劉 翔

(上海交通大學(xué)安泰經(jīng)濟與管理學(xué)院， 上海 200052)

0 前言

ARIMA模型全稱為差分自回歸移動平均模型(Autoregressive Integrated Moving Average Model，簡記ARIMA)，是由博克思(Box)和詹金斯(Jenkins)于20世紀70年代初提出的著名時間序列預(yù)測方法，又被稱為Box-Jenkins模型或博克思-詹金斯法[1].其基本思想是：將預(yù)測對象隨時間推移而形成的數(shù)據(jù)序列視為一個隨機序列，用一定的數(shù)學(xué)模型來近似描述這個序列，并認為該序列蘊含的規(guī)律還將持續(xù)遵循下去.這個模型一旦被識別后就可以從時間序列的過去值及現(xiàn)在值進行外推預(yù)測未來值.因此，ARIMA模型在實證研究中被廣泛運用于時間序列分析和模型預(yù)測領(lǐng)域.

1 ARIMA模型的類型及構(gòu)建過程

ARIMA模型建模的對象是平穩(wěn)的時間序列，因此在對一個離散的單變量時間序列進行建模分析時，應(yīng)當首先考察其平穩(wěn)性，再分析和判斷數(shù)據(jù)序列的生成過程.

根據(jù)平穩(wěn)時間序列生成機制的不同，ARIMA模型實際包含3種類型的模型[2]：

(1)自回歸模型(簡稱AR模型)： 模型為p階自回歸過程，簡記為AR(p)，用公式表示為

yt=φ1yt-1+φ2yt-2+…+φpyt-p+at

其中，{at}是滿足0均值和常數(shù)方差的白噪聲序列，φi為模型的待估參數(shù).

(2)移動平均模型(簡稱MA模型)：

模型為q階移動平均過程，簡記為MA(q)，用公式表示為

yt=at-θ1at-1-θ2at-2-…-θqat-q

其中，θi為模型的待估參數(shù)，其它字母含義同上.

(3)自回歸移動平均混合模型(簡稱ARMA模型)

模型為自回歸移動平均混合過程，簡記為ARMA(p,q)，用公式表示為

yt=φ1yt-1+φ2yt-2+…+φpyt-p+at-θ1at-1-θ2at-2-…-θqat-q

其中，字母含義同上.可以看到，ARIMA模型為自回歸AR模型和移動平均MA模型的算數(shù)和，其中的I表示差分的逆運算.

對于一個時間序列{yt}而言，構(gòu)建ARIMA模型的一般步驟為：

首先進行單位根檢驗或游程檢驗其平穩(wěn)性，若非平穩(wěn)后通過d階差分作平穩(wěn)化處理；如果數(shù)據(jù)存在異方差，則需對數(shù)據(jù)進行技術(shù)處理，直到處理后的數(shù)據(jù)的自相關(guān)函數(shù)值和偏相關(guān)函數(shù)值無顯著地異于零.

之后通過時間序列模型的識別規(guī)則判斷序列所屬類型并建立模型.若平穩(wěn)序列的偏相關(guān)函數(shù)是截尾的，而自相關(guān)函數(shù)是拖尾的，適合AR模型；若平穩(wěn)序列的偏相關(guān)函數(shù)是拖尾的，而自相關(guān)函數(shù)是截尾的，適合MA模型；若平穩(wěn)序列的偏相關(guān)函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)均是拖尾的，則序列適合ARMA模型[3].

然后對該平穩(wěn)時間序列建立相應(yīng)的ARMA(p,q)模型，確定后的差分自回歸移動平均模型整體表示為ARIMA(p,d,q)，其中p為自回歸項，q為移動平均項數(shù)，d為時間序列成為平穩(wěn)時所做的差分次數(shù).

最后對模型進行參數(shù)估計并檢驗參數(shù)是否具有統(tǒng)計意義，如有必要還需要進行假設(shè)檢驗，診斷殘差序列是否為白噪聲.

以上步驟進行完后，獲得與該時間序列匹配的ARIMA模型，并可以通過模型進行趨勢預(yù)測.

ARIMA模型在宏觀經(jīng)濟領(lǐng)域有很多重要的運用，通?；跉v史數(shù)據(jù)構(gòu)建模型，并在置信區(qū)間內(nèi)對所分析經(jīng)濟對象的趨勢進行判斷.本文將以中國服務(wù)貿(mào)易進出口規(guī)模為分析對象，探討ARIMA這一模型工具的適用性.

2 中國服務(wù)貿(mào)易進出口規(guī)模模型的構(gòu)建和預(yù)測

2.1 服務(wù)貿(mào)易研究背景介紹

服務(wù)貿(mào)易作為一種新興的貿(mào)易形式，在一定程度上代表了國家的經(jīng)濟發(fā)展水平.通常情況下，發(fā)達國家服務(wù)貿(mào)易在該國國際貿(mào)易中比重較大.多年以來我國利用對外貿(mào)易帶動經(jīng)濟長期增長，貨物貿(mào)易起著主導(dǎo)作用，而與之相對應(yīng)的服務(wù)貿(mào)易卻始終為逆差狀態(tài).但不可否認服務(wù)貿(mào)易已經(jīng)成為我國經(jīng)濟新的增長點,從1982年到2010年，我國服務(wù)貿(mào)易規(guī)模的年均增長速度達到17%[4].目前我國面臨著產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整的轉(zhuǎn)型困難，而大力發(fā)展服務(wù)業(yè)及服務(wù)跨國貿(mào)易是扭轉(zhuǎn)這一局面、實現(xiàn)經(jīng)濟成功轉(zhuǎn)型的突破點之一.

圖1 我國服務(wù)貿(mào)易規(guī)模ARIMA模型預(yù)測的基本流程

雖然服務(wù)貿(mào)易逆差在逐步縮小，但是由于受到越來越多不可控的國際因素的影響，目前我國服務(wù)貿(mào)易的增長呈現(xiàn)較大的波動性.因此，全面把握我國服務(wù)貿(mào)易的發(fā)展規(guī)律和未來走勢對于我國采取有利措施、保證服務(wù)貿(mào)易的持續(xù)穩(wěn)定發(fā)展具有重要的意義.為此，本文采用時間序列分析方法，從數(shù)量建模的角度揭示我國服務(wù)貿(mào)易的發(fā)展規(guī)律，重點探討ARIMA模型對貿(mào)易規(guī)模預(yù)測的適用程度.

根據(jù)建立ARIMA(p,d,q)模型的要點，我國服務(wù)貿(mào)易規(guī)模預(yù)測的基本流程如圖1所示.

2.2 數(shù)據(jù)選取

我國從1982年起正式將服務(wù)貿(mào)易納入商務(wù)和海關(guān)統(tǒng)計的范圍[5]，本研究選取數(shù)據(jù)來源于國家統(tǒng)計局2011年出版的《中國統(tǒng)計年鑒(2010)》及中國商務(wù)部《中國服務(wù)貿(mào)易統(tǒng)計(2010)》提供的服務(wù)貿(mào)易數(shù)據(jù).為檢驗?zāi)Ｐ偷暮篁炐?，同時保證足夠的樣本數(shù)量范圍，本文選取中國1982～2008年的服務(wù)進出口數(shù)據(jù)作為建模樣本，將2009和2010年貿(mào)易數(shù)據(jù)作為后驗樣本來判斷模型估計的有效性.本文將我國服務(wù)貿(mào)易進口額時間序列簡記為M，出口額時間序列簡記為X，進出口總額時間序列簡記為MX.

2.3 數(shù)據(jù)平穩(wěn)性檢驗及處理

從圖2的服務(wù)貿(mào)易總額MX時間路徑中可以看出，原數(shù)據(jù)序列MX有著明顯的指數(shù)增長趨勢(圖1a)，為非平穩(wěn)序列.通過對數(shù)處理后，對數(shù)序列LMX表現(xiàn)為線性增長趨勢.為從統(tǒng)計意義上對序列的平穩(wěn)性進行識別，對數(shù)據(jù)序列進行單位根ADF檢驗.ADF檢驗顯示對數(shù)序列LMX的t統(tǒng)計量的顯著性概率P=0.988，遠大于α=0.05，接受零假設(shè)，即序列顯著存在單位根.

圖2 服務(wù)貿(mào)易總額及其對數(shù)序列的時間路徑

為消除單位根的影響，對序列LMX進行差分運算，記為ΔLMX，再進行平穩(wěn)性ADF檢驗.檢驗結(jié)果表明LMX一階差分序列單位根仍存在，二階差分(序列記為Δ2LMX)后單位根不存在，時間序列為平穩(wěn)序列，即服務(wù)貿(mào)易總額對數(shù)序列LMX為二階單整序列.

2.4 數(shù)據(jù)擬合與模型的構(gòu)建

在SAS統(tǒng)計軟件中對LMX的二次差分序列Δ2LMX進行自相關(guān)(ACF)和偏相關(guān)(PACF)分析，結(jié)果如圖3所示.從圖3中可以看出，Δ2LMX的自相關(guān)圖在一階處是截尾的，而其對應(yīng)的偏相關(guān)圖是拖尾的，依此初步判斷序列LMX遵循的模型為ARIMA(0,2,1)，屬于MA模型類型.

圖3 Δ2LMX序列的自相關(guān)圖和偏相關(guān)圖

為進一步判斷模型類型，結(jié)合上述分析，本文分別嘗試用ARIMA(0,2,1)、ARIMA(0,2,1)、 ARIMA(1,2,1)、 ARIMA(1,2,2) 以及ARIMA(2,2,1)5個模型對序列LMX進行擬合檢驗.結(jié)果顯示，只有ARIMA(0,2,1)和ARIMA(0,2,1)2個模型通過了參數(shù)檢驗，其余模型都存在估計參數(shù)檢驗不顯著的情形，驗證了我們之前關(guān)于序列屬于MA類型的判斷.兩模型的AIC值(赤池信息準則Akaike Information Criterion)和SSR值(剩余平方和)如表1所示.

表1 模型估計的AIC值和SSR值

根據(jù)表1中模型估計的結(jié)果并考慮到建模的簡約原則，對貿(mào)易總額的對數(shù)序列LMX擬采用ARIMA(0,2,1)模型進行估計，其結(jié)果通過了模型的殘差平穩(wěn)性檢驗，表明該模型合理，模型估計結(jié)果為：

lnMXt=0.985 8at-1+at

(1)

t值 (-37.325)R2=0.5

為了更全面地對服務(wù)貿(mào)易規(guī)模進行擬合和預(yù)測，分析服務(wù)貿(mào)易進口和出口各自的變化規(guī)律，按照上述建模過程，分別對服務(wù)貿(mào)易進口額時間序列Mt和出口額時間序列Xt建立模型.我國服務(wù)貿(mào)易進口額Mt合理的ARIMA模型估計結(jié)果為：

ΔlnMt=0.195-0.564ΔlnMt-2+0.962at-2+at

(2)

t值 (4.707) (-4.740) (28.578)R2=0.451

同理，我國服務(wù)貿(mào)易出口額Xt合理的ARIMA模型估計結(jié)果為：

Δ2lnXt=-0.826Δ2lnXt-2+0.962at-2+at

(3)

t值 (-10.333) (-20.731)R2=0.545

3 ARIMA模型對服務(wù)貿(mào)易規(guī)模預(yù)測的適用性分析

3.1 服務(wù)貿(mào)易規(guī)模短期預(yù)測

利用上述建立的模型(1)、(2)和(3)式，分別對我國2009年和2010年服務(wù)貿(mào)易總額、進口額以及出口額進行外推預(yù)測，預(yù)測結(jié)果如表2所示.

表2 2009～2010年中國服務(wù)貿(mào)易規(guī)模預(yù)測(單位：億美元)

表2表明，2009年和2010年我國的服務(wù)貿(mào)易總額分別為3 638億美元和4 345億美元，年增長率均為19%，而歷史數(shù)據(jù)顯示由于服務(wù)貿(mào)易進口的快速增加，模型根據(jù)這一內(nèi)在規(guī)律預(yù)測2009年和2010年服務(wù)貿(mào)易進口增長速度將達到26%的水平.

3.2 數(shù)據(jù)對比及差異分析

我們結(jié)合2009年和2010年的實際數(shù)據(jù)做一對比(表3)，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)出現(xiàn)了較大的高估，偏差范圍為20%～30%.通過數(shù)據(jù)回溯可以發(fā)現(xiàn)，由于全球金融危機對實體經(jīng)濟造成的滯后影響，2009年服務(wù)貿(mào)易近10年來出現(xiàn)了較大的負增長，較2008年降低了5.8%，服務(wù)貿(mào)易出口額甚至降低了12.2%.

表3 2009～2010年中國服務(wù)貿(mào)易規(guī)模及預(yù)測偏差對比(單位：億美元)

表4 2010年中國服務(wù)貿(mào)易規(guī)模及重估預(yù)測偏差對比(單位：億美元)

我國服務(wù)貿(mào)易在國際市場上并不具備貨物貿(mào)易那樣的優(yōu)勢，當全球經(jīng)濟處于下滑階段時，作為幼稚產(chǎn)業(yè)并不具備抗擊風(fēng)險的能力，因此偏離模型根據(jù)歷史數(shù)據(jù)估計的趨勢.但區(qū)間估計彌補了點估計的不足，實際值基本上都在區(qū)間估計的范圍內(nèi)，考慮到了突發(fā)變動對序列趨勢的影響.

同時我們也可以看到，隨著年份的推移，2010年預(yù)測數(shù)據(jù)的精度相對2009年出現(xiàn)了更大的波動.我們嘗試將2009年的數(shù)據(jù)作為樣本構(gòu)建新的模型，并以新模型來預(yù)測2010年的數(shù)據(jù)，結(jié)果如表4所示.

由于考慮了2009年的突變因素，數(shù)據(jù)序列內(nèi)在邏輯的變動相應(yīng)改變了模型參數(shù)估計，2010年預(yù)測偏差大幅降低，模型的參考價值提高.

4 結(jié)束語

模型預(yù)測的主要目的是在考慮隨機波動的前提下對趨勢進行模擬和分析，其預(yù)測結(jié)果不是為精確到細節(jié)，而是作為參考指標和判斷依據(jù).從上述構(gòu)建我國服務(wù)貿(mào)易進出口規(guī)模ARIMA模型并進行短期預(yù)測的過程中，模型從動態(tài)角度反映出服務(wù)貿(mào)易規(guī)模的變動趨勢和特點，我們可以看到ARIMA這個重要的時間序列建模方法適用于很多縱向經(jīng)濟現(xiàn)象的定量分析，特別是經(jīng)濟體規(guī)模的變動預(yù)測，能夠幫助理解和擬合數(shù)據(jù)內(nèi)部隱藏的規(guī)律性.模型對歷史數(shù)據(jù)中包含信息做了充分吸收，相對于簡單的增長率平均法更加科學(xué)和有效.同時區(qū)間預(yù)測與點預(yù)測相結(jié)合，使得模型預(yù)測結(jié)果更加客觀嚴謹.

但是從預(yù)測的理想程度上，本文也提出利用ARIMA模型進行經(jīng)濟預(yù)測時的局限性：

(1)突發(fā)事件對數(shù)據(jù)序列趨勢的影響. 應(yīng)該注意的是ARIMA模型基于的原理是假設(shè)序列保持不變的趨勢，置信區(qū)間雖然已經(jīng)包含了隨機波動的范圍，但當出現(xiàn)影響事件發(fā)展方向的“黑天鵝”事件時，其預(yù)測將偏離真實情況.

(2)區(qū)間估計范圍過大. 根據(jù)本文中的研究樣本，在置信度為95%的情況下，區(qū)間估計相對于點估計值的變動達到了±20%以上，最高的甚至達到±40%.對于宏觀經(jīng)濟變量來說，年增長率10%已經(jīng)屬于較大的變化，因此區(qū)間估計范圍過大會使預(yù)測喪失其意義.

針對以上兩個局限性，本文給出如下建議：

(1)時間序列模型應(yīng)對數(shù)據(jù)進行適時的動態(tài)更新和調(diào)整，以便更好地反映和模擬內(nèi)在規(guī)律.

(2)適當降低區(qū)間估計的范圍，以保證預(yù)測本身的價值.由于縮小置信區(qū)間會以降低置信水平為代價，因此在構(gòu)造模型時需要在兩者間做一權(quán)衡.同時，盡可能擴大樣本數(shù)量，以保證在置信水平不變的前提下置信區(qū)間相對變窄.

參考文獻

[1] 王煒炘，杜金觀，伍尤桂，等.應(yīng)用時間序列分析[M]. 桂林:廣西師范大學(xué)出版社,1999:102-183.

[2] George E. P. Box, Gwilym M.Jenkins. 時間序列分析-預(yù)測與控制[M]. 北京:中國統(tǒng)計出版社，1997:101-149.

[3] 張樹京，齊立心. 時間序列分析簡明教程[M]. 北京:北方交通大學(xué)出版社,2003:24-59.

[4]中國商務(wù)部. 中國服務(wù)貿(mào)易(2010)[M]. 北京:中國統(tǒng)計出版社，2011.

[5] 國家統(tǒng)計局. 中國服務(wù)貿(mào)易(2010)[M]. 北京:中國統(tǒng)計出版社，2011.

[6] 姜 弘. 居民消費價格指數(shù)的時間序列分析及預(yù)測[J]. 統(tǒng)計與決策，2009,4：26-33.

[7] 謝佳利，楊善朝，梁 鑫.我國CPI時間序列預(yù)測模型的比較及實證檢驗[J]. 統(tǒng)計與決策，2008,6：74-82.

[8] 王振龍. 時間序列分析[M]. 北京:中國統(tǒng)計出版社，2000.