常列珍，潘玉田，馬新謀

(1.中北大學(xué) 力學(xué)系，山西 太原030051;2.中北大學(xué) 動力機(jī)械系，山西 太原030051)

厚壁圓筒機(jī)械自緊技術(shù)是一項有實(shí)用價值的工藝技術(shù)，它可提高厚壁圓筒的彈性強(qiáng)度和疲勞壽命。在火炮身管、化工高壓容器和承壓管道等制造上得到了廣泛的應(yīng)用。所謂機(jī)械自緊是利用液壓或機(jī)械作動力，使具有一定過盈量的沖頭強(qiáng)迫通過厚壁圓筒，使其產(chǎn)生塑性變形，從而提高承載能力，達(dá)到自緊的目的。

80年代以來，我國的一些學(xué)者也致力于機(jī)械自緊的力學(xué)理論計算及實(shí)驗(yàn)的研究。宋順成［1］和潘立功［2］用炮鋼模擬管做了一系列的機(jī)械自緊的模擬實(shí)驗(yàn)，測出了自緊過程中外表面的應(yīng)變情況，由此值來間接計算彈塑性分界半徑。但這些方法都必須依靠實(shí)驗(yàn)，不能直接由過盈量計算出彈塑性分界半徑，給工程設(shè)計人員帶來許多不便。因此，有必要尋找出一種新的，更接近于機(jī)械自緊實(shí)際情況的理論模型，得到的結(jié)果能直接方便地應(yīng)用于工程設(shè)計和生產(chǎn)，并且易為工程設(shè)計人員所掌握。

芮嘉白［3］從軸對稱彈塑性空間問題的所有基本方程出發(fā)，分析了機(jī)械自緊特殊的邊界條件，建立了與機(jī)械自緊特點(diǎn)更接近的理論分析模型，推導(dǎo)了可壓縮情況下(ν≠0.5)機(jī)械自緊各物理量的簡明解析式。應(yīng)用該模型可以由過盈量δ 及機(jī)械自緊身管和沖頭的材料參數(shù)、幾何參數(shù)，就能直接算出彈塑性分界半徑rp以及相應(yīng)的自緊度。潘玉田［4］根據(jù)自緊技術(shù)研究的實(shí)踐和彈塑性理論，推導(dǎo)出了過應(yīng)變時機(jī)械自緊沖頭主直徑的估算公式。

本文借用液壓自緊的公式，利用機(jī)械自緊與液壓自緊的不同點(diǎn)，即在加載階段沖頭圓柱部與厚壁圓筒接觸處的徑向應(yīng)力相等這一邊界條件，得到了過盈量與塑性半徑的關(guān)系，用該關(guān)系式可直接由過盈量δ 確定出塑性半徑rp，再由rp確定出加載階段沖頭圓柱部與厚壁圓筒接觸處的壓力pp.

1 不同摩擦系數(shù)的機(jī)械自緊數(shù)值模擬

1.1 有限元模型的建立

沖頭與身管之間的摩擦系數(shù)在0.05～0.1［3］，為了研究不同摩擦系數(shù)對機(jī)械自緊身管位移、殘余應(yīng)力及塑性半徑的影響，取身管和沖頭的摩擦系數(shù)分別為0，0.05，0.06，0.07，0.08，0.09，0.10，對這7個不同摩擦系數(shù)的機(jī)械自緊分別進(jìn)行數(shù)值模擬。

身管為雙線性材料模型，沖頭為線彈性材料模型，具體參數(shù)如表1所示。

表1 材料參數(shù)Tab.1 Parameters of materials

采用軸對稱模型，利用有限元軟件ANSYS10.0對其進(jìn)行數(shù)值模擬。沖頭和身管幾何尺寸參照文獻(xiàn)［5］沖頭前錐角為1.5°，后錐角為3°.身管內(nèi)徑2a=101.85 mm，外徑2b=224.07 mm，過盈量δ=1.8 mm，從身管中取出長為260 mm 的一段進(jìn)行數(shù)值模擬。身管和沖頭的摩擦系數(shù)f=0，0.05，0.06，0.07，0.08，0.09，0.10，劃分網(wǎng)格后的有限元模型如圖1所示。

圖1 軸對稱模型Fig.1 Axial symmetric model

沖頭和身管都采用Plane 82 單元，Plane 82 為二維8 節(jié)點(diǎn)實(shí)體單元，每個節(jié)點(diǎn)2 個自由度，是Plane 42 的高次形式。此單元為混合(四邊形—三角形)自動網(wǎng)格劃分提供了更精確的求解結(jié)果，并能承受不規(guī)則形狀而不會產(chǎn)生任何精度上的損失，可用于平面單元也可用于軸對稱單元。具有塑性，徐變，膨脹，應(yīng)力強(qiáng)化，大變形，大應(yīng)變能力。在定義接觸對時，定義目標(biāo)單元為Target 169，接觸單元為Contact 172，并且定義目標(biāo)面與接觸面之間的摩擦系數(shù)。身管被劃分為840 個單元，2 669 個節(jié)點(diǎn)，單元尺寸4.33 mm×4.36 mm，沖頭被劃分成418 個單元，1 353 個節(jié)點(diǎn)。

1.2 各項殘余應(yīng)力沿壁厚分布情況

圖2為摩擦系數(shù)f=0.10 時厚壁圓筒各方向的殘余應(yīng)力沿壁厚的分布圖。圖中σr，σz，σθ分別為徑向殘余應(yīng)力、軸向殘余應(yīng)力和切向殘余應(yīng)力。

圖2 殘余應(yīng)力分布圖Fig.2 Distribution of residual stresses

通過對比機(jī)械自緊厚壁圓筒的殘余應(yīng)力數(shù)值模擬的結(jié)果(圖2)和液壓自緊厚壁圓筒的殘余應(yīng)力沿壁厚的分布結(jié)果［6］可看出:環(huán)向和徑向殘余應(yīng)力分布趨勢與液壓自緊相同。徑向殘余應(yīng)力均為壓縮應(yīng)力，在內(nèi)外表面上徑向殘余應(yīng)力為0，原因是內(nèi)外表面為自由表面。隨著徑向坐標(biāo)的增大徑向殘余應(yīng)力的絕對值從0 開始逐漸增大，達(dá)到一個最大值之后，隨著徑向坐標(biāo)的增大又逐漸減小為0.切向殘余應(yīng)力在內(nèi)表面附近為壓縮應(yīng)力，隨著徑向坐標(biāo)的增大，切向殘余應(yīng)力逐漸由壓縮切向殘余應(yīng)力變?yōu)槔烨邢驓堄鄳?yīng)力。在彈塑性交界面上，拉伸的切向殘余應(yīng)力的值最大。機(jī)械自緊與液壓自緊不同在于機(jī)械自緊厚壁圓筒存在較大的軸向殘余應(yīng)力。軸向殘余應(yīng)力在內(nèi)表面處絕對值最大，但是隨著壁厚的增加軸向殘余應(yīng)力迅速減小，可以看出軸向殘余應(yīng)力在內(nèi)外壁附近較大，在管壁中間部位幾乎為0，并且在內(nèi)表面軸向殘余應(yīng)力為壓縮應(yīng)力，在外表面軸向殘余應(yīng)力為拉伸應(yīng)力，軸向殘余應(yīng)力的分布趨勢與文獻(xiàn)［7-10］中一致。

1.3 7 種不同摩擦系數(shù)下的位移和殘余應(yīng)力比較

從圖3和圖4可以看出，摩擦系數(shù)f 在0～0.10范圍內(nèi)變化時，對徑向位移u 沒有影響，對軸向位移v 而言，內(nèi)壁處影響較大，隨著摩擦系數(shù)增大，軸向位移也增加，但是摩擦系數(shù)對軸向位移的影響隨著壁厚的增加在逐漸減小，可以看到7 條位移曲線在r=60～112 mm 范圍內(nèi)基本重合。

圖3 徑向位移圖Fig.3 Radial displacement

圖4 軸向位移圖Fig.4 Axial displacement

從圖5～圖7可以看出，摩擦系數(shù)f 在0～0.10范圍內(nèi)變化時，對殘余應(yīng)力幾乎沒有影響。

圖5 徑向殘余應(yīng)力分布圖Fig.5 Distribution of radial residual stresses

圖6 軸向殘余應(yīng)力分布圖Fig.6 Distribution of axial residual stresses

圖7 切向殘余應(yīng)力分布圖Fig.7 Distribution of hoop residual stresses

2 力學(xué)分析的假設(shè)

由于厚壁圓筒機(jī)械自緊時，自緊載荷已不是液壓自緊時單純的均勻靜壓了，而是一個沿軸向分布不均勻的移動接觸載荷，對應(yīng)的力學(xué)問題是一個空間軸對稱的彈塑性移動接觸問題。這給理論求解帶來了較大的困難，因此理論分析必須進(jìn)行簡化。其基本假設(shè)如下:

1)沖頭的圓柱段(沖頭形狀為雙錐柱)長度L很小，所以近似認(rèn)為在這段內(nèi)各截面上的應(yīng)力沿z軸沒有變化，彈塑性分界半徑rp為常數(shù)。

2)在r，z 方向，應(yīng)力分量有σr、σz、τrz，由于實(shí)際自緊過程中，內(nèi)膛化學(xué)處理后，潤滑條件的改善，摩擦系數(shù)f≈0.05，根據(jù)塑性成型理論可知:在塑性區(qū)中剪應(yīng)力近似與徑向應(yīng)力成正比，τrz=- fσr，τrz?σr，σz，于是σr，σz近似為主應(yīng)力［10］。

3)從數(shù)值模擬的結(jié)果可看出摩擦系數(shù)對徑向位移及各項殘余應(yīng)力幾乎沒有影響，因此假設(shè)徑向位移、殘余應(yīng)力及塑性半徑與摩擦系數(shù)無關(guān)。

3 理論推導(dǎo)

3.1 對沖頭進(jìn)行彈性分析

對沖頭而言在機(jī)械自緊過程中為彈性變形，由彈性階段本構(gòu)方程

式中:εr為徑向應(yīng)變;εθ為切向應(yīng)變;εz為軸向應(yīng)變;E，ν 分別為沖頭的彈性模量和泊松比。

幾何方程

式中:r 為徑向坐標(biāo);u 為徑向位移。

將(2)式和(3)式代入(1)式得

將(4)式代入平衡方程

得

解得

式中:A1，A2為積分常數(shù)。

由位移邊界條件:u|r=0=0，得A2=0.

故各方向應(yīng)變?yōu)?/p>

各方向應(yīng)力為

式中C1為積分常數(shù)。

3.2 對厚壁圓筒進(jìn)行塑性分析

對厚壁圓筒而言在機(jī)械自緊過程中為彈塑性變形，由文獻(xiàn)［6］得對應(yīng)于沖頭圓柱部厚壁圓筒應(yīng)力

式中:σs為材料的屈服極限;a 為厚壁圓筒內(nèi)半徑;b為厚壁圓筒外半徑，如圖8所示。

對應(yīng)于沖頭圓柱部厚壁圓筒塑性加載區(qū)的徑向位移

由加載階段厚壁圓筒內(nèi)表面與沖頭外表面徑向應(yīng)力相等σr=σr1|r=a得

由位移邊界條件如圖8所示。可得

式中:E1，ν1分別為厚壁圓筒的彈性模量和泊松比。

若已知沖頭的最大直徑Dm，則過盈量δ=Dm-2a，這樣由(18)式即可解得塑性半徑rp.若已知厚壁圓筒要求達(dá)到的塑性半徑或自緊度，也可以確定出過盈量δ.

圖8 沖頭和自緊厚壁圓筒內(nèi)壁徑向位移圖Fig.8 Radial displacements of punch and inner wall of autofrettaged thick-walled cylinder

4 理論值與實(shí)驗(yàn)值的比較

為了驗(yàn)證本文推導(dǎo)的理論解的正確性，本文將實(shí)驗(yàn)值［1］與理論值進(jìn)行比較，沖頭和模擬管的實(shí)驗(yàn)參數(shù)如表2所示。

表2 沖頭和模擬管的實(shí)驗(yàn)參數(shù)Tab.2 The experimental parameters of the punch and the analog tube

表3 塑性半徑比較Tab.3 Comparison of plastic radius

圖9 理論值與實(shí)驗(yàn)值的比較Fig.9 Comparison of plastic radius

圖10 相對誤差比較Fig.10 Comparison of relative error

將表2中的參數(shù)及模擬管的幾何尺寸代入(18)式，利用MATLAB 軟件計算可得機(jī)械自緊厚壁圓筒塑性半徑的理論值，表3中理論值1 和相對誤差1 為(18)式計算的理論值，理論值2 和相對誤差2 來自文獻(xiàn)［3］.

從圖9中可以看出理論值1 和理論值2 都和實(shí)驗(yàn)值很接近，從圖10中誤差的大小比較來看相對誤差1 大多數(shù)情況下要比相對誤差2 小。從表3可得相對誤差1 的平均值為2.5%，相對誤差2 的平均值為3.9%，說明本文推導(dǎo)的計算機(jī)械自緊厚壁圓筒塑性半徑的公式更準(zhǔn)確。

5 結(jié)論

本文研究結(jié)果表明，機(jī)械自緊厚壁圓筒彈塑性分界半徑隨著過盈量的增大而增大，并且與沖頭和厚壁圓筒的材料常數(shù)及厚壁圓筒的內(nèi)外徑有關(guān)。通過對比實(shí)驗(yàn)結(jié)果與本文(18)式給出的計算結(jié)果及文獻(xiàn)［3］給出的理論結(jié)果，可看出本文的理論結(jié)果更接近實(shí)驗(yàn)值。此外，本文給出的機(jī)械自緊厚壁圓筒彈塑性分界半徑的計算公式，形式簡單，便于工程應(yīng)用。

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