易 鴻

(四川文理學院物理與工程技術(shù)系， 四川 達州 635000)

0 引 言

目前對于線性系統(tǒng)的分析與設(shè)計已經(jīng)形成了一套完整的理論體系，嚴格地說，一切實際系統(tǒng)都是非線性的，因此，現(xiàn)有的基于線性系統(tǒng)理論的研究結(jié)果和方法難以解決那些具體高度非線性的復雜系統(tǒng)分析和設(shè)計問題.微分幾何方法是非線性系統(tǒng)的控制分析和設(shè)計的一個重要工具，單位分解是微分幾何中的一個重要概念，它是與流形上的開覆蓋緊密相關(guān)的，具有局部支撐及歸一和的函數(shù)簇[1-3].在一個歐氏空間的緊致域上，單位分解的線性組合也具有以任意精度逼近連續(xù)函數(shù)的能力，利用這一性質(zhì)可以去逼近非線性系統(tǒng)的不確定項或者控制器.

本文針對一類嚴格反饋非線性系統(tǒng)，在所構(gòu)造控制器運行過程中波動不大的假定下，利用單位分解方法構(gòu)造自適應控制器.以達芬強迫振動系統(tǒng)為仿真對象，仿真結(jié)果對本文給出的控制方法有效性進行了驗證.

1 問題描述

考慮如下形式的非線性控制系統(tǒng)

x(n)(t)=f(x(t),…,xn-1(t))+bu(t)

(1)

y(t)=x(t)

其中，f為未知的非線性函數(shù)，u(t)∈Rn，和y(t)∈Rn分別為系統(tǒng)的輸入和輸出，b是控制增益.

(2)

那么將式(2)代入式(1)，得到閉環(huán)控制系統(tǒng)的方程：

e(n)(t)+k1e(n-1)(t)+…+kne(t)=0

(3)

由式(3)可知，因K的選取，可得t→∞時e(t)→0即系統(tǒng)的輸出y漸進地收斂于理想輸出ym.

2 基于單位分解的自適應跟蹤控制設(shè)計

2.1 已知控制增益b

如果非線性函數(shù)f是已知的，則可以選擇理想控制器來消除其非線性項，然后再根據(jù)線性控制理論設(shè)計控制器，如果f未知，理想控制器(3)很難實現(xiàn).本文采用單位分解的方法逼近控制器，實現(xiàn)魯棒自適應跟蹤控制.

針對系統(tǒng)(1)，提出下列魯棒控制器

u=ua+ub

(4)

其中

(5)

(6)

自適應率為：

(7)

將式(4)代入式(1)，可得如下控制系統(tǒng)的閉環(huán)動態(tài)方程：

e(n)(t)=-KTe(t)+b[u*(t)-ua-ub]

(8)

令

(9)

則動態(tài)方程(8)可表示為以下形式：

(10)

考慮如下Lyapunov方程

ATP+PA=-Q

(11)

對于給定的Q>0，方程(11)存在唯一正定矩陣解P.

(12)

一般情況下，隨時間的變化u*(t)和ua(t)是光滑的，即u*(t)和ua(t)隨時間的波動不大[4].所以即使ua(t)-u*(t)波動很大，ua(t-1)-ua(t)與u*(t-1)-u*(t)的波動還是保持較小.

考慮系統(tǒng)(1)，如果假設(shè)(1)式成立，則在非線性控制器(4)、(5)、(6)和自適應律(7)的共同作用下，閉環(huán)系統(tǒng)的輸出跟蹤誤差漸進收斂到零點的一個小領(lǐng)域內(nèi).

2.2 未知控制增益b

其中

(13)

(14)

(15)

(16)

這里

(17)

r2,r3是實數(shù)，且與b同號.

考慮系統(tǒng)(8)，如果假設(shè)(8)成立，則在非線性控制器(13)、(14)和自適應律(15)、 (16)的共同作用下，閉環(huán)系統(tǒng)的輸出跟蹤誤差漸進收斂到零點的一個小領(lǐng)域內(nèi).

3 仿真

考慮下面的達芬系統(tǒng)[5]：

(18)

圖1 達芬系統(tǒng)

仿真1：當u(t)≡0，x1(0)=x2(0)≡2時，達芬系統(tǒng)(18)在相平面(x1,x2)上的軌.系統(tǒng)如圖1所示，該系統(tǒng)出現(xiàn)混沌現(xiàn)象.

選取開覆蓋為{UI}以產(chǎn)生式(6)中的單位分解{αi},i=1,2,3.

U1={x;‖x-a1‖<10,a1=(3,0)T}

(19)

U2={x;‖x-a2‖<10,a2=(-3,0)T}

(20)

U3=(-10,10)×(-10,10)

(21)

取狀態(tài)初始值x1(0)=x2(0)=0，控制器的參數(shù)為：k1=2,k2=1，r=2,Q=diag(10,10),ε=0.

為了與模糊邏輯系統(tǒng)方法相比較，針對系統(tǒng)(18)，相應模糊邏輯系統(tǒng)的4個隸屬函數(shù)為：

(22)

狀態(tài)初始值保持不變，取xi(0)=x2(0)=2.

由仿真結(jié)果圖2、3可以看出，基于單位分解的方法給出控制器產(chǎn)生的誤差曲線比相同條件下由模糊邏輯系統(tǒng)構(gòu)造的控制器產(chǎn)生的誤差曲線具有更小的超調(diào)量，且收斂速度更快，另外，從基函數(shù)和覆蓋域的選取上也可以看出，單位分解方法具有靈活性和簡單性.這一點是模糊邏輯系統(tǒng)不具備的.

圖2 系統(tǒng)狀態(tài)的跟蹤誤差(增益b已知) 圖3 系統(tǒng)狀態(tài)的跟蹤誤差(增益b已知)

仿真3：這里假設(shè)控制增益b未知，但實際上b=1.利用單位分解方法，選取開覆蓋為{UI}以產(chǎn)生式(7)中的單位分解{αi},i=1,2,3.

U1={x;‖x-a1‖<6,a1=(2,0)T}

(23)

U2={x;‖x-a2‖<6,a2=(2,0)T}

(24)

U2=(-6,6)×(-6,6)

(25)

取狀態(tài)初始值x1(0)=x2(0)=2，控制器的參數(shù)為：k1=2,k2=1,r=2，Q=diag(10,10),ε=0.

同樣為了與模糊邏輯系統(tǒng)方法相比較，針對系統(tǒng)(24)我們采用模糊邏輯系統(tǒng)方法[6-7]，相應模糊邏輯系統(tǒng)的4個隸屬函數(shù)為:

(26)

取狀態(tài)初始值x1(0)=x2(0)=2，作仿真如圖4、5、6所示.

圖4 系統(tǒng)狀態(tài)的跟蹤誤差(增益b未知) 圖5 局部放大的系統(tǒng)狀態(tài)跟蹤誤差(增益b未知)

圖6 局部放大的系統(tǒng)狀態(tài)跟蹤誤差(增益b未知)

4 結(jié)束語

針對一類非線性系統(tǒng)，本文基于單位分解提出了一種設(shè)計自適應控制器的方法.由于單位分解自身具有的逼近非線性函數(shù)的能力以及其基函數(shù)選取的靈活性，使得這種方法可以看作是某些經(jīng)典逼近方法，例如模糊控制,神經(jīng)網(wǎng)絡控制的一種補充，它直接對輸入域進行幾何剖分，并有效規(guī)避了模糊控制中維數(shù)災難問題和神經(jīng)網(wǎng)絡控制的隱層數(shù)問題帶來的弊端.另外，本文設(shè)計了自適應律在線調(diào)節(jié)單位分解的權(quán)系數(shù)，確保了我們選取的單位分解具有良好的逼近效果，不僅避免其選取不當造成系統(tǒng)不穩(wěn)定的問題，而且拓展了單位分解法與自適應技術(shù)結(jié)合的控制設(shè)計研究.

參考文獻

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