張 曄

（天津市河?xùn)|區(qū)職工大學(xué)，天津市 300170）

微積分現(xiàn)代形式的確立與文化意義

張 曄

（天津市河?xùn)|區(qū)職工大學(xué)，天津市 300170）

微積分是人類智慧的偉大成就之一，是微分學(xué)和積分學(xué)的合稱，概述了微積分這一重要數(shù)學(xué)思想從萌芽到醞釀，從誕生到發(fā)展的過程。微積分給數(shù)學(xué)注入了旺盛的生命力，它不但成為自然科學(xué)和工程技術(shù)的基礎(chǔ)，它的產(chǎn)生也對其他人文學(xué)科也有著重要作用。

數(shù)學(xué)史；微積分；不可分量法；特征三角形；牛頓—萊布尼茨公式

在大學(xué)里微積分是一門重要的基礎(chǔ)課，微積分也是任何一個學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的人必須闖過的第一個真正的大沙場，微積分這部無限的交響樂是由全世界眾多的數(shù)學(xué)工作者用自己的血、淚、汗、才智等譜寫而成的。熟悉這一學(xué)科的歷史發(fā)展，了解人類的這一巨大精神財富的積累過程和歷代數(shù)學(xué)家艱苦卓絕的奮斗精神，對于陶冶一個人的數(shù)學(xué)思想情操，增長與提高自己的數(shù)學(xué)意識與思維能力，形成自己的數(shù)學(xué)觀，對于自身的學(xué)習(xí)與工作都將具有重要的意義。

一、微積分的誕生（17世紀后半期）

17世紀后半葉，英國的牛頓和德國的萊布尼茨以其卓越的天才首先明確地認識到求積問題和作切線問題之間的互逆關(guān)系，建立了微積分基本公式：牛頓—萊布尼茨公式，并且建立起一套系統(tǒng)的、強有力的無窮小算法，這使他們倆人成為微積分的締造者。

（一）微積分奠基人——牛頓

1．牛頓的“流數(shù)術(shù)”

牛頓對微積分的研究始于1664秋，1965年夏至1967年春在家鄉(xiāng)躲避瘟疫期間，取得了突破性進展。1965年11月發(fā)明了“正流數(shù)術(shù)”（微分法），1966年5月建立“反流數(shù)術(shù)”（積分法）同年10月將其研究成果寫成《流數(shù)簡論》，雖未發(fā)表，但已在同事間傳閱，可稱為歷史上第一篇系統(tǒng)的微積分文獻。

《流數(shù)簡論》反映了牛頓微積分的運動學(xué)背景，該文事實上以速度形式引進了“流數(shù)”（微商）概念，雖然沒有使用“流數(shù)”這一術(shù)語。牛頓在《流數(shù)簡論》中提出兩類微積分的基本問題：

1）已知各流量間的關(guān)系，是確定它們流數(shù)之比；

2）已知一個包含一些流量的流數(shù)的方程，試求這些流量間的關(guān)系。

這顯然是兩個互逆問題。牛頓在《流數(shù)簡論》中說“一旦反微分問題可解，許多問題都將迎刃而解。牛頓將自古希臘以來求解無限小問題的各種特殊技巧統(tǒng)一為兩類普遍的算法—正、反流數(shù)術(shù)，亦即微分與積分，并證明了二者的互逆關(guān)系將這兩類運算進一步統(tǒng)一成整體。這是牛頓超前人的功績，正是在這樣意義下，我們說牛頓發(fā)明了微積分。

2．牛頓的微積分發(fā)表

《流數(shù)簡論》標(biāo)志著微積分的誕生，但它在許多方面是不成熟的，牛頓于1667年春天回到劍橋，對自己的微積分發(fā)現(xiàn)未作宣揚，但在那時起到1693年大約四分之一世紀的時間里，牛頓始終不渝努力改進、完善自己的微積分學(xué)說，先后寫成了三篇微積分論文，它們分別是《運用無窮多項方程的分析學(xué)》簡稱《分析學(xué)》，完成于1669年；《流數(shù)發(fā)和無窮參數(shù)》簡稱《流數(shù)法》，完成于1671年；《曲線求積數(shù)》簡稱《求積術(shù)》，完成于1691年。這三篇論文，反映了牛頓微積分學(xué)說的不斷改進、完善、發(fā)展過程，并且可以看到，牛頓對于微積分的基礎(chǔ)先后給出了不同的解釋。在《求積術(shù)》中牛頓引進了流數(shù)記號：x·，y·，z·來表示變量x，y，z的一次流數(shù)（導(dǎo)數(shù)）；類似地，x··，y··，z··表示二次流數(shù)；x…，y…，z…表示三次流數(shù)。

（二）微積分奠基人——萊布尼茨

1．萊布尼茨的特征三角形

萊布尼茨在1672到1676年間，是他在數(shù)學(xué)方面的“發(fā)明創(chuàng)造的黃金時代”。在這期間，他與荷蘭數(shù)學(xué)家、物理家、天文學(xué)家惠更斯的會晤，激起了他對數(shù)學(xué)的興趣。開始構(gòu)建微積分的主要特征，并對曲線的切線以及面積、體積等微積分問題進行研究。萊布尼茨創(chuàng)立微積分首先是出于對幾何問題的思考，尤其是對特征三角形（微分三角形）的研究，1673年萊布尼茨提出了自己的“特征（直角）三角形”。實際上，他在關(guān)于特征三角形的研究中認識到：求曲線的切線，依賴于縱坐標(biāo)的差值與橫坐標(biāo)的差值，當(dāng)這些差值變成無限小時之比；而求曲線下的面積，則依賴于無限小區(qū)間上的縱坐標(biāo)之和（亦即寬度為無限小的矩形面積之和），并看到了這兩類問題的互逆性。萊布尼茨在給洛必達的一封信中總結(jié)說：“求切線不過是求差，求積不過是求和”所以可以說萊布尼茨比巴羅等人“更上一層樓”。

2．萊布尼茨的微積分的發(fā)表

1684年萊布尼茨發(fā)表了他的第一篇微分學(xué)論文《一種求極大與極小值和求切線的新方法》，簡稱《新方法》，刊登在《教師學(xué)報》上。這也是數(shù)學(xué)史上第一篇正式發(fā)表的微積分文獻。該文是萊布尼茨對自己1673年以來微積分學(xué)研究的概括，其中定義了微分并廣泛采用了微分記號dx，dy?！缎路椒ā分忻鞔_陳述了萊布尼茨1677年已得到的函數(shù)和、差、積、商、乘冪與方根的微分公式。這些都表明萊布尼茨非常重視微積分的形式運算法則和公式系統(tǒng)。相比之下，牛頓雖然也發(fā)現(xiàn)并運用了這些法則，但卻沒有費心去陳述一般公式，他更多的興趣是微積分的直接應(yīng)用?！缎路椒ā愤€包含了微分法在求極大、極小值、求拐點以及光學(xué)等方面的廣泛應(yīng)用。

1686年，萊布尼茨又發(fā)表了他的第一篇積分學(xué)論文《深奧的幾何與不可分量及無限的分析》。這篇論文初步論述了積分或求積問題與微分或切線問題的互逆關(guān)系。而正是在這篇論文中，積分號∫第一次出現(xiàn)于印刷出版物上，且對于兩相鄰值x，y的差，引進“dx，dy”。他引進的符號dx和∫體現(xiàn)了微分與積分的“差”與“和”的實質(zhì)，后來獲得普遍接受并沿用至今。相對而然，牛頓對符號不太講究，他用帶點字母x·，y·…表示流數(shù)（導(dǎo)數(shù)），用帶撇字母x′y′…表示流量（積分），雖然點記號今天在某些場合仍在使用，但牛頓的積分號則是完全被淘汰了。

綜上所述，牛頓和萊布尼茨研究微積分學(xué)的基礎(chǔ)都達到了統(tǒng)一的目的。在他們的著作中共同建立和完善了無窮小量的經(jīng)典分析，也就是完成了微積分學(xué)。但他們的方法各自不同，牛頓的數(shù)學(xué)分析的基本概念是力學(xué)概念的反映。而萊布尼茨作為哲學(xué)家和幾何學(xué)家對方法本身感興趣，他精心選擇符號，注重公式系統(tǒng)，建立微積分法則，關(guān)心用運算公式創(chuàng)造出廣泛意義下的微積分?？傊?，牛頓和萊布尼茨都是微積分的奠基者，都為構(gòu)建微積分這座宏偉大廈做出了永不磨滅的貢獻，二人各有千秋。因此，后人將微積分的基本公式稱為“牛頓——萊布尼茨公式”，以此來紀念兩人的功績。

二、微積分現(xiàn)代形式的確立（19世紀）

17世紀中葉以后，分析學(xué)飛快地向前發(fā)展，18世紀達到了空前燦爛的程度，其內(nèi)容的豐富，使人來不及檢查和鞏固這一領(lǐng)域的理論基礎(chǔ)，因而遭受到種種非難，引發(fā)“數(shù)學(xué)危機”，歷史要求給微積分以嚴格的基礎(chǔ)，因此，數(shù)學(xué)家便開始了對微積分理論基礎(chǔ)的重建與嚴格化。

19世紀出現(xiàn)一批杰出的數(shù)學(xué)家，積極地為微積分的奠基工作做著不懈的努力。他們是波爾查斯，柯西，魏爾斯特拉斯，戴德金等。

下面從函數(shù)概念的發(fā)展、極限理論的完成、實數(shù)理論的建立這三方面簡介如下。

（一）函數(shù)概念的發(fā)展。首先由傅里葉、柯西等沖破函數(shù)的解析式，之后狄利克雷、羅巴切夫斯基用對應(yīng)觀點給函數(shù)下了定義，最后由黎曼給出了今天的形式。

（二）極限理論完成。捷克數(shù)學(xué)家波爾查諾，是他開始將嚴格的論證引入到數(shù)學(xué)分析。1850年出版的《無窮的悖論》包含了他的許多真知灼見，堪稱是微積分極限理論奠基的先驅(qū)。分析學(xué)的奠基人，公認的多產(chǎn)數(shù)學(xué)家柯西．他在1821－1823年出版的《分析教程》和《無窮小計算講義》是數(shù)學(xué)史上劃時代的著作。書中給出了微積分一系列的基本概念的精確定義。如他給出了精確的極限定義，然后用極限定義連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、微分、定積分和無窮級數(shù)的收斂性，將微積分建立在極限理論的基礎(chǔ)上。但由此需要對實數(shù)作更深刻的理解，而德國數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯擔(dān)當(dāng)了這一任務(wù)。他引進了精確的ε－σ語言給出了極限準確的描述。，可以說極限概念的歷史是從動態(tài)化過渡到靜態(tài)化的歷史。

（三）實數(shù)論的建立?？挛饔脴O限概念為微積分奠定了基礎(chǔ)，在這個基礎(chǔ)上魏爾斯特拉斯又進一步的算術(shù)化，把微積分所有的基本概念通過實數(shù)和它們的基本運算關(guān)系精確地表達出來。這樣便建立起了分析基礎(chǔ)的邏輯順序是：實數(shù)系－極限論－微積分。但并不等于微積分的研究已到了終結(jié)，戴德金的實數(shù)理論是它的現(xiàn)代形式，康托爾的貢獻使微積分建立在集合論上，從而給了微積分一個更堅實的基礎(chǔ)。由于康托爾在1874年所創(chuàng)立的《集合論》，他的關(guān)于無窮集的理論可以說是這部無窮交響樂的高潮。

20世紀初由H．勒貝格將實函數(shù)的積分概念作了推廣，提出了包羅廣泛的積分理論L積分（即實變函數(shù)理論）。1966年A．魯濱遜為無窮小概念提供邏輯基礎(chǔ)時，提出了非標(biāo)準分析。上述的兩個積分的新發(fā)展都是當(dāng)代數(shù)學(xué)的重大發(fā)展，微積分現(xiàn)在讓熱愛它的人們用智慧、膽略和百折不撓的精神，勤奮努力為這部無窮的交響樂譜寫著更美、更壯麗的樂章。

三、微積分的文化意義

微積分的誕生具有劃時代的意義，是數(shù)學(xué)史上的分水嶺和轉(zhuǎn)折點。微積分是人類智慧的偉大結(jié)晶，恩格斯說：“在一切理論成就中，未必再有什么像17世紀下半葉微積分的發(fā)現(xiàn)那樣被看作人類精神的最高勝利了?！碑?dāng)代數(shù)學(xué)分析權(quán)威柯朗指出：“微積分乃是一種震撼心靈的智力奮斗的結(jié)晶?！蔽⒎e分的重大意義可從下面幾個方面去看。

（一）對數(shù)學(xué)自身的作用

由古希臘繼承下來的數(shù)學(xué)是常量的數(shù)學(xué)，是靜態(tài)的數(shù)學(xué)。自從有了解析幾何和微積分，就開辟了變量數(shù)學(xué)的時代，是動態(tài)的數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)開始描述變化、描述運動，改變了整個數(shù)學(xué)世界的面貌。數(shù)學(xué)也由幾何的時代而進入分析的時代。

微積分給數(shù)學(xué)注入了旺盛的生命力，使數(shù)學(xué)獲得了極大的發(fā)展，取得了空前的繁榮。如微分方程、無窮級數(shù)、變分法等數(shù)學(xué)分支的建立，以及復(fù)變函數(shù)，微分幾何的產(chǎn)生。嚴密的微積分的邏輯基礎(chǔ)理論進一步顯示了它在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的普遍意義。

（二）對其他學(xué)科和工程技術(shù)的作用

微積分雖然極具抽象性，然而卻有著廣泛的應(yīng)用。由于微積分來源于社會生活和生產(chǎn)實際，是從人們生活、生產(chǎn)過程的經(jīng)驗中抽象概括出來的一門學(xué)科。有了微積分，人類把握了運動的過程，微積分成了物理學(xué)的基本語言，尋求問題解答的有力工具。有了微積分就有了工業(yè)大革命，有了大工業(yè)生產(chǎn)，也就有了現(xiàn)代化的社會。航天飛機、宇宙飛船等現(xiàn)代化的交通工具都是微積分的直接結(jié)果。

在微積分的幫助下，牛頓發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律，發(fā)現(xiàn)了宇宙中沒有哪一個角落不在這些定律所包含的范圍內(nèi)，強有力地證明了宇宙的數(shù)學(xué)設(shè)計。

現(xiàn)在化學(xué)、生物學(xué)、地理學(xué)、經(jīng)濟學(xué)等學(xué)科都必須同微積分打交道。

（三）對人類物質(zhì)文明的影響

現(xiàn)代的工程技術(shù)直接影響到人們的物質(zhì)生產(chǎn)，而工程技術(shù)的基礎(chǔ)是數(shù)學(xué)，都離不開微積分。如今微積分不但成了自然科學(xué)和工程技術(shù)的基礎(chǔ)，而且還滲透到人們廣泛的經(jīng)濟、金融活動中，也就是說微積分在人文社會科學(xué)領(lǐng)域中也有著其廣泛的應(yīng)用。

（四）對人類文化的影響

如今無論是研究自然規(guī)律，還是社會規(guī)律都是離不開微積分，因為微積分是研究運動規(guī)律的科學(xué)。

現(xiàn)代微積分理論基礎(chǔ)的建立是認識上的一個飛躍。極限概念揭示了變量與常量、無限與有限的辯證的對立統(tǒng)一關(guān)系。從極限的觀點來看，無窮小量不過是極限為零的變量。即在變化過程中，它的值可以是“非零”，但它的趨向是“零”，可以無限地接近于“零”。因此，現(xiàn)代微積分理論的建立，一方面，消除了微積分長期以來帶有的“神秘性”，使得貝克萊主教等神學(xué)信仰者對微積分的攻擊徹底破產(chǎn)，而且在思想和方法深刻影響了近代數(shù)學(xué)的發(fā)展。這就是微積分對哲學(xué)的啟示，對人類文化的啟示和影響。

［1］南基洙．大學(xué)數(shù)學(xué)文化［M］．大連：大連理工大學(xué)出版社，2008．

［2］易南軒，王芝平．多元視角下的數(shù)學(xué)文化［M］．北京：科學(xué)出版社，2007．

［3］王庚．?dāng)?shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教育［M］．北京：科學(xué)出版社，2004．

［4］李文林．?dāng)?shù)學(xué)史概論［M］．北京：高等教育出版社，2003．

［5］方延明．?dāng)?shù)學(xué)文化［M］．北京：清華大學(xué)出版社，2007．

［6］張順燕．?dāng)?shù)學(xué)的源與流［M］．北京：高等教育出版社，2008．

On the Formation and Cutural Significance of Calculus

ZHANG Ye
（Tianjin Hedong District Staff and Workers University，Tianjin 300170 China）

Abs tra c t：Calculus，composed of Differential Calculus and Integral Calculus，is considered as one of the greatest works of human wisdom．This paper made a brief summary on the courses of thought of calculus from spout to birth and development．Calculus poured vitality for mathematics．The birth of Calculus not only became the foundation of natural science and technology，but also played an important role in the development of other humanities．

Key words：History of Mathematics Calculus；Method of Indivisibles；characteristic triangle；Newton－Leibniz formula

O172

A

1673－582X（2011）01－0113－04

2010－10－21

張曄（1961－），女，天津市人，天津市河?xùn)|區(qū)職工大學(xué)副教授，主要從事高等數(shù)學(xué)教學(xué)與研究。