段小蘭 郝振純

(河海大學(xué)水文水資源與水利工程學(xué)科國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,南京 210098)

洪水風(fēng)險(xiǎn)分析的目的一方面在于確定防洪工程的設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn),由設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)推求相應(yīng)的設(shè)計(jì)洪水;另一方面是估算洪水的風(fēng)險(xiǎn)大小.傳統(tǒng)的水文頻率計(jì)算中都是以時(shí)段洪量或洪峰來描述洪水,并且假定兩者同頻率,進(jìn)行頻率分析,推求相應(yīng)的設(shè)計(jì)值或估計(jì)洪水風(fēng)險(xiǎn).洪水作為一種復(fù)雜的水文過程,洪峰和洪量是否同頻率,對(duì)其認(rèn)識(shí)還有待進(jìn)一步深入.理論上,對(duì)于一定降水,產(chǎn)生的洪水總徑流量等于凈雨量,洪量的量級(jí)大小很大程度上取決于降水量的多少,其次是流域土壤的前期濕潤(rùn)狀況,洪峰是凈雨量通過流域調(diào)蓄作用后的結(jié)果,是洪量在時(shí)間上的分配,這決定了洪峰和洪量存在復(fù)雜的內(nèi)在關(guān)系.所以簡(jiǎn)單地說,洪量量級(jí)由氣候條件確定,洪峰量級(jí)是氣候和下墊面共同作用的結(jié)果,兩者很難達(dá)到頻率相等.洪峰小而洪量大的洪水,可以導(dǎo)致很大的洪水災(zāi)害,洪量小而洪峰大的洪水同樣能造成巨大損失.因此,單獨(dú)以洪峰或洪量展開洪水分析,結(jié)果可能導(dǎo)致過高或過低地估計(jì)了洪水風(fēng)險(xiǎn),有望通過尋求多變量的洪水風(fēng)險(xiǎn)分析方法來改善這種估計(jì)偏差.文獻(xiàn)[1]在多變量分析洪水中做了有益探索,考慮洪水和降水的不同頻率關(guān)系,但在洪水成因上存在矛盾,把因果關(guān)系的降水和洪水作為兩個(gè)并列的因素來處理;文獻(xiàn)[2]考慮洪峰和洪量,用模糊聚類理論,構(gòu)造隸屬度函數(shù),表征峰量同時(shí)發(fā)生的關(guān)系,但是文中構(gòu)造的隸屬度函數(shù)是基于線性相關(guān)系數(shù)建立的,對(duì)兩者關(guān)系的描述過于簡(jiǎn)化.為此,本文以概率論的基本原理和Copula函數(shù)為基礎(chǔ),探討同時(shí)考慮洪峰和洪量的洪水風(fēng)險(xiǎn)分析方法.

1 洪峰和洪量共同作用下的聯(lián)合洪水風(fēng)險(xiǎn)分析

1.1 聯(lián)合風(fēng)險(xiǎn)概率模型

洪水風(fēng)險(xiǎn)的定量化定義目前尚有爭(zhēng)議,比較普遍的觀點(diǎn)認(rèn)為洪水風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)包括3個(gè)基本屬性:洪水事件的量級(jí)、洪水事件出現(xiàn)的概率以及洪水事件一旦發(fā)生所造成的損失.由于估計(jì)洪水損失涉及的資料很多,暫不作研究,只針對(duì)洪水量級(jí)和風(fēng)險(xiǎn)率(發(fā)生概率)作討論.

對(duì)于單變量的風(fēng)險(xiǎn)分析,風(fēng)險(xiǎn)可以理解為變量超過主體承載能力的概率,即風(fēng)險(xiǎn)為P(L≥R),其中L為要分析的特征變量,R為特征變量的閾值,也可理解為承載能力,當(dāng)L≥R時(shí),即遭到了破壞.尖瘦型洪水(峰高量少)和肥胖型洪水(峰低量大)都能造成洪水災(zāi)害,因此洪水的風(fēng)險(xiǎn)分析應(yīng)不單以一個(gè)特征變量分析,必須同時(shí)考慮洪峰Q和洪量W.考慮二變量情況,風(fēng)險(xiǎn)率可定義為洪峰或洪量超過各自閾值的概率:P=P{Q≥q∪W≥w}.q和w分別表示洪峰和洪量的承載能力,由定義可知,任意變量超過閾值(承載能力),災(zāi)害都將發(fā)生.將發(fā)生破壞性事件P=P{Q≥q∪W≥w}記作P(W∪Q),評(píng)價(jià)洪水的風(fēng)險(xiǎn)率即計(jì)算P(W∪Q),由概率論基本理論知

式中,P(W)為發(fā)生W≥w的概率;P(Q)為發(fā)生Q≥q的概率;P(W)P(Q)為同時(shí)發(fā)生W≥w和Q≥q的概率.

從計(jì)算式(1)可知,洪峰和洪量的聯(lián)合洪水風(fēng)險(xiǎn)計(jì)算問題就轉(zhuǎn)化為計(jì)算P(W)和P(Q),以及兩者的聯(lián)合概率問題P(W)P(Q).一般來說P(W)和P(Q)可由傳統(tǒng)的概率分布模型P-Ⅲ分布求得,即

式中,f(x)和f(y)表示洪量和洪峰的密度函數(shù),由此可見洪峰和洪量的聯(lián)合洪水風(fēng)險(xiǎn)分析的關(guān)鍵在于聯(lián)合概率P(W)P(Q)的處理.文獻(xiàn)[1]認(rèn)為兩者的條件概率f(x|y)近似服從正態(tài)分布,通過冪指數(shù)變換法對(duì)變量進(jìn)行正態(tài)化處理,最后用數(shù)值積分法求出聯(lián)合概率,文獻(xiàn)[1]的問題在于計(jì)算相當(dāng)復(fù)雜;文獻(xiàn)[2]認(rèn)為實(shí)際情況下洪峰和洪量的關(guān)系處于完全相關(guān)和相互獨(dú)立之間,根據(jù)兩個(gè)時(shí)間序列的線性相關(guān)系數(shù)構(gòu)造關(guān)于完全相關(guān)和相互獨(dú)立兩種情況的組合概率來表示實(shí)際洪峰洪量的聯(lián)合概率,文獻(xiàn)[2]的問題在于用線性相關(guān)系數(shù)表示洪峰和洪量復(fù)雜關(guān)系,這種方法有可能忽視了洪峰和洪量的非線性關(guān)系.本文嘗試用Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ描述兩者的關(guān)系,其優(yōu)點(diǎn)在于τ不僅可以表征隨機(jī)序列間的線性關(guān)系,也可以表征非線性關(guān)系,由此通過秩相關(guān)系數(shù)并用Gumbel Copula函數(shù)來顯示洪峰和洪量的概率關(guān)系,計(jì)算P(W)P(Q).τ的估計(jì)公式為

關(guān)于Copula函數(shù)理論的詳細(xì)介紹見參考文獻(xiàn)[3-5].由概率論基本理論和Copula理論知C(u,v) =F(X≤x∩Y≤y),F(x,y)表示變量x和y的聯(lián)合分布,F(X＞x∩Y＞y)=1+F(x,y)-F(x)-F(y) =1+c(u,v)-u-v.按Sklar定理,C(u,v)=F(W≤w∩Q≤q)=F(W,Q),P(W)P(Q)=F(W＞w∩Q＞q)=1+F(W≤w,Q≤q)-F(w)-F(q),則式(1)變?yōu)?/p>

由式(5)和(6)就可以計(jì)算一定量級(jí)洪水的風(fēng)險(xiǎn)率,考慮洪峰和洪量的洪水風(fēng)險(xiǎn)分析的概率模型已構(gòu)造好.

1.2 聯(lián)合函數(shù)的隨機(jī)抽樣模型

峰量聯(lián)合分布是對(duì)洪峰和洪量間復(fù)雜關(guān)系的聯(lián)合描述,通過聯(lián)合分布函數(shù)進(jìn)行隨機(jī)抽樣可以考慮到洪峰和洪量間的相關(guān)性,具體抽樣方法[6]如下:

(1)根據(jù)建立的兩變量聯(lián)合分布,得到當(dāng)洪量概率為給定值時(shí)洪峰的條件分布

(2)產(chǎn)生服從[0,1]均勻分布的兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)數(shù)r1和r2;

(3)令r1為洪量w的不超過概率F(w),即u= F(W)=r1;

(4)令r2等于當(dāng)洪量為w時(shí)洪峰q的條件概率分布值,即r2=Sv(v|u=r1),從而可根據(jù)v=(r2| u=r1)求對(duì)應(yīng)于洪量概率的洪峰概率;

(5)重復(fù)步驟(1)～(5)n次,即可得到相關(guān)聯(lián)的n對(duì)洪峰洪量概率(u,v).

2 應(yīng)用實(shí)例

蚌埠站位于淮河流域干流上,控制面積為12萬km2,年平均氣溫為11～16℃,多年平均降水量約為920mm.流域面積較大,流域?qū)搅鞯恼{(diào)蓄作用很大,所以洪峰和洪量頻率很難達(dá)到一致.針對(duì)該站1915、1917、1921、1930、1931、1934、1935和1936年部分資料、1918～1920、1922～1923、1928～1929、1932、1947～1948、1950～2008年的徑流資料,選取汛期洪峰和洪量進(jìn)行分析.

表1 蚌埠站洪水特征值單變量頻率分析計(jì)算成果表

按傳統(tǒng)的方法可從表1中查到百年一遇的設(shè)計(jì)汛期洪峰流量為11872.6m3/s,百年一遇的設(shè)計(jì)汛期洪量為652.70億m3,即兩者中任意情況發(fā)生的風(fēng)險(xiǎn)率都為1%,相反地,當(dāng)給定洪峰流量為8 817 m3/s時(shí),單變量的洪水風(fēng)險(xiǎn)為5%.表1給出了洪峰和洪量的單變量分析結(jié)果,若同時(shí)考慮洪峰和洪量因素,按本文提出的聯(lián)合分析方法,可進(jìn)行如下聯(lián)合洪水風(fēng)險(xiǎn)分析.

由式(7)可以計(jì)算洪峰和洪量共同作用下的洪水風(fēng)險(xiǎn).體現(xiàn)洪水事件的隨機(jī)性,對(duì)洪峰和洪量的單變量風(fēng)險(xiǎn)率進(jìn)行隨機(jī)抽樣,本文隨機(jī)抽樣得到30對(duì)(u, v)值,通過聯(lián)合洪水風(fēng)險(xiǎn)模型式(7)計(jì)算得到洪水聯(lián)合風(fēng)險(xiǎn)見表2.

表2 不同洪峰洪量組合共同作用下的聯(lián)合洪水風(fēng)險(xiǎn)分析

續(xù)表2 不同洪峰洪量組合共同作用下的聯(lián)合洪水風(fēng)險(xiǎn)分析

表2的計(jì)算結(jié)果可分為3種情況:(1)聯(lián)合洪水風(fēng)險(xiǎn)大于單變量洪水風(fēng)險(xiǎn)型.洪峰和洪量的洪水量級(jí)處于中間狀態(tài),風(fēng)險(xiǎn)范圍為:10%＜P(L＞R)＜70%,如表中黑色字體,這種情況下,同時(shí)考慮洪峰和洪量的洪水聯(lián)合風(fēng)險(xiǎn)明顯大于單獨(dú)考慮洪峰或洪量時(shí)的風(fēng)險(xiǎn)率;(2)洪水聯(lián)合風(fēng)險(xiǎn)等于洪峰風(fēng)險(xiǎn)型.如藍(lán)色字體,這種情況洪量的量級(jí)偏大,P(L＞R)＜10%,洪峰量級(jí)的較大但小于洪量量級(jí),此時(shí)洪水聯(lián)合風(fēng)險(xiǎn)與洪峰的風(fēng)險(xiǎn)保持一致;(3)洪水聯(lián)合風(fēng)險(xiǎn)等于洪量風(fēng)險(xiǎn)型.如紅色字體,當(dāng)洪量的量級(jí)較小,P(L＞R)＞70%,相反洪峰的量級(jí)要大于洪量的量級(jí)時(shí),聯(lián)合風(fēng)險(xiǎn)與洪量風(fēng)險(xiǎn)保持一致.

因此可以得到結(jié)論,當(dāng)洪水較小且洪峰和洪量的量級(jí)相當(dāng)時(shí),若單獨(dú)分析洪峰或洪量,會(huì)導(dǎo)致低估洪水的風(fēng)險(xiǎn),需同時(shí)考慮洪峰和洪量的影響;而當(dāng)洪峰和洪量量級(jí)相差較大時(shí),洪水風(fēng)險(xiǎn)由量級(jí)小的變量決定.

3 結(jié) 語(yǔ)

水文領(lǐng)域中對(duì)洪水風(fēng)險(xiǎn)分析的研究已經(jīng)很多,并且比較成熟,傳統(tǒng)研究中大多主要采用單變量頻率分析法,不可否認(rèn)該種方法操作簡(jiǎn)單,已得到廣泛應(yīng)用.但也存在很多問題是單變量頻率分析的洪水分析方法不能解決的.本文嘗試用一種新的方式進(jìn)行洪峰和洪量的聯(lián)合洪水風(fēng)險(xiǎn)分析,探討此方法的可行性,得出的結(jié)論是:洪水風(fēng)險(xiǎn)分析應(yīng)針對(duì)洪峰和洪量的不同量級(jí)的組合情況,分情況討論,當(dāng)洪水較小且洪峰和洪量的量級(jí)相當(dāng)時(shí),同時(shí)考慮洪峰和洪量的影響更安全;而當(dāng)洪峰和洪量量級(jí)相差較大時(shí),洪水風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)由量級(jí)小的變量的風(fēng)險(xiǎn)決定.本文的研究也只是一種嘗試性的探討,更多深層次的問題有待進(jìn)一步研究.

[1] 馮 平,崔廣濤,胡明罡.暴雨洪水共同作用下的多變量防洪計(jì)算問題[J].水利學(xué)報(bào),2000,2:49-53.

[2] 翟國(guó)靜,劉振京.多變量洪水風(fēng)險(xiǎn)分析方法[J].河北水利,2006,(B11):69-71.

[3] 郭生練,閆寶偉,肖 義,等.Copula函數(shù)在多變量水文分析計(jì)算中的應(yīng)用及研究進(jìn)展[J].水文,2008,28(3):1-7.

[4] Frees E W,Valdez E A.Understanding Relationships Using Copulas[J].North American Actuarial Journal, 1998,2:1-25.

[5] SA LVADORI G.Bivariate Return Periods Via 2-Copulas[J].Statistical Methodology,2004,1(1-2):129-144.

[6] SALVADORI G,DE MICHELE C.On the Use of Copulas in Hydrology:Theory and Practice[J].Journal of Hydrologic Engineering,2007,12:369.