劉輝，蔡仲昌，曹華夏，項昌樂

(北京理工大學 機械與車輛學院 車輛傳動國家重點實驗室，北京100081)

0 引言

在車輛動力傳動系統(tǒng)設計中，為使系統(tǒng)具有較好的動態(tài)特性，需對設計參數(shù)進行反復的動力學修改和優(yōu)化，而靈敏度分析將使這些工作更具有針對性、可行性［1-5］。目前系統(tǒng)動力特性靈敏度研究主要是針對固有頻率和振型展開，主要有以下兩種方法，一是借助模態(tài)分析中特征值和特征向量靈敏度分析方法［6-8］，二是在大型商用有限元軟件中采用優(yōu)化設計模塊提供的梯度評估工具［9-10］。而動態(tài)響應靈敏度分析主要借助于模態(tài)分析中頻響函數(shù)靈敏度分析或在模態(tài)分析基礎上結合傅里葉變換進行，涉及大量復雜矩陣運算，推導過程繁瑣，計算困難［11-12］。因此一種原理簡單、推導方便、計算快捷的適合于動力傳動系統(tǒng)軸系的扭振響應靈敏度分析方法更具有工程實際意義。車輛動力傳動系統(tǒng)扭轉強迫振動響應靈敏度分析主要是研究強迫振動響應參數(shù)如扭振角位移和附加扭振應力對慣量、剛度等系統(tǒng)結構參數(shù)的變化率。本文在利用系統(tǒng)矩陣法對車輛動力傳動系統(tǒng)多自由度集中參數(shù)模型進行扭振響應分析的基礎上，運用直接導數(shù)法進行強迫振動響應靈敏度分析，推導了強迫振動響應靈敏度計算公式，建立了一套適合于動力傳動系統(tǒng)的強迫振動響應靈敏度分析方法，通過實例驗證了該方法的可行性。

1 動力傳動系統(tǒng)強迫振動響應分析

本文采用集中參數(shù)法對車輛動力傳動系統(tǒng)進行多自由度離散化分析，以發(fā)動機波動轉矩為激勵，建立系統(tǒng)n 自由度強迫振動模型，其動力學方程為

式中，J、K 和C 分別為n ×n 階的系統(tǒng)慣量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣;θ、和分別為n 維的系統(tǒng)扭振角位移、角速度和角加速度列向量;M 為系統(tǒng)激勵轉矩向量。

作用在發(fā)動機曲軸上的波動轉矩是車輛傳動系統(tǒng)產(chǎn)生扭振的能量來源，其主要包括燃氣爆發(fā)壓力轉矩和往復部件慣性轉矩，一般通過傅里葉級數(shù)展開得到波動轉矩的各諧次信息。發(fā)動機第v 諧次(v=r/2(r=1，2，…，24))轉矩及系統(tǒng)在其作用下的扭振角位移響應和綜合角位移響應分別為

式中，v 為發(fā)動機轉矩各諧次序號，Xv和Yv分別為發(fā)動機第v 諧次波動轉矩的余弦、正弦分量矩陣，ω 為發(fā)動機旋轉角速度，t 為時間。

角位移分別對時間取一階、二階導數(shù)得到動力傳動系統(tǒng)扭振角速度和角加速度響應。

根據(jù)各質量點振幅和材料力學公式，可得忽略軸段材料阻尼時，第l 軸段(l=1，2，…，n-1)的附加扭振應力為

式中:θl為第l 軸段的綜合角位移響應;Wl為第l 軸段的抗扭截面模量;kl為第l 軸段的扭轉剛度。

2 強迫振動響應靈敏度分析

2.1 靈敏度分析方法

引入廣義力

則(3)式可表示為

2.2 扭轉角位移對設計參數(shù)的靈敏度

取扭轉剛度kl為設計變量，則(3)式化為

2.3 軸段附加扭振應力對設計參數(shù)的靈敏度

取扭轉剛度kh為設計變量，將(2)式對kh求導得

當h≠l 時，

當h=l 時，

為便于比較各個參數(shù)對振動特性的影響，引入相對靈敏度概念，采用一階無量綱靈敏度進行分析，表達式為

本文根據(jù)前面推導的靈敏度公式，采用Matlab編程對強迫振動響應對剛度的靈敏度進行計算，計算程序流程如圖1所示。

圖1 靈敏度分析計算流程Fig.1 Flow chart of sensitivity analysis for vibration response

3 強迫振動響應靈敏度分析實例

3.1 強迫振動響應分析

某車輛動力傳動系統(tǒng)簡化為81 個自由度的模型，其某擋的扭振計算模型如圖2所示。圖中n 為集中質量點個數(shù)，即系統(tǒng)自由度個數(shù)，Ji為各集中質量點的慣量(i=1，2，…，m，…，p，…，n)，kl為各軸段扭轉剛度，阻尼的位置和表示方法與剛度相同，在此不再贅述。

扭振振幅計算結果如圖3所示。由圖可知，發(fā)動機自由端和飛輪的振幅隨著轉速增加呈下降趨勢，在發(fā)動機轉速600 r/min 時達到最大值0.6°和0.55°，振動以0.5 諧次為主;變速箱輸入端振幅最大值為0.52°，在發(fā)動機轉速范圍0.5、1、1.5、3、4.5諧次均存在共振轉速。

圖2 車輛動力傳動系統(tǒng)某檔扭振計算模型Fig.2 Torsional vibration dynamic model of powertrain

圖3 不同部件的扭振角位移振幅Fig.3 Vibration amplitudes in different components

通過計算可知，曲軸系統(tǒng)中第6 軸段附加扭振應力最大，傳動系統(tǒng)中第11 軸段附加扭振應力最大。它們在發(fā)動機工作轉速范圍內的最大附加扭振應力如圖4所示。

圖4 不同軸段的附加扭振應力Fig.4 Maximal additional vibration stress in different shafts

3.2 強迫振動響應靈敏度分析

在工程實際中，由于受到實際結構的限制，優(yōu)先采用調整軸段剛度的方法進行動力學修改。發(fā)動機自由端、飛輪和變速箱輸入端振幅對軸段剛度的靈敏度結果如圖5所示。從結果可知，發(fā)動機自由端振幅依次對減振器、聯(lián)軸器、曲軸系統(tǒng)軸段的剛度敏感;發(fā)動機飛輪振幅依次對第13 軸段、聯(lián)軸器、傳動系統(tǒng)軸段、曲軸系統(tǒng)軸段的剛度敏感;變速箱輸入端振幅依次對聯(lián)軸器、第13 軸段、傳動系統(tǒng)軸段的剛度敏感。

軸段附加扭振應力τ6、τ11對各軸段剛度的靈敏度計算結果如圖6所示。由圖可知，τ6依次對減振器、聯(lián)軸器、曲軸系統(tǒng)軸段的剛度敏感;τ11依次對聯(lián)軸器、第13 軸段、傳動系統(tǒng)軸段的剛度敏感。

以上分析表明當動力傳動系統(tǒng)裝有合適剛度的蓋斯林格聯(lián)軸器時，曲軸上各質量點的扭振角位移主要對曲軸系統(tǒng)本身的剛度敏感，而傳動系統(tǒng)各質量點的扭振角位移主要對聯(lián)軸器剛度和傳動系統(tǒng)本身的剛度敏感，這表明位于聯(lián)軸器前后的曲軸系統(tǒng)和傳動系統(tǒng)在扭振性能上沒有發(fā)生強烈耦合，相互影響很小，聯(lián)軸器起到了很好的隔振作用。

從上述靈敏度分析可知，對于本文中實例，可以通過調整聯(lián)軸器和第13 軸段的扭轉剛度減小扭振角位移幅值和附加扭振應力。從工程實現(xiàn)角度分析，聯(lián)軸器位于發(fā)動機飛輪和變速箱輸入端之間，在動力學修改時比較容易實現(xiàn);而第13 軸段為傳動系統(tǒng)內部軸段，受到結構設計限制，難以實現(xiàn)較大幅度修改。在本例中，為改善系統(tǒng)振動響應特性，應當選擇聯(lián)軸器剛度作為動力學修改或優(yōu)化的設計變量。

圖5 不同部件振幅對軸段剛度的靈敏度Fig.5 Sensitivity of Vibration amplitude of different components to torsional stiffness

圖6 附加扭振應力對軸段剛度的靈敏度Fig.6 Sensitivity of maximal additional vibration stress of different shafts to torsional stiffness of shafts

4 結論

本文基于車輛動力傳動系統(tǒng)扭轉強迫振動計算方法，對扭振角位移和附加扭振應力的靈敏度分析方法進行了深入研究，結論如下:

1)基于直接求導法，推導了扭振角位移和附加扭振應力對軸系剛度的靈敏度計算公式，提出了扭轉強迫振動特性參數(shù)的靈敏度分析方法和流程，為動力傳動系統(tǒng)扭振特性的動力學修改和優(yōu)化中設計變量的選取提供了理論依據(jù)。

2)在動力傳動系統(tǒng)中，位于彈性聯(lián)軸器前后的曲軸系統(tǒng)和傳動系統(tǒng)在扭振性能上沒有發(fā)生強烈耦合，相互影響很小，彈性聯(lián)軸器起到了較好的隔振作用。

3)以某型動力傳動系統(tǒng)為實例進行了扭振特性和靈敏度分析，得到了扭振振幅和附加扭振應力的敏感參數(shù)，為該系統(tǒng)改善振動響應特性提供了指導。

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