巴宏欣 何心怡 方 正 李春芳

（空軍指揮學(xué)院1） 北京 100097） （海軍裝備研究院2） 北京 100161）

機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤在軍事和民用等領(lǐng)域具有重要的用途.為此，人們建立了很多種加速度模型，如周宏仁教授提出的“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型［1］，Kishore Mehrotra提出的Jerk模型［2］，以及在其基礎(chǔ)上的若干改進(jìn)模型等［3－4］.本文在“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型自適應(yīng)濾波算法的基礎(chǔ)上，通過分析新息與加速度變化量之間的關(guān)系，提出了一種機(jī)動(dòng)加速度方差的實(shí)時(shí)在線估計(jì)方法，使加速度方差能隨加速度變化量進(jìn)行合理的自適應(yīng)調(diào)整，克服了“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型在非機(jī)動(dòng)或弱機(jī)動(dòng)情況下方差過大而帶來的跟蹤精度不高等缺點(diǎn)，從而能更好地適應(yīng)目標(biāo)非機(jī)動(dòng)和機(jī)動(dòng)的各種情況，明顯提高了對(duì)目標(biāo)的跟蹤精度.

1 “當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型自適應(yīng)濾波算法

“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型的自適應(yīng)濾波算法是建立在卡爾曼濾波基礎(chǔ)上的，其基本濾波方程為

當(dāng)“當(dāng)前”加速度為正時(shí)

當(dāng)“當(dāng)前”加速度為負(fù)時(shí)

由于采用了把加速度的一步預(yù)測(cè)看作是瞬時(shí)的“當(dāng)前”加速度均值，即式（2）可進(jìn)一步簡化為

由于該算法采用機(jī)動(dòng)加速度方差自適應(yīng)，因此無需機(jī)動(dòng)檢測(cè)便能很好地跟蹤機(jī)動(dòng)目標(biāo)，但是由于該算法在于跟蹤勻速目標(biāo)或機(jī)動(dòng)加速度較小的目標(biāo)時(shí)，加速度的方差較大，因此跟蹤誤差較大，精度較低.原因分析如下.

由式（7）可以看出，對(duì)于“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型的機(jī)動(dòng)加速度的方差計(jì)算，當(dāng)k－1時(shí)刻估計(jì)出的加速度（k－1｜k－1）為正值，其數(shù)值越小，則（k－1）越大，當(dāng)（k－1｜k－1）＝0時(shí)，（k－1）達(dá)到最大值；反之（k－1｜k－1）的數(shù)值越大，則（k－1）越小，當(dāng)（k－1｜k－1）＝amax時(shí)（k－1）達(dá)到最小值.由式（8）亦可得到同樣的結(jié)論.也就是說，在當(dāng)前統(tǒng)計(jì)模型中，目標(biāo)越是接近勻速直線運(yùn)動(dòng)，其加速度方差越大；目標(biāo)的加速度越是接近其加速度極限值，其加速度的方差越小.而加速度方差的含義是：加速度變量相對(duì)于其數(shù)學(xué)期望的分散程度，該數(shù)值越大，表明所得到的加速度變量的分布相對(duì)于其數(shù)學(xué)期望越分散.由式（7）和（8）所得到的結(jié)論為：加速度方差與加速度的數(shù)學(xué)期望大小的關(guān)系是，加速度的真值越接近amax或其方差越?。患铀俣鹊恼嬷翟浇咏诹?，其方差越大，即加速度變量的分布越分散.而這是與實(shí)際情況不符合的，實(shí)際目標(biāo)運(yùn)動(dòng)加速度的方差不是按照上述規(guī)律變化.實(shí)際的加速度的方差，應(yīng)與加速度的變化量大小有關(guān)，即在某一周期內(nèi)，加速度的變化量越大，實(shí)際的加速度變量相對(duì)于其數(shù)學(xué)期望越分散，加速度的方差越大，反之越小.因此“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型自適應(yīng)濾波算法在跟蹤強(qiáng)機(jī)動(dòng)目標(biāo)時(shí)精度較高，而跟蹤勻速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)或機(jī)動(dòng)加速度小的目標(biāo)精度較低的主要原因——加速度方差計(jì)算不當(dāng)而帶來的跟蹤精度損失.

此外，“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型的加速度方差計(jì)算方法也沒有引入當(dāng)前時(shí)刻的觀測(cè)值對(duì)加速度方差計(jì)算的影響.

為此，本文分析了新息與加速度變化量之間的關(guān)系，提出了一種利用新息實(shí)現(xiàn)加速度方差的在線估計(jì)方法，使方差的計(jì)算結(jié)果更加符合目標(biāo)的機(jī)動(dòng)和非機(jī)動(dòng)的各種實(shí)際情況，從而提高了對(duì)目標(biāo)的跟蹤精度.

2 改進(jìn)的自適應(yīng)濾波算法

分析目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)模式與所采用的加速度模型及濾波方法之間的關(guān)系，可假設(shè)如下前提.

假設(shè)前提一：若目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)模式不發(fā)生變化，且運(yùn)動(dòng)模式與所采用的加速度模型匹配時(shí)，測(cè)量值與預(yù)測(cè)值之間的差異應(yīng)為傳感器“測(cè)量噪聲”引起的隨機(jī)誤差，可以用濾波方法即可濾除之，如卡爾曼濾波；

假設(shè)前提二：若目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)模式發(fā)生變化，如加速度在k－1時(shí)刻（瞬時(shí)）發(fā)生階躍，在高采樣頻率的前提下，可認(rèn)為從k－1到k的采樣周期內(nèi)加速度保持不變.即在高采樣頻率下，采樣周期非常短暫時(shí)，不妨假設(shè)目標(biāo)在k－1時(shí)刻加速度由變?yōu)椋，且在k－1到k采樣周期內(nèi)加速度保持該數(shù)值不變.而＋Δa為k－1到k的采樣周期內(nèi)的實(shí)際加速度，其中加速度變化量Δa是待估的未知數(shù)值.

按照位移公式，預(yù)測(cè)值滿足下式（假設(shè)前一時(shí)刻模型與模式是匹配的）

而實(shí)際的測(cè)量值滿足下式

則新息（預(yù)測(cè)值與觀測(cè)值之差）為

考慮到測(cè)量誤差，新息應(yīng)為

式中：vk為k時(shí)刻的傳感器測(cè)量的隨機(jī)誤差，為零均值的高斯白噪聲.可見新息的來源由兩部分組成，前一項(xiàng)是由加速度的變化引起，后一項(xiàng)是由傳感器測(cè)量的隨機(jī)誤差引起的（這里不考慮系統(tǒng)偏差，假定已經(jīng)做過系統(tǒng)誤差修正了）.

于是

因目標(biāo)的加速度變化量與傳感器的觀測(cè)隨機(jī)誤差是相互獨(dú)立的，且E｛vk｝＝0，于是式（13）可簡化為

當(dāng)目標(biāo)的加速度不發(fā)生變化時(shí)（如目標(biāo)做常速直線運(yùn)動(dòng)，或是已實(shí)現(xiàn)對(duì)常加速運(yùn)動(dòng)的目標(biāo)的平穩(wěn)跟蹤時(shí)，此時(shí)估計(jì)加速度與實(shí)際加速度非常接近），此時(shí)加速度的變化量也服從零均值的高斯白噪聲分布，則E｛Δa｝＝0，此時(shí)E｛Δd｝＝0，即新息也服從零均值的高斯白噪聲.

當(dāng)目標(biāo)的加速度發(fā)生變化時(shí)，從式（14）可以看出，此時(shí)Δa為非零均值，即E｛Δa｝≠0，因此E｛Δd｝≠0，即新息不再滿足零均值的高斯白噪聲的條件了.

由此可以看出，當(dāng)加速度發(fā)生階躍時(shí)，新息不滿足零均值高斯白噪聲的條件，而是非零均值，滿足

式（15）體現(xiàn)了當(dāng)前時(shí)刻新息與加速度變化量之間的關(guān)系.由于機(jī)動(dòng)加速度方差與加速度變化量的絕對(duì)值成線性關(guān)系［5］，而機(jī)動(dòng)加速度變化量與新息之間滿足式（15）所示的線性關(guān)系，因此可利用新息與加速度變化量之間的關(guān)系給出一種較為合理的加速度方差自適應(yīng)在線估計(jì)公式

式中：Δd為k時(shí)刻的新息，可由k－1時(shí)刻到k時(shí)刻的位置預(yù)測(cè)值與k時(shí)刻的觀測(cè)值之差求取.k時(shí)刻的觀測(cè)值已包含了k－1時(shí)刻到k時(shí)刻的加速度變化對(duì)觀測(cè)值的影響.當(dāng)目標(biāo)發(fā)生機(jī)動(dòng)時(shí)，預(yù)測(cè)值與實(shí)際觀測(cè)值的偏差會(huì)增大，引起新息增大，由式（16）得到的加速度方差也相應(yīng)增大；且機(jī)動(dòng)越大，兩者的偏離程度越大，導(dǎo)致機(jī)動(dòng)加速度的方差越大.因此，本文的方差計(jì)算方法可以與目標(biāo)的機(jī)動(dòng)程度相適應(yīng).

改進(jìn)的方差自適應(yīng)濾波方法流程如下：

分析實(shí)際目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律可知，當(dāng)加速度發(fā)生突變時(shí)，加速度變量的分布相對(duì)于其數(shù)學(xué)期望的分散性增大，此時(shí)加速度方差應(yīng)該增大，以適應(yīng)這種分布情況；而當(dāng)跟蹤非機(jī)動(dòng)目標(biāo)或穩(wěn)定跟蹤以常加速度運(yùn)動(dòng)的目標(biāo)時(shí)，加速度變量的分布相對(duì)于其數(shù)學(xué)期望應(yīng)該相對(duì)集中，此時(shí)加速度方差應(yīng)該很小.而式（16）充分反應(yīng)出上述加速度方差的變化規(guī)律，可見本文提出的加速度方差估計(jì)方法具有理論上的合理性.

本文的機(jī)動(dòng)加速度方差的在線估計(jì)，能夠?qū)崟r(shí)適應(yīng)目標(biāo)的機(jī)動(dòng)與非機(jī)動(dòng)的情況，無需機(jī)動(dòng)檢測(cè)，也無需設(shè)定先驗(yàn)參數(shù).且本文的機(jī)動(dòng)加速度方差計(jì)算引入了當(dāng)前時(shí)刻加速度變化量對(duì)加速度方差的影響，因此更具科學(xué)性.

由本文的第2部分的分析可知，在當(dāng)前統(tǒng)計(jì)模型中，目標(biāo)越是接近勻速直線運(yùn)動(dòng)，其加速度方差越大；目標(biāo)的加速度越是接近其加速度極限值，其加速度的方差越小.而本算法在目標(biāo)未發(fā)生機(jī)動(dòng)或已實(shí)現(xiàn)對(duì)常加速運(yùn)動(dòng)的平穩(wěn)跟蹤時(shí)，新息相對(duì)較小，計(jì)算出的相應(yīng)的加速度方差也較?。欢谀繕?biāo)發(fā)生機(jī)動(dòng)的時(shí)刻，計(jì)算出的相應(yīng)的加速度方差隨之增大，方差調(diào)整得當(dāng)，符合σ2a的物理意義.而加速度方差在濾波算法中是調(diào)整濾波增益計(jì)算的關(guān)鍵因素之一，方差調(diào)整是否得當(dāng)對(duì)于目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的估計(jì)精度有著重要的影響.因此，本文的算法具有相對(duì)更高的跟蹤精度.

3 仿真及結(jié)果分析

仿真周期為100s，目標(biāo)的初始速度為300 m／s，在［1，60］周期內(nèi)做常速運(yùn)動(dòng)，在［61，100］周期內(nèi)做加速度為3 g的常加速運(yùn)動(dòng).傳感器的采樣周期為1s，其觀測(cè)噪聲的誤差協(xié)方差為σ2＝10 000m2.分別采用標(biāo)準(zhǔn)的“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型自適應(yīng)濾波算法和本文所提出的改進(jìn)算法進(jìn)行濾波跟蹤，“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型中采用的機(jī)動(dòng)時(shí)間常數(shù)的倒數(shù)α＝0.1，加速度的極限值取8 g.經(jīng)過100次Monte Carlo仿真試驗(yàn)，所得到的結(jié)果分別如圖1～圖6所示.圖1和圖2分別為位置估計(jì)的均方根誤差比較；圖3和圖4分別為速度估計(jì)的均方根誤差比較；圖5和圖6分別為兩種方法估計(jì)的加速度曲線與加速度真值的比較.圖7和圖8為目標(biāo)在［61，100］周期內(nèi)加速度為5 g的機(jī)動(dòng)時(shí)的位置估計(jì)結(jié)果.

圖1 目標(biāo)的x方向位置估計(jì)的均方根誤差比較

圖2 目標(biāo)的y方向位置估計(jì)的均方根誤差比較

圖3 目標(biāo)的x方向速度估計(jì)的均方根誤差比較

圖4 目標(biāo)的y方向速度估計(jì)的均方根誤差比較

圖5 目標(biāo)的x方向加速度估計(jì)比較

圖6 目標(biāo)的y方向加速度估計(jì)比較

圖7 目標(biāo)的x方向位置估計(jì)的均方根誤差比較（5 g）

圖8 目標(biāo)的x方向位置估計(jì)的均方根誤差比較（5 g）

從仿真結(jié)果可以看出，無論目標(biāo)處于非機(jī)動(dòng)狀態(tài)（常速運(yùn)動(dòng)時(shí)），還是以較大的加速度機(jī)動(dòng)的狀態(tài)（本文中目標(biāo)以3 g加速度進(jìn)行機(jī)動(dòng)時(shí)），本文提出的算法在對(duì)目標(biāo)的位置估計(jì)精度、速度估計(jì)精度上都明顯優(yōu)于“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型，即使在加速度的階躍點(diǎn)處，本文的算法也有較高的估計(jì)精度，圖1～圖4驗(yàn)證了上述結(jié)論.從圖中可以看出，相對(duì)于“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型，本文提出的算法對(duì)位置的估計(jì)精度在整體上提高了28%左右；對(duì)速度的估計(jì)精度，在非機(jī)動(dòng)段，提高了45%左右，在機(jī)動(dòng)段提高了25%以上.

從圖7和圖8（目標(biāo)的加速度為5 g）與圖1和圖2（目標(biāo)的加速度為3 g）的對(duì)比中進(jìn)一步驗(yàn)證了本文前面的理論分析：相對(duì)于無加速度或加速度相對(duì)較小的情況，使用“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型平穩(wěn)跟蹤加速度較大的目標(biāo)時(shí)，跟蹤精度會(huì)更高，是因?yàn)槠浼铀俣确讲钶^小的緣故，符合前面對(duì)“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型的加速度方差的特點(diǎn)分析；而本文提出的算法，無論對(duì)目標(biāo)有無加速度狀態(tài)，都保持了較高的跟蹤精度.

從圖5和圖6可以看出，本算法對(duì)目標(biāo)的加速度估計(jì)，較“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型的自適應(yīng)濾波方法所得到的加速度估值更為平穩(wěn)，精度也更高，更加接近目標(biāo)真實(shí)的加速度值，其快速響應(yīng)能力也類似于“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型.可見本算法提出的實(shí)時(shí)在線加速度方差計(jì)算方法具有合理性.

4 結(jié)束語

提出了一種新的方差自適應(yīng)濾波算法.在“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型自適應(yīng)濾波算法的基礎(chǔ)上，合理分析了加速度變化量對(duì)新息的影響，充分利用了實(shí)時(shí)的觀測(cè)信息，實(shí)現(xiàn)了加速度方差隨加速度變化的自適應(yīng)估計(jì)，因此能更好地適應(yīng)目標(biāo)非機(jī)動(dòng)和機(jī)動(dòng)的各種情況，避免了“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型在目標(biāo)非機(jī)動(dòng)或弱機(jī)動(dòng)時(shí)加速度方差過大而帶來的跟蹤精度不高的問題，同時(shí)也避免了“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型對(duì)目標(biāo)加速度的極限值的設(shè)定，且無須進(jìn)行機(jī)動(dòng)檢測(cè).理論分析和仿真結(jié)果表明，無論是跟蹤常速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)還是跟蹤強(qiáng)機(jī)動(dòng)目標(biāo)，本算法都具有較高的跟蹤精度.

［1］周宏仁，敬忠良，王培德.機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤［M］.北京：國防工業(yè)出版社，1991.

［2］Mehrotra K，Mahapatra P R.A jerk model for tracking highly maneuvering targets［J］.IEEE Trans.on Aerospace and Electronic Systems，1997，33（4）：1094－1105.

［3］喬向東，王寶樹，李 濤，華冠文.一種高度機(jī)動(dòng)目標(biāo)的“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)Jerk模型.西安電子科技大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2002，29（4）：534－539.

［4］劉海燕，趙宗貴，劉 熹，巴宏欣.一種機(jī)動(dòng)目標(biāo)的自適應(yīng)跟蹤算法［J］.武漢理工大學(xué)學(xué)報(bào)：交通科學(xué)與工程版，2007，31（2）：341－344.

［5］王 芳，馮新喜，李鴻艷.一種新的自適應(yīng)濾波算法［J］.現(xiàn)代雷達(dá).2003，7（7）：33－35.