何學軍，張良欣，任愛娣

（海軍工程大學 后勤指揮與工程系，天津 300450）

橫向補給系統(tǒng)高架索的參激振動研究

何學軍，張良欣，任愛娣

（海軍工程大學 后勤指揮與工程系，天津 300450）

考慮了集中質量、軸向運動等因素對系統(tǒng)動力學行為的影響，建立了海上橫向補給系統(tǒng)高架索的面內振動的連續(xù)模型。利用Galerkin方法對高架索偏微分模型進行模態(tài)離散，得到了1、2階模態(tài)耦合的高架索系統(tǒng)的標準的動力學控制方程，利用多尺度方法對動力學方程進行漸近分析。對系統(tǒng)存在的兩類參數激勵共振進行了數值分析，得到了系統(tǒng)時間歷程曲線、相圖以及頻譜圖，研究結果表明高架索橫向振動存在混沌等復雜的動力學特性。

參激振動；橫向補給；高架索；Galerkin方法；混沌

張良欣（1965-），男，教授，博士生導師，博士。

1 引 言

由于橫向干貨補給過程中集中質量及高架索軸向運動的影響，使得橫向補給系統(tǒng)高架索的動力學行為非常復雜。目前關于海上航行橫向干貨補給系統(tǒng)[1]的高架索研究的文獻很少，高架索系統(tǒng)的非線性動力學研究尚屬空白，高架索的動力學理論研究需借鑒類似連續(xù)結構的動力學研究成果。陳自力，唐駕時[2]建立了移動集中載荷作用下的懸索動力學簡化模型，通過Galerkin方法和多尺度法對系統(tǒng)振動頻率特性進行研究；陳立群等[3-4]考慮懸索本身的結構非線性因素的影響，對勻速、變速軸向運動弦線的橫向振動的動力學行為及其控制進行了廣泛深入研究；張偉[5]利用多尺度、正規(guī)形及數值方法對參數激勵作用的軸向運動粘彈性傳送帶的Shilnikov形式的多脈沖和混沌行為進行研究；Lin和Perkins[6]建立了具有若干集中質量懸索的三自由度線性振動模型，提出了可用于求解任意垂度懸索特征解的半解析半數值的方法。Rega等[7-8]建立了無集中質量懸索控制方程，利用Galerkin方法、直接攝動法、數值方法以及幾何方法，對小垂度限幅振動懸索的平面和空間運動非線性動力學行為進行了深入研究。上述研究對高架索動力學行為具有很好的參考價值，本文綜合了上述文獻的建模思想，將高架索簡化為具有集中質量的軸向參激振動的懸索模型，基于彈性力學理論、非線性動力學理論，建立了高架索的面內振動理論模型。綜合利用Galerkin方法和多尺度方法對系統(tǒng)進行了漸近分析，在分析過程中，考慮了低階、高階模態(tài)耦合效應。同時，利用數值方法對系統(tǒng)兩種參激共振情況進行分析，研究結果表明系統(tǒng)存在復雜的混沌運動現象。

2 控制方程建立及簡化

由彈性力學理論，靜力作用下高架索變形為

其中：dx為高架索索單元的軸向靜位移；dy為高架索索單元的橫向靜位移。

在靜載荷和動載荷共同作用下，高架索的總變形為

式中：du1為高架索索單元的橫向振動位移；du2為高架索索單元的軸向振動位移；他們不僅與時間有關，同時還與坐標位置有關，為du1（x,t）、du2（x,t）的簡寫形式。

（2）式移項并進行二階泰勒展開，整理得

式中“′”表示對x求導。

結構動應變?yōu)?/p>

根據Hamilton變分原理[9]，得高架索面內振動控制方程為

式中：E為高架索彈性模量；A為高架索截面面積；M集中質量；δ（ x- xm）為Direc函數；xm為貨物距高架索發(fā)送端水平距離；ρ為高架索密度；·表示對時間t求導；u2（xm,t）為集中質量的橫向位移；v（t）高架索整體的軸向運動速度，與坐標位置無關，由v（t）=v0sin（ Ω1t）確定；xm為貨物距高架索發(fā)送端水平距離。高架索空間形態(tài)如圖1。

為了研究高架索橫向振動，將高架索軸向運動作為激勵簡化高架索面內控制方程?？紤]參激情況，根據邊界條件u1（0,t）=0，u1（l,t）=lp（t ），p（t）為高架索右端相對于左端的無量綱軸向運動位移，為激勵項。對方程（5a）分別進行邊界積分[10]，忽略高階小量u′2、y′2影響，整理得

圖1 高架索空間形態(tài)圖Fig.1 The schematic model of highline cable

將（6）式代入（5b）式，可得高架索橫向振動控制方程

式中：p（t）=b0sin（ Ω2t），b0為無量綱常數。

3 漸近分析

利用Galerkin方法對方程（7）進行離散，令

將（8）式代入方程（7），根據模態(tài)正交性，得高架索1、2階耦合模態(tài)振動的控制方程

由多尺度法，令

將（10）式代入方程（9），比較 ε 同冪次項系數，得：

Ω2=2ω2+εσ3情況，σ3為調諧函數，可確定系統(tǒng) 1、2 階模態(tài)振動振幅 a1、a2表達式，如（16）式

4 數值分析

考慮 1：2 內共振（ω2≈2ω1），高架索軸向運動頻率 Ω1≈ω1+ω2，系統(tǒng)參數取值如下：

l=40 m；E=1.8×1011Pa；ρ≈7 800 kg/m3；v0=3 m/s；xm=15 m；M=500 kg；N=20 kN；A=4.9×10-4m2（對應高架索直徑25mm）；b0=0.005。

利用Mathematica程序對高架索橫向振動動力學響應特性進行數值分析，同時利用FFT變換對系統(tǒng)進行頻譜分析，得到上述參數情況下系統(tǒng)1、2階模態(tài)振動的時間歷程曲線、運動相圖及頻譜圖，如圖（2）、圖（3）所示。

情況 1：Ω2≈2ω1參激共振情況

圖2 高架索1階模態(tài)振動時間歷程曲線、相圖以及頻譜圖（Ω2≈2ω1）Fig.2 Time flow,phase portrait and frequency spectrum of first model of highline cable

圖3 高架索2階模態(tài)振動時間歷程曲線、相圖以及頻譜圖（Ω2≈2ω1）Fig.3 Time flow,phase portrait and frequency spectrum of second model of highline cable

由圖2可見，當Ω2≈2ω1（參數激勵頻率近似等于1階模態(tài)頻率2倍）時，系統(tǒng)的1階模態(tài)振動頻率相對簡單，有幾個主要峰值構成，為概周期運動；由圖3可見，系統(tǒng)的2階模態(tài)振動頻率成分相對復雜，呈現連續(xù)性，由時間歷程曲線、運動相圖可見系統(tǒng)振動幅值變化劇烈，可以判斷為混沌運動。

情況 2：Ω2≈2ω2參激共振情況

圖4 高架索1階模態(tài)振動時間歷程曲線、相圖以及頻譜圖（Ω2≈2ω2）Fig.4 Time flow,phase portrait and frequency spectrum of first model of highline cable

圖5 高架索2階模態(tài)振動時間歷程曲線、相圖以及頻譜圖（Ω2≈2ω2）Fig.5 Time flow,phase portrait and frequency spectrum of second model of highline cable

由圖4、5可見，當Ω2≈2ω2（參數激勵頻率近似等于2階模態(tài)頻率2倍）時，系統(tǒng)的1階模態(tài)振動頻率比情況1要復雜得多，系統(tǒng)振幅值有大范圍變化，此時系統(tǒng)的1階模態(tài)振動具有典型的混沌運動特征；2階模態(tài)振動頻率成分尤其復雜，振幅存在明顯的跳躍，具有典型的混沌運動特性。該情況下，系統(tǒng)模態(tài)振動幅值較情況1要小，故該類型的參激共振對高架索而言不如情況1危險。

5 結 論

（1）考慮集中質量、索端軸向運動等因素對高架索的影響，建立了海上航行橫向干貨補給系統(tǒng)的高架索面內振動的連續(xù)模型。

（2）考慮高架索低階與高階模態(tài)耦合作用，結合Galerkin離散與多尺度方法對系統(tǒng)進行漸近分析。考慮了模態(tài)間的內共振以及參數激勵共振，對系統(tǒng)進行了詳細的數值分析，研究結果表明高架索橫向振動中存在復雜的混沌運動現象，參數激勵頻率對系統(tǒng)混沌運動特性影響較大。

[1]鄧 凱,李紅濤,余建星.高架索航行補給中船舶在波浪中的運動性能研究[J].船舶力學,2009,13(2):217-225.

Deng Kai,Li Hongtao,Yu Jianxing.Behaviour of ships in replenishment of highline system in waves[J].Journal of Ship Mechanics,2009,13(2):217-225.(in Chinese)

[2]陳自力,唐駕時,鄧旻涯.集中荷載作用下懸索的自振頻率分析[J].噪聲與振動控制,2006,26(5):41-44.

Chen Zili,Tang Jiashi,Deng minya.The natural vibration frequency analysis of suspended cables under a concentrated load[J].Noise and Vibration Control,2006,26(5):41-44.(in Chinese)

[3]陳立群,丁 虎.軸向變速運動黏彈性梁穩(wěn)態(tài)響應:近似分析及其數值驗證[J].中國科學:G輯,2009,39(1):112-122.

Chen Liqun,Ding Hu.Steady state response of accelerating moving viscoelastic beam:approximate analysis and numerical confirmations[J].Science in China:Series G,2008,39(12):112-122

[4]Chen Liqun,Zhang Nenghui,Jean W Zu.Bifurcation and chaos of an axmoving viscoelastic beams with time-dependent speed[J].Journal of Sound and Vibration,2005,284(3-5):879-891.

[5]Zhang Wei,Yao Minghui.Multi-pulse orbits and chaotic dynamics in motion of parametrically excited viscoelastic moving belt[J].Chaos Solitons and Fractals,2006,28(1):42-66.

[6]Lin H P,Perkins N C.Free vibration of complex cable/mass systems:theory and experiment[J].Journal of Sound and Vibration,1995,179(1):131-149.

[7]Rega Giuseppe.Nonlinear vibrations of suspended cables-Part I:Modeling and analysis[J].American Society of Mechanical Engineers,2004,57(6):443-478.

[8]Benedettini F,Rega Giuseppe,Alaggio R.Non-linear oscillations of a four-degree-of-freedom model of a suspended cable under multiple internal resonance conditions[J].Journal of Sound and Vibration,1995,182(5):775-798.

[9]徐建平,桂子鵬.變分方法[M].上海:同濟大學出版社,1999.

Xu Jianping,Gui Zipeng.Variational method[M].Shanghai:Tong Ji University Press,1999.(in Chinese)

[10]Nayfeh A H,Mook D T.Nonlinear oscillations[M].New York:Wiley-Interscience,1979.

Parametrically excited oscillation of highline cable of alongside replenishment

HE Xue-jun,ZHANG Liang-xin,REN Ai-di

(Department of Logistics Command and Engineering,Navy University of Engineering,Tianjin 300450,China)

A parmetrically excited oscillation continuum equation of highline cable of alongside replenishment system at sea was formulated by elastic mechanics,which considered the influence of the concentrate mass and the axial motion of the highline cable.The partial differential equation was discretized into ordinary differential equation by Galerkin method,the standard dynamic equation of highline cable was obtained by considering the coupling of different order models.The equation was asymptotically analysed by multi-scale method.Two kinds of parametrically excited resonance cases were analyzed numerically,and the time history curve,phase trajectory and frequency spectra were obtained.The results show that there are complex dynamics behavors such as chaos in parametrically excited oscillation of the highline cable.

parametrically excited oscillation;alongside replenishment;highline cable;Galerkin method;chaos

U661.4

A

1007-7294（2011）11-1283-07

2010-12-08 修改日期：2011-06-27基金項目：中國博士后科學基金資助項目（20080431381）；中國博士后科學基金特別資助項目（200902669）作者簡介： 何學軍（1978-），男，在站博士后，博士，E-mail:hexuejun@tju.edu.cn；