劉蓉暉

（上海電力學(xué)院電力與自動(dòng)化工程學(xué)院，上海 200090）

諧波不僅使電力設(shè)備損耗增加，導(dǎo)致繼電保護(hù)和自動(dòng)化裝置誤動(dòng)作，引起電氣諧振和電機(jī)的機(jī)械振動(dòng)，而且還會(huì)干擾通信線路，影響測(cè)量?jī)x表的精度，甚至造成電網(wǎng)的大事故.因此，對(duì)電力系統(tǒng)的諧波進(jìn)行有效治理，具有明顯的社會(huì)經(jīng)濟(jì)效益［1］.諧波檢測(cè)是實(shí)現(xiàn)諧波治理的前提條件，諧波檢測(cè)已成為當(dāng)前國(guó)內(nèi)外電能質(zhì)量檢測(cè)研究的熱點(diǎn)之一.

目前，電力系統(tǒng)中的諧波檢測(cè)方法大多是基于快速傅里葉變換（FFT）及其改進(jìn)算法.傅里葉變換具有良好的頻域分析和時(shí)域無(wú)局部化特性，因此只適合穩(wěn)態(tài)諧波的檢測(cè).而小波變換方法具有良好的時(shí)頻局部化特性，很適合檢測(cè)突變信號(hào)和非平穩(wěn)信號(hào)［2］.但小波變換具有對(duì)信號(hào)頻帶劃分不均勻、對(duì)高頻信號(hào)檢測(cè)精度不高，以及高頻頻帶寬、低頻頻帶窄的特點(diǎn).小波包分析可以實(shí)現(xiàn)頻帶的均勻劃分，具有比小波變換更好的時(shí)頻特性和較高的信號(hào)檢測(cè)精度［3］.

1 小波變換

對(duì)于任意的函數(shù)x（t）∈L2（R）的連續(xù)小波變化（CWT）為：

式中：ψ（t ）——基本小波（母小波）;

a，b——小波函數(shù)的尺度因子和位移參數(shù)，分別決定小波的時(shí)頻窗在頻域和時(shí)域的位置.這里的a和b是連續(xù)變化的，稱為連續(xù)小波變換.

小波變換具有對(duì)信號(hào)的自適應(yīng)性.在低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時(shí)間分辨率，在高頻部分具有較高的時(shí)間分辨率和較低的頻率分辨率，所以也被稱為數(shù)學(xué)顯微鏡［4］.

實(shí)際的觀測(cè)信號(hào)都是離散的，而且由于計(jì)算機(jī)處理的是離散量，所以信號(hào)處理中都采用離散小波變換（DWT）.多數(shù)情況下是將尺度因子a和位移參數(shù)b按2的冪次進(jìn)行離散.最有效的計(jì)算方法是由MALLAT S于1988年提出的基于多分辨率分析的快速小波算法，又稱Mallat算法.

Mallat快速小波變換是利用正交小波基將信號(hào)分解為不同尺度下的各個(gè)分量，其實(shí)現(xiàn)過(guò)程相當(dāng)于重復(fù)使用一組高通和低通濾波器將信號(hào)逐步分解.第一步是將信號(hào)分解為通過(guò)高通濾波器產(chǎn)生的高頻細(xì)節(jié)分量和通過(guò)低通濾波器產(chǎn)生的低頻近似分量.低頻分量和高頻分量所占頻帶寬度相等，各占信號(hào)的一半頻譜帶.第二步是對(duì)低頻分量重復(fù)上述過(guò)程進(jìn)行進(jìn)一步分解，從而得到下一層次上的兩個(gè)分解分量，而高頻分量不再進(jìn)行分解.以下再依此類推分解.由于小波變換對(duì)信號(hào)頻帶的劃分不是均勻劃分，因此信號(hào)的低頻部分能夠得到精確分解，但在高頻段的頻率分辨率較差.

2 小波包變換

小波包變換是建立在小波變換的基礎(chǔ)上的，它可以實(shí)現(xiàn)頻帶的均勻劃分，對(duì)小波變換中沒(méi)有細(xì)分的高頻分量作進(jìn)一步分解，并能夠根據(jù)被分析信號(hào)的特征，自適應(yīng)地選擇相應(yīng)頻帶，使之與信號(hào)頻譜相匹配，以提高時(shí)頻分辨率.

2.1 小波包基本原理

設(shè)x（t）為待分析時(shí)間信號(hào)，P（i，j）表示第i層（即尺度因子為2i）上的第j個(gè)小波包，稱為小波包系數(shù).H和G為小波包分解低通和高通濾波器.小波包分解的快速算法為［5］：

2.2 小波包的頻帶劃分

現(xiàn)有的小波包分解結(jié)構(gòu)，各個(gè)頻帶標(biāo)記的大小與相應(yīng)的頻帶頻率大小不完全對(duì)應(yīng).這樣就對(duì)諧波的頻率分析帶來(lái)困難，不能根據(jù)小波包分解的結(jié)果直接判斷諧波頻率范圍，不利于諧波檢測(cè)分析.文獻(xiàn)［6］提出了一種新的小波包分解結(jié)構(gòu)，即將低通和高通濾波器的排列重新調(diào)整，就可以得到按頻率大小順序連續(xù)分布的均勻頻帶.若將信號(hào)中的最高頻率看作是1，進(jìn)行5層小波包分解，則可將整個(gè)信號(hào)頻帶分成連續(xù)順序的32個(gè)子頻帶，每個(gè)子頻帶帶寬為1/32=0.031 25.新的小波包濾波器組結(jié)構(gòu)及其頻段劃分見(jiàn)圖1.

待分析信號(hào)X經(jīng)過(guò)第1層小波包分解，通過(guò)低通濾波器H的信號(hào)頻帶范圍為0～0.5，通過(guò)高通濾波器G的信號(hào)頻帶范圍為0.5～1;將這兩組信號(hào)進(jìn)行第2層小波包分解，濾波器組排列順序依次為低通濾波器H，高通濾波器G，高通濾波器G和低通濾波器H;以此類推.按照?qǐng)D1所示的濾波器排列順序，經(jīng)過(guò)第5層小波包分解后的32個(gè)子頻帶的頻率范圍依次為0～0.031 25，0.031 25～0.062 5，…，0.968 75～1，因此不同頻帶的小波包系數(shù)就相當(dāng)于從某個(gè)時(shí)-頻窗內(nèi)提取到的原始信號(hào)信息.

圖1 新的小波包濾波器組結(jié)構(gòu)及其頻段劃分

3 仿真實(shí)例驗(yàn)證

3.1 電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)諧波的檢測(cè)

以三相橋式整流電路在電感性負(fù)載時(shí)交流側(cè)的電流作為諧波信號(hào)進(jìn)行檢測(cè).該信號(hào)為正負(fù)半周各120°的近似方波，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

式中：f0=50 Hz，諧波的幅值采用標(biāo)幺值.此諧波信號(hào)中，除了頻率為50 Hz的基波之外，還包括5次、7次、11次和13次諧波.下面用Matlab7.4軟件提供的小波分析工具箱進(jìn)行仿真.

本文采用正交小波db40，因?yàn)閐b40小波的分解與重構(gòu)信號(hào)失真度小，具有良好的計(jì)算性和時(shí)域光滑性.對(duì)原始信號(hào)x（t）進(jìn)行5層小波包分解，采樣頻率為6 400 Hz;每個(gè)基波周期采樣128點(diǎn)，采樣時(shí)間為6個(gè)基波周期.整個(gè)頻帶分解成25=32個(gè)子頻帶，每個(gè)子頻帶寬1/32×3 200= 100 Hz.原始信號(hào)x（t）通過(guò)5層小波包分解，被分離到各個(gè)子頻帶中，計(jì)算第5層小波包分解系數(shù)的重構(gòu)信號(hào)，得到第5層第j個(gè)小波包系數(shù)的重構(gòu)信號(hào)，小波包分解結(jié)點(diǎn)為（5，0），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4）（5，5），（5，6），（5，7）的小波包重構(gòu)信號(hào)頻率范圍及諧波次數(shù)見(jiàn)表1.原始信號(hào)和重構(gòu)信號(hào)的波形見(jiàn)圖2.

表1 小波包重構(gòu)信號(hào)的頻譜范圍

圖2 小波包變換對(duì)穩(wěn)態(tài)諧波信號(hào)的重構(gòu)波形

由圖2可知，所得波形與理論波形相同.由此可見(jiàn)，小波包重構(gòu)信號(hào)可以將原始信號(hào)在各個(gè)子頻帶有效分離出來(lái).

3.2 電力系統(tǒng)暫態(tài)諧波的檢測(cè)

某電力系統(tǒng)暫態(tài)諧波信號(hào)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

t1起始時(shí)間，t1=0.1 s;

t2結(jié)束時(shí)間，t2=0.2 s.

選用db40小波對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行5層小波包分解，采樣頻率為6 400 Hz，采樣周期12個(gè).該信號(hào)的基波頻率為50 Hz，在采樣的第6至第10個(gè)周期出現(xiàn)了3次、5次、7次和9次諧波.其仿真試驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)圖3.

由圖3可知，X5.0完美地重構(gòu)了原始信號(hào)的基波，X5.1，X5.3，X5.2，X5.6重構(gòu)了原始信號(hào)的3次、5次、7次和9次暫態(tài)諧波，根據(jù)波形可以得到暫態(tài)諧波的起止時(shí)間分別為t1=0.1 s，t2=0.2 s，與理論值一致.

圖3 小波包變換對(duì)暫態(tài)諧波信號(hào)的重構(gòu)波形

4 結(jié)論

（1）小波包變換具有良好的時(shí)頻局部化特性，對(duì)信號(hào)頻帶可以實(shí)現(xiàn)均勻劃分，適用于電力系統(tǒng)諧波的檢測(cè).

（2）仿真試驗(yàn)表明，通過(guò)小波包變換可對(duì)電網(wǎng)中的穩(wěn)態(tài)諧波和暫態(tài)諧波進(jìn)行準(zhǔn)確分析，能為電網(wǎng)中諧波的研究和治理提供依據(jù).

［1］任震.小波分析及其在電力系統(tǒng)中的應(yīng)用［M］.北京：中國(guó)電力出版社，2003：12-36.

［2］任震，黃群古.基于多頻帶小波變換的電力系統(tǒng)諧波分析新方法［J］.中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2000，11（2）：38-41.

［3］薛惠，楊仁剛，羅紅.利用小波包變換實(shí)現(xiàn)電力系統(tǒng)諧波分析［J］.電網(wǎng)技術(shù)，2004，28（5）：41-45.

［4］胡昌華，李國(guó)華，周濤.基于MATLAB 7.x的系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)小波分析［M］.西安：西安電子科技大學(xué)出版社，2008：20-69.

［5］徐劍，金之儉，傅堅(jiān)，等.基于改進(jìn)小波包算法的變壓器繞組變形的檢測(cè)［J］.華東電力，2010，38（3）：376-380.

［6］PHAM V L，WONG K P.Antidistortion method for wavelet transform filter banks and nonstationary power system waveform harmonic analysis［J］.IEE Proceedings Generation，Transmission and Distribution，2001，148（2）：117-122.

（編輯胡小萍）