趙登虎

（南京政治學(xué)院基礎(chǔ)部，江蘇南京 210003）

如何把抽象高等數(shù)學(xué)講得生動(dòng)有趣

趙登虎

（南京政治學(xué)院基礎(chǔ)部，江蘇南京 210003）

抓課堂教學(xué)是提高教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵，怎樣才能有效地提高課堂教學(xué)效果呢？就需要改變傳統(tǒng)的教學(xué)模式，讓學(xué)員由被動(dòng)轉(zhuǎn)為主動(dòng)學(xué)，把抽象高等數(shù)學(xué)講得生動(dòng)有趣.講解時(shí)通俗有趣、融知識(shí)與趣味于一體，是提高學(xué)員學(xué)習(xí)積極性有效方法.只要學(xué)員對所學(xué)的內(nèi)容感到生動(dòng)有趣、印象深，學(xué)員就不會(huì)感到枯燥乏味.

高等數(shù)學(xué)；教學(xué)效果；生動(dòng)有趣

作為一名軍校教員，既要有強(qiáng)烈的事業(yè)心責(zé)任心，又要教書育人為人師表，同時(shí)必須對教學(xué)質(zhì)量負(fù)責(zé).筆者在教學(xué)中有所創(chuàng)新，每年對教員教學(xué)評估中名列前茅，取得了較好的教學(xué)效果.下面從幾個(gè)方面談?wù)勅绾伟殉橄蟾叩葦?shù)學(xué)講得生動(dòng)有趣.

1 數(shù)形結(jié)合動(dòng)畫結(jié)合

抽象的函數(shù)可以通過生動(dòng)的圖象表示，抽象的極限可以通過函數(shù)的圖形來反映.計(jì)算機(jī)的普及與應(yīng)用又給抽象的數(shù)學(xué)注入新的直觀內(nèi)容，極限、導(dǎo)數(shù)和定積極分通過利用多媒體課件和CAI動(dòng)畫表現(xiàn)更加直觀形象，特別二元微積分利用多媒體更加生動(dòng)具體.于是抽象的內(nèi)容通過圖形動(dòng)畫表現(xiàn)得更為直觀.

2 密切聯(lián)系軍事

軍隊(duì)院校要姓軍，數(shù)學(xué)也不例外，軍事運(yùn)籌學(xué)是一門重要的軍事理論課，不少部隊(duì)都有“運(yùn)籌帷幄，決勝千里”的標(biāo)語.隨著運(yùn)籌在軍事領(lǐng)域的不斷擴(kuò)大應(yīng)用，進(jìn)一步促進(jìn)了軍事運(yùn)籌研究工作的深入發(fā)展，而它的基礎(chǔ)是高等數(shù)學(xué).因此在講授高等數(shù)學(xué)中穿插一些軍事運(yùn)籌實(shí)例——線性規(guī)劃、鞍點(diǎn)對策、微分對策、風(fēng)險(xiǎn)決策、統(tǒng)計(jì)預(yù)測和蘭徹斯特方程等等，會(huì)起到意想不到的教學(xué)效果.

又如，美國的“西點(diǎn)軍校”，高等數(shù)學(xué)被列為六門必修基礎(chǔ)課之首，且要求數(shù)學(xué)課在四年的學(xué)習(xí)中不間斷.之所以這樣做，是因?yàn)閿?shù)學(xué)的學(xué)習(xí)能嚴(yán)格地培訓(xùn)學(xué)員們把握軍事行動(dòng)的能力與適應(yīng)性，能使學(xué)員們在軍事行動(dòng)中的那特殊的活力與靈活的快速性互相結(jié)合起來，并為學(xué)員們進(jìn)入和馳騁于高等軍事科學(xué)領(lǐng)域而鋪平道路.大家都知道西點(diǎn)軍校的學(xué)員，訓(xùn)練是魔鬼式，學(xué)習(xí)也是美國高校的佼佼者.西點(diǎn)軍校為他們打下了良好的基礎(chǔ).因此西點(diǎn)軍校畢業(yè)的學(xué)員基本上都是軍地兩用人才.

再如，軍事家拿破侖十分重視愛好數(shù)學(xué)，他指出：“數(shù)學(xué)的發(fā)展與至善和國家的繁榮昌盛密切相關(guān).”當(dāng)他休息時(shí)總是利用這一點(diǎn)時(shí)間閱讀數(shù)學(xué)書.他認(rèn)為在數(shù)學(xué)書籍的閱讀中，常常會(huì)受到啟發(fā)而有新的發(fā)現(xiàn)或產(chǎn)生新思想.在數(shù)學(xué)趣題中有拿破侖內(nèi)三角形，拿破侖外三角形.通過名人效應(yīng)也能激發(fā)學(xué)員的數(shù)學(xué)熱情.

3 解釋抽象哲學(xué)

一般地說，哲學(xué)高于數(shù)學(xué)，即數(shù)學(xué)是樸素的哲學(xué).恩格斯曾經(jīng)指出：“要確立的辯證的同時(shí)又是唯物主義的自然觀，前要具備數(shù)學(xué)和自然科學(xué)的知識(shí).”他對十九世紀(jì)70年代以前的數(shù)學(xué)和各門自然科學(xué)都有深入的研究，但他特別指出，數(shù)學(xué)是“辯證的輔助工具和表現(xiàn)方式”.這就是說，在數(shù)學(xué)中辯證法表現(xiàn)得比較充分、豐富，比較典型、深刻.例如，“直”和“曲”.直線和曲線是截然不同的兩個(gè)概念，直不能是曲，曲不能是直；或直或曲，涇渭分明；它們之間的對立是絕對的無條件的.形而上學(xué)則抓住并夸大了這一面，認(rèn)為不能轉(zhuǎn)化.但是我國古代勞動(dòng)人民用自己的實(shí)踐批判了這一思想.他們用長方體之磚（其邊是直線）砌成拱形之橋（其形是曲線）.實(shí)現(xiàn)了直向曲的轉(zhuǎn)化.文學(xué)家用“一輪紅日從地平線上冉冉升起”名句，不是實(shí)現(xiàn)了曲向直的轉(zhuǎn)化嗎？所以在一定的條件下，直和曲可以相互轉(zhuǎn)化.又如，P級(jí)數(shù)結(jié)論是：P＞1收斂，P≤1發(fā)散的結(jié)論.可學(xué)員就是不理解，我想用名言“真理向前邁進(jìn)一步就是謬誤”解釋，恰到好處.又如0.9999…＝1嗎？有的回答等于，有的回答不等于.怎么辦？因?yàn)?／3＝0.33333…，兩邊同乘以3就可以有答案.這樣學(xué)員可以學(xué)到具體生動(dòng)的辯證法.

4 悖論與數(shù)學(xué)謎語

教學(xué)中可適當(dāng)引入悖論和數(shù)學(xué)謎語提高學(xué)員的積極性.例如：在講述集合的問題時(shí)可講解理發(fā)師悖論.講極限和級(jí)數(shù)時(shí)，通過分析芝諾詭辯（跑得快兔子趕不上爬得慢的烏龜），認(rèn)識(shí)有限與無限的關(guān)系，無限之和并非無限.在闡述導(dǎo)數(shù)的幾何意義時(shí)，講述亞里士多德詭辯，即所有圓的周長相等.講概率統(tǒng)計(jì)時(shí)，介紹“吃飯問題”：假設(shè)布什、賴斯、多爾三人相約去吃快餐.附近有麥當(dāng)勞、比薩餅、芳香雞三家快餐店.這時(shí)，問題出來了，布什喜歡吃麥當(dāng)勞，其次是比薩餅，最不愿吃芳香雞；賴斯喜歡吃比薩餅，其次是芳香雞，最不愿意吃麥當(dāng)勞；而多爾的選擇是芳香雞、麥當(dāng)勞、比薩餅.總之，三人各有所好，面臨不歡而散或挨餓的危險(xiǎn).既然美國是個(gè)比較“民主”的國家，三人決定通過民主程序做出選擇.“一人一票”如何？“一人兩票”又如何？最終不會(huì)有結(jié)果.經(jīng)過一番商量，賴斯提議采取復(fù)式投票法，先在麥當(dāng)勞、芳香雞之間投票，獲勝的再與比薩餅選出.布什、多爾表示同意.最后賴斯吃到了最喜歡的，而多爾吃得直皺眉頭，布什吃得也不開心.雖然這是一個(gè)吃飯問題，略加修改就是一個(gè)選舉悖論，這也是一個(gè)用數(shù)學(xué)審判西方民主的實(shí)例.這種生動(dòng)性與趣味性的問題非常吸引學(xué)員學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性.

有趣的數(shù)學(xué)謎語不僅活躍課堂氣氛，而且加深概念的理解、加深結(jié)論的記憶.不失時(shí)機(jī)地利用數(shù)學(xué)謎語肯定可以起到事半功倍的效果.例如，從上第一堂課時(shí)謎語：“再見吧，媽媽！”打兩個(gè)數(shù)學(xué)名詞，謎底為“分母、分子”.到課終考試時(shí)宣布紀(jì)律謎語：“考試不作弊”，謎底為“真分?jǐn)?shù)”（或“實(shí)數(shù)”）.又如：學(xué)員對體育比較感興趣，利用“三八二十四”打一體育比賽用語，謎底為“女子雙打”.講級(jí)數(shù)求和時(shí)“負(fù)荊請罪”，謎底為“求和”.在數(shù)列中猜“私字當(dāng)頭”，謎底為“公差”.“一望無際”，謎底為“無窮大”.“1003＝100 ×100×100”，謎底為“千方百計(jì)”.“3.4”，謎底為“不三不四”等等.其中，有趣的是在近似求值一節(jié)，從“干”字打一數(shù)學(xué)名詞的謎語，謎底為“近似于”，學(xué)員聽后是開懷大笑，覺得數(shù)學(xué)妙趣橫生，其樂無窮.

5 數(shù)學(xué)與音樂同美

當(dāng)你快速閱讀“獨(dú)覽梅花掃臘雪，細(xì)睨山勢舞流溪”優(yōu)美詩句時(shí)，會(huì)有“do，re，mi，fa，sol，la，si；1，2，3，4，5，6，7”之感.“許多藝術(shù)能夠美化人們的心靈，但沒有哪一種藝術(shù)以能比數(shù)學(xué)更有效地去美化和修飾人們的心靈.”對美的強(qiáng)烈追求，促使科學(xué)家探索自然奧秘揭示客觀事物的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，同時(shí)也促使藝術(shù)家開掘心靈的礦藏，創(chuàng)造美的形象與神韻.真實(shí)性、統(tǒng)一性、和諧性、簡單性及對稱性，既是科學(xué)的審美標(biāo)準(zhǔn)，又是藝術(shù)的審美要求.

為提高學(xué)員的學(xué)習(xí)積極性，就數(shù)學(xué)科學(xué)與音樂藝術(shù)進(jìn)行比較.數(shù)學(xué)之所以能夠應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)世界，正是因?yàn)閬碓从诂F(xiàn)實(shí)世界.數(shù)學(xué)講究真實(shí)性，這不但體現(xiàn)在數(shù)學(xué)和圖形是客觀世界的抽象，而且體現(xiàn)在各種運(yùn)算法則與定理是客觀世界事物運(yùn)動(dòng)的科學(xué)總結(jié).“唯樂不可以為偽”，音樂的真實(shí)性在于它是人類道德的精華與心靈的真實(shí)寫照.數(shù)學(xué)講究高度的統(tǒng)一性，如正數(shù)、零和負(fù)數(shù)統(tǒng)一于實(shí)數(shù)軸，實(shí)數(shù)又統(tǒng)一于復(fù)數(shù)之中.不僅如此，數(shù)學(xué)中的運(yùn)算法則高度統(tǒng)一，不容許有任何混亂.音樂講究內(nèi)容與形式的統(tǒng)一性.在創(chuàng)作中有調(diào)式、調(diào)性、曲式、風(fēng)格的統(tǒng)一，在表演中有音色、技法的統(tǒng)一，并由指揮者統(tǒng)一全體表演者的音調(diào)、節(jié)奏.數(shù)學(xué)講究和諧性，其和諧除表現(xiàn)在約分、線段等分、直線平行等具體的數(shù)字或圖形的相互關(guān)系外，最根本的是數(shù)學(xué)運(yùn)算或論證井然有序，數(shù)學(xué)的推理是一種最完美的推理，更為清晰地闡明自然界的和諧性.音樂的本質(zhì)就是和諧性.數(shù)學(xué)講究簡單性，越是重要的定理、公式其表達(dá)形式越簡單，數(shù)學(xué)以簡明為佳，以冗長繁瑣為劣.音樂創(chuàng)造講究素材的洗煉及手法的簡潔，并運(yùn)用簡潔的手法給以變化發(fā)展，絕不畫蛇添足.數(shù)學(xué)講究對稱，有中心對稱、軸對稱等.音樂中屬音與屬音以主音為對稱，和聲中屬功能與下屬功能以主功能對稱，升調(diào)與降調(diào)節(jié)器又以C調(diào)為對稱.兩者的靈魂是完全一致的！難道說音樂不就是感覺中的數(shù)學(xué)，而數(shù)學(xué)不就是推理中的音樂嗎？科學(xué)與藝術(shù)同美.

只要抽象的數(shù)學(xué)講得生動(dòng)有趣，學(xué)員就一定有興趣學(xué)好數(shù)學(xué).

［1］ 汪浩.數(shù)學(xué)與軍事［M］.大連：大連理工大學(xué)出版社，2008：1-15.

［2］ 趙登虎.課堂教學(xué)如何做到深入淺出生動(dòng)有趣［J］.高等數(shù)學(xué)教學(xué)研究，1998（?？?32，153.

O13；G424.1

C

1672-1454（2011）04-0196-03

2009-01-21