LDPC碼在非相干BFSK系統(tǒng)中的性能，證明了單輸入雙輸出的非相干BFSK系統(tǒng)仍然滿足信道對稱條件，并利用離散密度進化和高斯近似算法求得（3，6）LDPC碼的譯碼門限，它與香農極限非常接近；仿真了幾種LDPC碼性能并與其譯碼門限進行比較驗證，同時討論了度參數、碼長、環(huán)長等因素對系統(tǒng)性能的影響。在未來的工作中，可以根據密度進化的思想探尋衰落信道下LDPC編碼BFSK系統(tǒng)的性能，并設計出具有更好性能的不規(guī)則LDPC碼。

［1］Berrou C，Glavieux A，Thitimajshima P.Near Shannon limit error-correcting coding and decoding：Turbo-codes［C］／／Proceedings of IEEE International Conference on Communications.Geneva，Switzerland：IEEE，1993：1064-1070.

［2］MacKay D JC.Good error-correcting codes based on very sparsematrices［J］.IEEE Transactions on Information Theory，1999，45（3）：399-431.

［3］Zhang Q，Le-Ngoc T.Turbo product codes for FH-SS with partial-band interference［J］.IEEE Transactions on Wireless Communications，2002，1（3）：513-520.

［4］Fabregas A G，Grant A J.Capacity approaching codes for non-coherentorthogonalmodulation［J］.IEEE Transactions on Wireless Communications，2007，6（11）：4004-4013.

［5］Richardson T J，Shokrollahi M A，Urbanke R L.Design of capacity-approaching irregular low-dnesity parity-check codes［J］.IEEE Transactions on Information Theory，2001，47（2）：619-637.

［6］Richardson TJ，Urbanke RL.The capacity of low-density parity-check codes under message-passing decoding［J］.IEEE Transactions on Information Theory，2001，47（2）：599-618.

［7］Martalo M，FerrariG，Abrarbo A，etal.Density evolutionbased analysis and design of LDPC codes with a priori information［C］／／Proceedings of Information Theory and ApplicationsWorkshop.San Diego，CA：IEEE，2010：1-9.

［8］Tan B S，Li K H，Teh K C.Performance analysis of LDPC codes with selection diversity combining over identical and non-identical Rayleigh fading channels［J］.IEEE Communications letters，2010，14（4）：333-335.

［9］Saeedi H，Banihashemi A H.On the design of irregular LDPC code ensembles for BIAWGN channels［J］.IEEE Transactions on Communications，2010，58（5）：1376-1382.

［10］Chung SY，Forney GD，Richardson T J，etal.On the design of Low-Density Parity-Check codes within 0.0045 dB of the Shannon limit［J］.IEEECommunications letters，2001，5（2）：58-60.

［11］Chung SY，Richardson T J，Urbanke R L.Analysis of sum -product decoding of Low-Density Parity-Check codes using a Gaussian approximation［J］.IEEE Transactions on Information Theory，2001，47（2）：657-670.

［12］LiG，Fair IJ，KrzymienW A.Density evolution for nonbinary LDPC codesunder Gaussian approximation［J］.IEEETransactions on Information Theory，2009，55（3）：997-1015.

［13］Hou J，Siegel PH，Milstein L B.Performance analysis and code optimization of Low Density Parity-Check codes on Rayleigh fading channels［J］.IEEE Journalon Selected Areas in Communications，2001，19（5）：924-934.

［14］林家儒，吳偉陵.非規(guī)則LDPC碼在RICE信道中的性能分析［J］.電子學報，2005，（33）1：43-46. LIN Jia-ru，WUWei-ling.Performance of irregular LDPC codes on Rician-fading channels［J］.Acta Electronica Sinica，2005，（33）1：43-46.（in Chinese）

［15］Jin H，Richardson T J.Design of Low-Density Parity-Check codes for noncoherent MPSK communication［C］／／Proceedings of IEEE International Symposium on Information Theory.Lausanne，Switzerland：IEEE，2002：169.

［16］Nam V T，Kam PY，Xin Y.LDPC codeswith BDPSK and differential detection over flat Rayleigh fading channels［C］／／Proceedings of Global Telecommunications Conference.Washington，DC：IEEE，2007：3245-3249.

［17］ValentiM C，Cheng S.Iterative demodulation and decoding of Turbo-coded M-ary noncoherent orthogonalmodulation［J］.IEEE Journal on Selected Areas in Communications，2005，23（9）：1739-1747.

［18］Supakwong S，Wilson SG.LDPC coded M-ary orthogonal signaling with noncoherent detection［C］／／Proceedings of Conference on Information Sciencesand Systems.Baltimore，MD：The Johns Hopkins University，2005.

［19］Wu X，Zhao C，You X，L，etal.Robustdiversity-combing receivers for LDPC coded FFH-SSwith partial-band interference［J］.IEEE Communications Letters，2007，11（7）：613-615.

［20］Proakis JG.Digital communications［M］.4th ed.Beijing：Publishing House of Electronics Industry，2006.

DAI Jing-ke was born in Changde，Hunan Province，in 1984.He received the B.S.degree from PLA University of Science and Technology in 2006.He is currently working toward the Ph.D. degree.His research interests include satellite communications and channel coding.

Email：daijingke1984＠163.com

郭道?。?973—），男，河南南陽人，2002年于解放軍理工大學獲博士學位，現為副教授，主要研究方向為衛(wèi)星通信與通信抗干擾技術；

GUO Dao-xing was born in Nanyang，Henan Province，in 1973.He received the Ph.D.degree from PLA University of Science and Technology in 2002.He isnow an associate professor.His research interests include satellite communications and anti-jamming communications.

張邦寧（1963—），男，江蘇南京人，教授、博士生導師，主要研究方向為衛(wèi)星通信、信號處理、調制、信道編碼和通信抗干擾；

ZHANG Bang-ning was born in Nanjing，Jiangsu Province，in 1963.He is now a professor and also the Ph.D.supervisor.His research interests include satellite communications，signal processing，modulation，channel coding and anti-jamming communications.

陳雪冰（1982—），男，江西人，助理工程師，主要研究方向為信號處理。

CHEN Xue-bing was born in Jiangxi Province，in 1982.He is now an assistant engineer.His research direction is signal processing.

Performance Analysis of LDPC Code in Non-coherent BFSK Systems

DAI Jing-ke1，GUO Dao-xing1，ZHANGBang-ning1，CHEN Xue-bing2
（1.Institute of Communications Engineering，PLA University of Science＆Technology，Nanjing 210007，China；2.Unit61068 of PLA，Chang′an 710100，China）

The performance of low density parity check（LDPC）code in non-coherent binary frequency shift keying（BFSK）system is investigated by theoretical analysis and computer simulation.It is shown that the symmetry conditions are fulfilled in the system with one input and two outputs，and then the lower bound of LDPC code is given by discrete density evolution（DDE）and Gaussian approximation（GA），respectively.The performances of the two algorithms are very close to each other，though the later costsmuch less computation.The performances of certain LDPC codes in common use are obtained by simulations，which are also compared with the decoding threshold and Shannon limit.As long as the code lengths are equal to each other，the（3，6）code has the best performance，and the decoding threshold is approximate 0.67 dB within the Shannon limit.

low density parity check（LDPC）code；non-coherent detection；binary frequency shift keying（BFSK）；symmetry conditions；discrete density evolution

TN911.22

A

10.3969／j.issn.1001-893x.2011.07.014

戴精科（1984—），男，湖南常德人，2006年于解放軍理工大學獲學士學位，現為博士研究生，主要研究方向為衛(wèi)星通信與信道編碼；

1001-893X（2011）07-0067-06

2011-03-01；

2011-04-08