黃 信，李忠獻(xiàn)

(1. 天津大學(xué)建筑工程學(xué)院，天津 300072；2. 天津大學(xué)濱海土木工程結(jié)構(gòu)與安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072)

自由表面波和水體壓縮性對(duì)深水橋墩地震動(dòng)水壓力的影響

黃 信1,2，李忠獻(xiàn)1,2

(1. 天津大學(xué)建筑工程學(xué)院，天津 300072；2. 天津大學(xué)濱海土木工程結(jié)構(gòu)與安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072)

地震時(shí)深水橋墩會(huì)受到動(dòng)水壓力作用，深入分析深水橋墩地震動(dòng)水壓力具有重要意義.基于輻射波浪理論建立深水橋墩地震動(dòng)水壓力計(jì)算公式，分析自由表面波和水體壓縮性對(duì)動(dòng)水壓力的影響.研究表明：自由表面波僅在荷載激勵(lì)頻率較低時(shí)影響水面附近的動(dòng)水壓力；水體壓縮性僅在荷載激勵(lì)頻率較高時(shí)影響動(dòng)水壓力.因此，在長(zhǎng)大橋梁地震災(zāi)變過程模擬中可忽略自由表面波和水體壓縮性對(duì)深水橋墩地震動(dòng)水壓力的影響.

深水橋墩；地震動(dòng)水壓力；自由表面波；水體壓縮性；輻射波浪理論

深水橋梁的地震響應(yīng)分析需要考慮水體和橋墩的動(dòng)力相互作用，流體與結(jié)構(gòu)相互作用分析方法主要有解析法[1-2]、數(shù)值法[3-5]和混合法[6-8].解析法是先求得橋墩所受的地震動(dòng)水壓力解析解，然后將動(dòng)水壓力代入橋墩結(jié)構(gòu)的振動(dòng)方程，從而對(duì)橋墩結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)水壓力作用下的地震響應(yīng)分析，其中橋墩結(jié)構(gòu)的振動(dòng)方程采用剪切梁或彎曲梁的振動(dòng)方程；解析法僅能對(duì)簡(jiǎn)單的橋墩結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，同時(shí)由于橋墩按懸臂梁進(jìn)行處理，所以不能考慮橋梁上部結(jié)構(gòu)對(duì)橋墩的影響.數(shù)值法主要是利用有限元法或邊界元法進(jìn)行求解.有限元法將水體和結(jié)構(gòu)均采用有限元進(jìn)行離散，根據(jù)單元的目標(biāo)函數(shù)不同可以分為 3類，即歐拉法、拉格朗日法和任意拉格朗日-歐拉法，然而由于水體和結(jié)構(gòu)計(jì)算自由度較大，對(duì)計(jì)算機(jī)性能要求高、計(jì)算效率低.邊界元法可將三維問題轉(zhuǎn)化為二維問題，并且只需求解邊界節(jié)點(diǎn)上的積分方程，計(jì)算成本相對(duì)較低.混合法是先求得地震動(dòng)水壓力的解析解，再采用有限元法建立橋墩結(jié)構(gòu)分析模型，進(jìn)而對(duì)橋墩進(jìn)行動(dòng)水壓力作用下的地震響應(yīng)分析.由于利用有限元建立橋墩模型，可以方便地考慮橋梁上部結(jié)構(gòu)對(duì)橋墩的影響，同時(shí)僅對(duì)橋墩建立數(shù)值模型，相對(duì)數(shù)值法而言混合法計(jì)算效率高.

由于混合法的上述優(yōu)點(diǎn)，現(xiàn)有深水橋墩地震響應(yīng)分析主要采用混合法，而混合法的重點(diǎn)是橋墩地震動(dòng)水壓力的求解.Goyal等[6]研究具有 2個(gè)對(duì)稱軸的任意截面形狀柱體的動(dòng)水壓力，并考慮了土-結(jié)構(gòu)相互作用.Mccormick[7]推導(dǎo)了柱體結(jié)構(gòu)的動(dòng)水壓力公式，討論了波數(shù)對(duì)慣性力系數(shù)及阻尼系數(shù)的影響.賴偉等[8]基于輻射波浪理論提出了一種計(jì)算動(dòng)水壓力的半解析半數(shù)值解，采用梁?jiǎn)卧邢拊椒ㄇ蠼怦盥?lián)運(yùn)動(dòng)方程.上述研究均基于輻射波浪理論建立動(dòng)水壓力計(jì)算公式，動(dòng)水壓力會(huì)受自由表面波和水體壓縮性的影響，自由表面波和水體壓縮性的影響在壩體等結(jié)構(gòu)物的地震動(dòng)水壓力分析中已經(jīng)有相關(guān)研究，而目前有關(guān)自由表面波和水體壓縮性對(duì)橋墩地震動(dòng)水壓力的影響鮮見系統(tǒng)性的研究.

筆者基于輻射波浪理論建立深水橋墩地震動(dòng)水壓力的計(jì)算公式，分析了自由表面波和水體壓縮性對(duì)橋墩動(dòng)水壓力的影響.

1 基于輻射波浪理論的深水橋墩地震動(dòng)水壓力

首先考慮地面做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，荷載激勵(lì)頻率為ω.假定水體無旋并根據(jù)線性輻射波浪理論，此時(shí)在柱坐標(biāo)系下水體的速度勢(shì)Φ可表示為復(fù)數(shù)形式Φ(r, θ ,z,t) = φ(r, θ ,z) eiωt，其中φ(r,θ,z)為速度勢(shì)空間因子.圖1所示為深水橋墩分析示意.

圖1 深水橋墩分析示意Fig.1 Schematic diagram of bridge pier in deep water

水體控制方程為

整個(gè)水體的底面和表面以及水體與橋墩交界面處還要滿足相應(yīng)的邊界條件，其中水與橋墩交界面的邊界條件為

式中：R為圓柱體橋墩半徑；h為水深；k＝ω/c，其中c為水中聲速；u為橋墩的位移，本文僅考慮橋墩做剛體運(yùn)動(dòng)，橋墩彈性振動(dòng)也可按此類似分析，地面簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)下的橋墩位移為 u = ug(t) = ugeiωt，其中 ug為位移幅值；柱坐標(biāo)系中 z軸沿橋墩軸線向上，坐標(biāo)原點(diǎn)位于墩底.

將式(7)代入相應(yīng)的控制方程式(1)，并結(jié)合邊界條件式(2)～式(5)，可求得流場(chǎng)中的速度勢(shì).將求得的速度勢(shì)代入 Bernoulli方程，可得到地面簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)下的橋墩動(dòng)水壓力，即

由式(8)可知考慮水體壓縮性和自由表面波影響時(shí)，動(dòng)水壓力與結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)頻率有關(guān).當(dāng)忽略水體壓縮性時(shí)c→∞，從而得到 k＝0.當(dāng)忽略自由表面波影響時(shí)0λ=，并且自由表面邊界條件

由于任何振動(dòng)可以用傅里葉變換分解成簡(jiǎn)諧振動(dòng)，對(duì)于實(shí)際地震動(dòng)可將加速度時(shí)程通過傅里葉變換得到頻域中的諧幅函數(shù)，從而可以得到實(shí)際地震動(dòng)下的橋墩動(dòng)水壓力.

2 自由表面波對(duì)動(dòng)水壓力的影響

水體表面處任意區(qū)域激發(fā)局部擾動(dòng)，產(chǎn)生以重力波形式向周圍傳播的波稱為自由表面波.為衡量自由表面波對(duì)動(dòng)水壓力的影響，忽略水體壓縮性對(duì)橋墩動(dòng)水壓力進(jìn)行分析.

橋墩動(dòng)水壓力采用無量綱參數(shù)，動(dòng)水壓力系數(shù)為式中：Cp為動(dòng)水壓力系數(shù)；abs(Cp)表示對(duì)動(dòng)水壓力系數(shù)Cp取模.

2.1 動(dòng)水壓力系數(shù)沿橋墩高度的分布

為分析自由表面波對(duì)動(dòng)水壓力的影響，沿橋墩高度計(jì)算動(dòng)水壓力系數(shù)，其中考慮自由表面波時(shí)荷載激勵(lì)頻率ω分別取 1,rad/s、2,rad/s和 12,rad/s；橋墩水深h＝40,m，截面半徑R分別取2,m和4,m.圖2所示為動(dòng)水壓力系數(shù)沿橋墩高度的分布.

從圖 2(a)可以看出，橋墩半徑 R＝2,m 時(shí)，當(dāng)荷載激勵(lì)頻率(ω＝12,rad/s)較高時(shí)，動(dòng)水壓力系數(shù)沿橋墩高度分布和忽略自由表面波影響下的動(dòng)水壓力系數(shù)分布一致；對(duì)于荷載頻率(ω＝1,rad/s和ω＝2,rad/s)較低時(shí)，橋墩墩底到橋墩高度 35,m 處的動(dòng)水壓力系數(shù)和忽略自由表面波影響下的動(dòng)水壓力系數(shù)差別不大，僅在水面附近有所增加，如忽略自由表面波時(shí)水面處(z＝40,m)的動(dòng)水壓力系數(shù)為 0，ω＝1,rad/s時(shí)水面處的動(dòng)水壓力系數(shù)為 1.32，ω＝2,rad/s時(shí)水面處的動(dòng)水壓力系數(shù)為 1.76.為更加詳細(xì)地分析自由表面波的影響，沿橋墩高度對(duì)動(dòng)水壓力進(jìn)行積分，可得到橋墩總的動(dòng)水壓力，當(dāng)忽略自由表面波效應(yīng)時(shí)總動(dòng)水壓力系數(shù)為 37.66，而ω＝1,rad/s和ω＝2,rad/s時(shí)總動(dòng)水壓力系數(shù)分別為 40.73和 37.96，可知考慮自由表面波效應(yīng)時(shí)動(dòng)水壓力的增幅均小于8%，所以相對(duì)橋墩所受的總動(dòng)水壓力而言自由表面波影響可以忽略.對(duì)于圖2(b)中橋墩半徑R＝4,m時(shí)也可以得出類似規(guī)律.

圖2 自由表面波影響下動(dòng)水壓力系數(shù)沿橋墩高度的分布Fig.2 Hydrodynamic pressure coefficient distribution with Fig.2 pier height considering free surface wave

2.2 動(dòng)水壓力系數(shù)隨荷載激勵(lì)頻率的分布

進(jìn)一步分析動(dòng)水壓力系數(shù)隨荷載激勵(lì)頻率的變化，分別計(jì)算橋墩墩底、橋墩高度20,m處和水面處的橋墩動(dòng)水壓力系數(shù).圖 3所示為動(dòng)水壓力系數(shù)隨荷載激勵(lì)頻率的分布.

從圖 3(a)可以看出，橋墩半徑 R＝2,m 時(shí)，水面處的動(dòng)水壓力系數(shù)在荷載激勵(lì)頻率較低時(shí)會(huì)隨荷載激勵(lì)頻率的變化而發(fā)生變化；而對(duì)于橋墩墩底和橋墩高度20,m處的動(dòng)水壓力系數(shù)隨荷載激勵(lì)頻率的變化不明顯.進(jìn)一步說明了自由表面波僅在荷載激勵(lì)頻率較低時(shí)會(huì)對(duì)水面附近的動(dòng)水壓力產(chǎn)生影響.對(duì)于圖3(b)中橋墩半徑R＝4,m時(shí)也可以得出類似規(guī)律.

綜上所述，荷載激勵(lì)頻率較高時(shí)自由表面波對(duì)橋墩動(dòng)水壓力的影響可以忽略；荷載激勵(lì)頻率較低時(shí)自由表面波僅會(huì)對(duì)水面附近的橋墩動(dòng)水壓力產(chǎn)生影響，相對(duì)橋墩總的動(dòng)水壓力而言這種影響也可以忽略.所以對(duì)于深水橋墩地震動(dòng)水壓力分析可以忽略自由表面波的影響.

圖3 動(dòng)水壓力系數(shù)隨荷載激勵(lì)頻率的分布Fig.3 Hydrodynamic pressure coefficient distribution with Fig.3 load excitation frequency considering free surface Fig.3 wave

3 水體壓縮性對(duì)動(dòng)水壓力的影響

水體不可壓縮是指水體密度在運(yùn)動(dòng)過程中保持為常數(shù)即不隨時(shí)間和空間變化，而實(shí)際水體是可壓縮的，為正確分析地震作用下深水橋墩的動(dòng)水壓力，有必要研究水體壓縮性對(duì)橋墩動(dòng)水壓力的影響.

為衡量水體壓縮性對(duì)動(dòng)水壓力的影響，忽略自由表面波對(duì)橋墩動(dòng)水壓力進(jìn)行分析.荷載激勵(lì)頻率采用無量綱參數(shù)η表示，即

3.1 動(dòng)水壓力系數(shù)沿橋墩高度的分布

沿橋墩高度計(jì)算動(dòng)水壓力系數(shù)，其中η＝0表示忽略水體壓縮性，考慮水體壓縮性時(shí)分別取η＝0.03、η＝4和η＝7；橋墩水深 h＝40,m，截面半徑 R分別取2,m和4,m.圖4所示為動(dòng)水壓力系數(shù)沿橋墩高度的分布.

從圖 4(a)可以看出，橋墩半徑 R＝2,m 時(shí)，荷載激勵(lì)頻率(η＝0.03)較小時(shí)，動(dòng)水壓力系數(shù)沿橋墩高度分布和忽略水體壓縮性(η＝0)時(shí)的動(dòng)水壓力分布一致；當(dāng)荷載激勵(lì)頻率較大時(shí)，動(dòng)水壓力系數(shù)相對(duì)忽略水體壓縮性下的動(dòng)水壓力系數(shù)有所變化，如忽略水體壓縮性時(shí)墩底處的動(dòng)水壓力系數(shù)為 0.99，而η＝4時(shí)墩底處的動(dòng)水壓力系數(shù)為 1.07，η＝7時(shí)墩底處的動(dòng)水壓力系數(shù)為 1.12.同樣對(duì)于圖 4(b)中橋墩半徑R＝4,m也可以得出類似結(jié)論.

圖4 動(dòng)水壓力系數(shù)沿橋墩高度的分布Fig.4 Hydrodynamic pressure coefficient distribution with Fig.4 pier height considering water compressibility

3.2 動(dòng)水壓力系數(shù)隨荷載激勵(lì)頻率的分布

分析動(dòng)水壓力系數(shù)隨荷載激勵(lì)頻率的變化，分別計(jì)算橋墩墩底處、橋墩高度 10,m 處、橋墩高度 20,m處和橋墩高度30,m處的動(dòng)水壓力系數(shù).圖5所示為動(dòng)水壓力系數(shù)隨荷載激勵(lì)頻率的分布，其中橫坐標(biāo)采用對(duì)數(shù)坐標(biāo).

從圖 5(a)可以看出，橋墩半徑 R＝2,m 時(shí)，動(dòng)水壓力系數(shù)先隨η的增加而增大，達(dá)到峰值后隨η增加而減小；并且當(dāng)η小于 2.5時(shí)動(dòng)水壓力系數(shù)變化較小，即水體壓縮性對(duì)動(dòng)水壓力的影響不明顯，利用式(14)可知η＝2.5時(shí)ω=89.4 rad/s，而一般地震作用的主要頻率小于使水體壓縮性產(chǎn)生明顯影響的荷載激勵(lì)頻率，所以水體壓縮性的影響可以忽略.對(duì)于圖5(b)中橋墩半徑R＝4,m也可以得到類似結(jié)論.

綜上所述，荷載激勵(lì)頻率較低時(shí)水體壓縮性對(duì)橋墩動(dòng)水壓力的影響可以忽略；當(dāng)荷載激勵(lì)頻率較大時(shí)水體壓縮性會(huì)對(duì)動(dòng)水壓力產(chǎn)生影響，而地震作用的主要頻率小于使水體壓縮性產(chǎn)生明顯影響的荷載激勵(lì)頻率.所以深水橋墩地震動(dòng)水壓力分析中可以忽略水體壓縮性的影響.

圖5 動(dòng)水壓力系數(shù)隨荷載激勵(lì)頻率的分布Fig.5 Hydrodynamic pressure coefficient distribution with Fig.5 load excitation frequency considering water Fig.5 compressibility

上述分析可知，深水橋墩地震動(dòng)水壓力分析可以忽略自由表面波和水體壓縮性的影響.忽略自由表面波影響時(shí)自由表面邊界條件滿足式(11)，忽略水體壓縮性時(shí) k＝0，所以動(dòng)水壓力表達(dá)式(8)中不再包含荷載頻率，即動(dòng)水壓力不隨荷載激勵(lì)頻率變化，此時(shí)動(dòng)水壓力對(duì)橋墩地震響應(yīng)的影響如同一附加質(zhì)量.

4 結(jié) 論

(1) 自由表面波在荷載激勵(lì)頻率較高時(shí)對(duì)橋墩動(dòng)水壓力的影響可以忽略；自由表面波在荷載激勵(lì)頻率較低時(shí)僅會(huì)對(duì)水面附近的動(dòng)水壓力產(chǎn)生影響，相對(duì)橋墩所受的總動(dòng)水壓力而言這種影響也可以忽略.所以對(duì)于深水橋墩地震動(dòng)水壓力分析可以忽略自由表面波的影響.

(2) 水體壓縮性在荷載激勵(lì)頻率較低時(shí)對(duì)橋墩動(dòng)水壓力的影響可以忽略；水體壓縮性在荷載激勵(lì)頻率較大時(shí)會(huì)對(duì)動(dòng)水壓力產(chǎn)生影響，而地震作用的主要頻率小于使水體壓縮性產(chǎn)生明顯影響的荷載激勵(lì)頻率.所以深水橋墩動(dòng)水壓力分析中可以忽略水體壓縮性的影響.

(3) 當(dāng)忽略自由表面波和水體壓縮性影響時(shí)，動(dòng)水壓力不隨荷載激勵(lì)頻率變化，此時(shí)可以利用附加質(zhì)量概念對(duì)深水橋墩進(jìn)行地震響應(yīng)分析.

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Influence of Free Surface Wave and Water Compressibility on Earthquake Induced Hydrodynamic Pressure of Bridge Pier in Deep Water

HUANG Xin1,2，LI Zhong-xian1,2
(1. School of Civil Engineering，Tianjin University，Tianjin 300072，China；2. Key Laboratory of Coast Civil Structure Safety of Ministry of Education，Tianjin University，Tianjin 300072，China)

Hydrodynamic pressure is applied to bridge pier in deep water under earthquake excitation. It is of great significance to analyze earthquake induced hydrodynamic pressure of bridge pier in deep water. Earthquake-induced hydrodynamic pressure formulary was established using radiation wave theory. The influence of free surface wave and water compressibility on hydrodynamic pressure of bridge pier was studied. The results indicate that free surface wave will only influence hydrodynamic pressure in the vicinity of water surface under low-frequency load excitation. Water compressibility only has an effect on hydrodynamic pressure under high-frequency load excitation. In conclusion，the influence of free surface wave and water compressibility on earthquake induced hydrodynamic pressure can be ignored in earthquake hazard simulation of long and huge bridge.

bridge pier in deep water；earthquake induced hydrodynamic pressure；free surface wave；water compressibility；radiation wave theory

U442.5

A

0493-2137(2011)04-0319-05

2010-07-22；

2010-09-02.

國(guó)家自然科學(xué)基金重大研究計(jì)劃重點(diǎn)支持項(xiàng)目(90715032)；國(guó)家自然科學(xué)基金重大研究計(jì)劃培育項(xiàng)目(91015005)；國(guó)家自基金項(xiàng)目：然科學(xué)基金重大國(guó)際合作項(xiàng)目(51021140003).

黃 信（1983— ），男，博士研究生，xhuang@tju.edu.cn.

李忠獻(xiàn)，zxli@tju.edu.cn.