馬自萍

（北方民族大學(xué) 信息與計算科學(xué)學(xué)院，寧夏 銀川 750021）

矩特征具有很好的描述物體形狀能力，廣泛應(yīng)用與圖像識別、圖像檢索等領(lǐng)域。所以如何研究具有旋轉(zhuǎn)、平移、放縮不變性的矩和矩的快速計算成為了近幾十年的研究熱點。正交的Fourier-Mellin矩 （Orthogonal Fourier-Mellin moments（OFMMs））是被沈和申[1]提出的，這種矩利用一系列正交極坐標(biāo)多項式Qn（r）定義，在圖像描述和噪聲敏感性方面，比正交Zernike矩（ZMS）處理具有更好的操作性。在小的極坐標(biāo)距離區(qū)域，第一種方法的正交極坐標(biāo)多項式比第二種方法有更多零點。例如其他正交矩[2]是基于正交特性，一系列Fourier-Mellin矩能使用最少的信息量來描述物體。這種矩有旋轉(zhuǎn)不變性，并能描述圖像的空間成分，由于這個特性，OFMMs常常被應(yīng)用于圖像處理和模式識別[3-7]。

傳統(tǒng)的方法是通過極坐標(biāo)下計算正交多項式OFMMS的方法，雖然二維的傅立葉米蘭矩是在極坐標(biāo)下計算，具有對稱性和旋轉(zhuǎn)不變性這種方法，但是由于要把笛卡爾坐標(biāo)系下的圖像轉(zhuǎn)換到極坐標(biāo)下，所以產(chǎn)生數(shù)字和幾何誤差。這些誤差耗費了大量的運算時間，尤其是在矩的階數(shù)較高時。所以對于真實時間應(yīng)用性具有不可實踐性。為了避免這種誤差，有人提出了直接在笛卡爾坐標(biāo)下計算OFFMs[8]，并用于重建。本文為了OFFMs在笛卡爾坐標(biāo)和極坐標(biāo)下的計算和重建差別，進(jìn)行了試驗。

1 極坐標(biāo)下Fourier-M ellin矩的定義

極坐標(biāo)下Fourier-Mellin矩（OFFMS）用于計算正交多項式 Qn（r）

其中：

多項式 Qn（r）定義于 0≤r≤1，由正交性可得：

OFMM在極坐標(biāo)下定義如下：

極坐標(biāo)下，重建圖像計算式為：

2 笛卡爾坐標(biāo)下OFFM矩的定義

在極坐標(biāo)和笛卡爾坐標(biāo)下，有下列關(guān)系式：

由于

可以得到下式

此時 p=（s-m）/2，p=（s+m）/2， 可以得出笛卡爾坐標(biāo)下OFFM矩[8]。

笛卡爾坐標(biāo)下OFFM矩的重建圖像f（x，y）為：

其中L，K分別為θ和r離散化的最大值。上式可以直接利用直角坐標(biāo)下的OFFM矩進(jìn)行重建，避免了直角坐標(biāo)向極坐標(biāo)轉(zhuǎn)換時產(chǎn)生的誤差，提高了重建精度。

3 實驗

3.1 重建試驗

文中利用式（5）和（10）分別實現(xiàn)了OFFM在不同階數(shù)下的重建效果，結(jié)果如圖1所示。

3.2 抗噪性能試驗

圖1 不同坐標(biāo)下對字母“F”的重建效果Fig.1 Reconstructed image of letter“F” in two coordinates

ALOI（ the Amsterdam Library of Object Image）是包含各種形狀的彩色物體圖像庫，包含ILL（illumination direction），COL （illumination color），VIEW（object viewpoint）3 個子庫，從ILL庫中選出一 張二維彩色圖像，對圖像按照噪聲密度分別為 0.01，0.02，0.03，0.04，0.05 時加入 salt&pepper噪聲，得到圖像如圖2所示作為測試圖像序列。

圖2 不同噪聲密度下的圖像Fig.2 Noise density of origine image added salt&pepper

其中fmi，i=1，2，…5是圖中各個圖像的OFFM矩特征向量，fm1是原圖像的OFFM矩特征向量。在不要階數(shù)下各個圖像的相對誤差試驗圖如3所示。從圖中可以看出，噪聲密度對OFFM矩特征向量的計算誤差差別不太明顯，說明OFFM矩對噪聲有很好的魯棒性。

對圖2中不同噪聲圖像的計算相對誤差采用如下公式：

圖3 不同階數(shù)下對噪聲圖像的相對計算誤差Fig.3 Relative error of the noise images in figure 2

3.3 分類試驗

選擇3類子庫ILL，COL，VIEW圖像各1200張，計算OFFM矩，并利用KNN分類試驗，結(jié)果如下：

圖4 在不同圖像庫中的分類Fig.4 Classification results of OFFM in different databases

4 結(jié)束語

文中從矩的計算方法、重建方法、噪聲敏感程度對OFFM矩進(jìn)行研究，并在圖像識別應(yīng)用中，驗證特性。在實現(xiàn)了兩種坐標(biāo)下的計算和重建，并對OFFM在不同噪聲圖像進(jìn)行試驗，從實驗可以看出，在相同階數(shù)下，直角坐標(biāo)下圖像重建更清晰，具有更小的重建效果。OFFM矩具有良好的抗噪性能。

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