丁玉慶， 馬幼鳴

(1.解放軍汽車管理學(xué)院基礎(chǔ)部， 安徽 蚌埠 233011； 2.北京理工大學(xué)電子工程系, 北京 100081)

0 前 言

玻璃成形過程模擬是一項應(yīng)用廣泛、生產(chǎn)中急需解決的課題，同時也是難度極大具有挑戰(zhàn)性的課題，無論國內(nèi)、國外目前在這方面的研究都處于初級階段.在玻璃成型過程數(shù)值模擬中的邊界條件是非線性的，這是因為成形過程中玻璃的流動是非穩(wěn)態(tài)的，玻璃與模具之間的接觸狀態(tài)是不斷變化的，并具有較大的相對滑動.模擬的邊界條件是復(fù)雜的非穩(wěn)態(tài)的接觸、滑動問題，其邊界條件不是在計算開始前所能完全給定的，而是在計算中不斷的應(yīng)用中間結(jié)果來給出，所以玻璃成形過程數(shù)值模擬具有邊界條件非線性的性質(zhì).

在求解邊界條件非線性問題中常用的方法有拉格朗日乘子法、罰函數(shù)法、攝動拉格朗法，這些方法的理論和有限元列式的推導(dǎo)以及它們各自的特點與應(yīng)用范圍已有許多專著和文獻(xiàn)進(jìn)行了詳細(xì)的論述[1，2].這里僅論述一下適合處理玻璃成形過程中接觸、滑動問題的點面接觸力學(xué)模型以及在玻璃成形過程數(shù)值模擬程序中所采用的接觸、滑動的算法[3].

1 接觸處力學(xué)模型

在以往有限元分析接觸問題時，力學(xué)模型常采用節(jié)點對的概念，它假設(shè)兩物體間接觸力的傳遞是通過具有相同坐標(biāo)的兩物體接觸面上一對節(jié)點來實現(xiàn)的，從而建立接觸邊界的力學(xué)模型[3].該方法簡單、直觀，但存在著一些缺點，由于兩接觸面上各節(jié)點對的節(jié)點坐標(biāo)必須一一對應(yīng)，因此給有限元離散帶來了困難，特別是那些兩物體間具有較大的相對位移而在開始時沒有接觸，接觸是在物體相對運(yùn)動過程中不斷產(chǎn)生的，并且這種力學(xué)模型在考慮摩擦滑移時，最后得到的有限元控制方程是非對稱的，從而給求解帶來了麻煩.在材料成形過程模擬中，接觸與分離時刻都在變化中，同時兩接觸物體之間具有較大的相對滑移和摩擦，因而這種力學(xué)模型不適合處理材料成形過程數(shù)值模擬中因模具和材料間的接觸、摩擦而產(chǎn)生的邊界條件非線性問題.

近年來，一些學(xué)者提出了點面接觸的力學(xué)模型，即當(dāng)兩物體相互接觸時，指定其中之一為主動體，另一物體為被動體，研究主動體任一個接觸節(jié)點與被動體表面上的任何位置相接觸時的情況，不要求在接觸面上兩物體節(jié)點坐標(biāo)必須一一對應(yīng)，采用這一概念后，兩接觸物體的網(wǎng)格可以任意劃分.圖1給出了點面接觸力學(xué)模型的邊界離散化情況，這一力學(xué)模型正好適合處理材料成形過程中的接觸、摩擦問題[4].

在目前大多數(shù)有限元程序中的接觸、摩擦界面算法正是采用這一力學(xué)模型的.

2 接觸處摩擦力的算法

把被動體表面和節(jié)點定義為從表面、從節(jié)點，把主動體表面和節(jié)點定義為主表面、主節(jié)點.在每一時步先檢查各從節(jié)點是否穿透主表面，若穿透則在該從節(jié)點與被穿透的主表面之間引入一個較大的界面接觸力，其大小與穿透深度成正比，稱為罰函數(shù)值.它的物理意義相當(dāng)于在從節(jié)點和被穿透的主表面之間放置一個法向彈簧，以限制從節(jié)點對主表面的穿透.下面具體說明該接觸力學(xué)模型的算法.

圖1 點面接觸力學(xué)模型的邊界離散

設(shè)ns為從表面上的任一從節(jié)點，首先搜索與節(jié)點ns最靠近的主節(jié)點ms，主節(jié)點ms周圍的主片是S1，S2，S3和S4(見圖2).檢查與主節(jié)點ms有關(guān)的所有主片，確定從節(jié)點ns穿透主表面時可能接觸的主片.若主節(jié)點ms與從節(jié)點ns不重合，那么滿足下列2個條件時從節(jié)點ns可能與主片Si接觸.

(1)

(2)

(3)

(4)

圖2 主節(jié)點ms周圍的主片示意圖 圖3 主節(jié)點ms到從節(jié)點ns的矢量示意圖

如果ns接近或位于兩個主片的交線上，上述不等式可能不確定.在這種情況時，若ns位于2個主片的交線Ci上，則下述量為極大值.

(5)

進(jìn)一步確定從節(jié)點ns在主片Si上可能接觸點C的位置，主片Si的參數(shù)可表示為(見圖4)：

(6)

(7)

(8)

接觸點C(ξc,ηc)必須滿足下列兩個方程

圖4 主片Si的參數(shù)表示示意圖

(9)

檢查從節(jié)點ns是否穿透主片，若:

(10)

(11)

(12)

式中ki為主片Si的剛度因子，按下式計算:

(13)

其中Ki、Vi和Ai分別是主片Si所在單元的體積模量、體積和主片面積,f是接觸剛度比例因子.

3 接觸處的摩擦力方程

這樣我們在推導(dǎo)中虛功原理可簡化為

(14)

(15)

式中φj(ξc,ηc)是主片的形函數(shù)在接觸點C(ξc,ηc)處的值.

(16)

(17)

(18)

4 結(jié)束語

本文詳細(xì)討論了玻璃材料與模具接觸處力學(xué)模型的建立及接觸處摩擦力的計算方法，最后給出了接觸處摩擦力方程.本文所討論的復(fù)雜的非穩(wěn)態(tài)的接觸處摩擦問題計算方法是當(dāng)今最新的方法.在玻璃成形工藝中彩色顯像管玻屏的成形工藝較為復(fù)雜，其技術(shù)難度很高，產(chǎn)品的質(zhì)量問題也最多.在對其玻屏成形過程的數(shù)值模擬過程中，玻璃材料與模具接觸處摩擦力的計算采用了上述計算方法，將該方法應(yīng)用于玻屏成形過程數(shù)值模擬中，其模擬的結(jié)果令人滿意.

參考文獻(xiàn)

[1] Lei Jiang，R.J.Roger.Combined lagrangian multiplier and penalty function finite element technique for elastic impact analysis[J]. Computer & Structures,1988,30(6)：1 219-1 229.

[2] ANSYS Theoretical Manual.ANSYS Release 5.3[R].ANSYS Inc.,1996.

[3] ANSYS/LS-DYNA Theoretical Manual.ANSYS Release 5.3[R].ANSYS Inc.,1996.

[4] 何君毅，林祥都.工程結(jié)構(gòu)非線性問題的數(shù)值解法[M].北京：國防工業(yè)出版社，1994.