王允地， 王良文， 張航偉

(1．陜西科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院, 陜西 西安 710021； 2.鄭州輕工業(yè)學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院, 河南 鄭州 450002)

0 引 言

機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)幾何學(xué)綜合是機(jī)械學(xué)中的一個(gè)重要領(lǐng)域.由該方面知識(shí)我們知道，作平面一般運(yùn)動(dòng)的剛體在每一個(gè)瞬時(shí)通常存在著一個(gè)速度為零的點(diǎn)，稱為速度瞬心.在剛體運(yùn)動(dòng)過程中，瞬心在靜坐標(biāo)系上繪出的曲線稱為靜瞬心線，在固連于剛體的動(dòng)坐標(biāo)系上繪出的曲線稱為動(dòng)瞬心線.從外界觀察，固連于剛體上的動(dòng)瞬心線繞著固連于機(jī)架上的靜瞬心線作無(wú)滑動(dòng)的純滾動(dòng).例如，周轉(zhuǎn)輪系中行星輪的節(jié)圓繞著固定太陽(yáng)輪節(jié)圓作純滾動(dòng).擺線針輪機(jī)構(gòu)中擺線輪節(jié)圓繞固定輪節(jié)圓作純滾動(dòng).雙滑塊機(jī)構(gòu)的動(dòng)瞬心線是以連桿為直徑的圓，靜瞬心線則是直徑為其兩倍的內(nèi)切圓.反平行四邊形機(jī)構(gòu)連桿的動(dòng)瞬心線及靜瞬心線分別是兩個(gè)形狀相同的橢圓.有整轉(zhuǎn)副的雙搖桿機(jī)構(gòu)連桿的動(dòng)瞬心線是具有3個(gè)結(jié)點(diǎn)且處處外凸的封閉曲線，靜瞬心線則是無(wú)結(jié)點(diǎn)且處處內(nèi)凹的單封閉曲線.純滾動(dòng)約束的引入，使得運(yùn)動(dòng)剛體成為以瞬心移動(dòng)距離S為廣義坐標(biāo)的單自由度系統(tǒng).給定了剛體的動(dòng)瞬心線和靜瞬心線形狀及瞬時(shí)接觸點(diǎn)位置，剛體的運(yùn)行過程及點(diǎn)軌跡、軌跡曲率半徑和曲率中心便隨之確定,而研究某一瞬時(shí)動(dòng)剛體上點(diǎn)軌跡曲率半徑和曲率中心的確定方法和分布規(guī)律，則對(duì)于鶴式起重機(jī)構(gòu)、曲線導(dǎo)引機(jī)構(gòu)、擺線針輪機(jī)構(gòu)、近似等傳動(dòng)比四桿機(jī)構(gòu)等的設(shè)計(jì)以及四桿機(jī)構(gòu)連桿點(diǎn)軌跡圖譜的繪制[14]都具有重要意義.

作者從基本的理論力學(xué)知識(shí)出發(fā)，建立了各種情況下動(dòng)瞬心線角速度與瞬心移動(dòng)速度及動(dòng)、靜瞬心線曲率半徑之間的關(guān)系;利用相對(duì)運(yùn)動(dòng)原理，得到動(dòng)剛體上瞬心加速度和拐點(diǎn)圓直徑計(jì)算式;接著利用微分幾何知識(shí)，給出了由拐點(diǎn)圓直徑和動(dòng)點(diǎn)極坐標(biāo)所決定的動(dòng)剛體上各點(diǎn)軌跡曲率半徑的計(jì)算通式;闡述了拐點(diǎn)圓直徑和動(dòng)點(diǎn)軌跡曲率中心的3種圖解作法.通過研究得出了點(diǎn)軌跡曲率中心的分布規(guī)律,描述了動(dòng)瞬心線法線上點(diǎn)軌跡曲率半徑的變化規(guī)律.

作者給出的動(dòng)點(diǎn)軌跡曲率半徑計(jì)算公式及用輔助圓做動(dòng)點(diǎn)軌跡曲率中心的圖解法,適用于整個(gè)動(dòng)剛體平面，是對(duì)經(jīng)典文獻(xiàn)[6,10]和現(xiàn)有文獻(xiàn)[5，8]的補(bǔ)充.

以本文所述的理論和方法為基礎(chǔ)，在本文的最后給出了一種鶴式起重機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)方法.

1 角速度與瞬心加速度

給定瞬心P沿瞬心線的移動(dòng)距離S隨時(shí)間的變化規(guī)律，動(dòng)、靜瞬心線的接觸方式及曲率半徑，動(dòng)剛體的純滾動(dòng)角速度及與瞬心重合點(diǎn)的加速度便隨之確定.以下分4種情況加以討論.

1.1 靜瞬心線為直線而動(dòng)瞬心線為圓

如圖1所示，靜瞬心線為直線，動(dòng)瞬心線為以R為半徑的圓.瞬心P沿靜瞬心線的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)為變速直線運(yùn)動(dòng)，沿動(dòng)瞬心線的相對(duì)運(yùn)動(dòng)為變速圓周運(yùn)動(dòng)，而動(dòng)剛體的牽連運(yùn)動(dòng)則為動(dòng)瞬心線繞靜瞬心線所做的無(wú)滑動(dòng)純滾動(dòng).由理論力學(xué)知識(shí)不難看出，動(dòng)剛體的角速度ω為動(dòng)瞬心線法線轉(zhuǎn)角對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，即

(1)

ap=Dω

(2)

(3)

方向由瞬心P指向圓心O，其值與動(dòng)剛體的角加速度無(wú)關(guān).

圖1 靜瞬心線為直線而動(dòng)瞬心線為圓 圖2 動(dòng)、靜瞬心線均外凸

1.2 動(dòng)、靜瞬心線均外凸

如圖2所示，動(dòng)、靜瞬心線在速度瞬心P處均外凸.靜瞬心線的曲率中心為O1，曲率半徑為R1；動(dòng)瞬心線的曲率中心為O2，曲率半徑為R2.瞬心P沿靜瞬心線作絕對(duì)運(yùn)動(dòng)，沿動(dòng)瞬心線作相對(duì)運(yùn)動(dòng)，而動(dòng)瞬心線則繞靜瞬心線作牽連滾動(dòng).動(dòng)剛體的角速度ω為動(dòng)瞬心線相對(duì)于瞬心線切線的轉(zhuǎn)角與瞬心線切線相對(duì)于靜瞬心線的轉(zhuǎn)角兩者之和對(duì)于時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，即

(4)

(5)

方向由P點(diǎn)指向O2點(diǎn)，其值與動(dòng)剛體的角加速度無(wú)關(guān).

1.3 動(dòng)瞬心線外凸而靜瞬心線內(nèi)凹

如圖3所示，在瞬心P處動(dòng)瞬心線外凸，而靜瞬心線內(nèi)凹.靜瞬心線的曲率中心為O1，曲率半徑為R1，動(dòng)瞬心線的曲率中心為O2，曲率半徑為R2.類似地可以得出，動(dòng)剛體的角速度ω為

(6)

(7)

方向由P點(diǎn)指向O2點(diǎn)，其值與角加速度無(wú)關(guān).

圖3 動(dòng)瞬心線外凸而靜瞬心線內(nèi)凹 圖4 動(dòng)瞬心線內(nèi)凹而靜瞬心線外凸

1.4 動(dòng)瞬心線內(nèi)凹而靜瞬心線外凸

如圖4所示，在瞬心P處動(dòng)瞬心線內(nèi)凹，而靜瞬心線外凸.靜瞬心線的曲率中心為O1，曲率半徑為R1；動(dòng)瞬心線的曲率中心為O2，曲率半徑為R2.類似地可以得出，動(dòng)剛體的角速度ω為

(8)

(9)

方向沿瞬心線法線指向動(dòng)瞬心線所在的一側(cè)，其值與角加速度無(wú)關(guān).而動(dòng)瞬心線為直線則是R2等于無(wú)窮大，即1/R2等于0的特例.

2 拐點(diǎn)圓、加速度瞬心及動(dòng)點(diǎn)軌跡曲率半徑計(jì)算式

圖5 拐點(diǎn)圓與加速度瞬心

2.1 拐點(diǎn)圓與加速度瞬心

定義動(dòng)剛體上在動(dòng)瞬心線一側(cè)于瞬心P處與瞬心線切線相切且直徑為D的圓為拐點(diǎn)圓，拐點(diǎn)圓與瞬心線法線的交點(diǎn)W為拐極，如圖5所示 .

tanβ=ε/ω2

(10)

當(dāng)動(dòng)剛體角加速度為零時(shí)，加速度瞬心P′與拐極W重合.而當(dāng)動(dòng)剛體角速度為零時(shí)，加速度瞬心P′則與速度瞬心P重合.

2.2 動(dòng)點(diǎn)軌跡曲率半徑計(jì)算式

動(dòng)、靜瞬心線的接觸方式和曲率半徑給定后，拐點(diǎn)圓便隨之確定，動(dòng)剛體上任一點(diǎn)C軌跡的曲率中心C*及曲率半徑ρ也隨之確定.

圖6 動(dòng)點(diǎn)C的極坐標(biāo)及曲率中心

曲率中心C*必然位于動(dòng)點(diǎn)C與瞬心P的連線，即動(dòng)點(diǎn)軌跡法線上.以瞬心線法線Px為橫軸，瞬心線切線Py為縱軸建立瞬時(shí)自然坐標(biāo)系xPy，Px軸指向動(dòng)瞬心線所在的一側(cè).動(dòng)剛體上任一點(diǎn)C的極徑為r，極角為φ，如圖6所示.

(11)

如圖6所示，由于

(12)

所以

(13)

參看本文作者所寫的文獻(xiàn)[12]，對(duì)上式進(jìn)行化簡(jiǎn)，取掉絕對(duì)值符號(hào)，得到一個(gè)擴(kuò)展公式：

(14)

從中看出，該式為由動(dòng)點(diǎn)極坐標(biāo)和拐點(diǎn)圓直徑D所決定的計(jì)算動(dòng)點(diǎn)軌跡曲率半徑ρ的通式，其計(jì)算結(jié)果為代數(shù)值.動(dòng)點(diǎn)C位于拐點(diǎn)圓上時(shí)，r等于Dcosφ，上式分母為零，曲率半徑ρ為無(wú)窮大，曲率中心C*處于無(wú)窮遠(yuǎn).動(dòng)點(diǎn)C位于拐點(diǎn)圓內(nèi)時(shí)，分母小于零，ρ的計(jì)算結(jié)果為負(fù)， 曲率中心C*處于PC射線上.動(dòng)點(diǎn)C位于拐點(diǎn)圓外時(shí)，分母大于零，ρ的計(jì)算結(jié)果為正，曲率中心C*處于CP射線或線段上.

3 拐點(diǎn)圓直徑和動(dòng)點(diǎn)軌跡曲率中心的圖解法

3.1 拐點(diǎn)圓直徑的圖解法

圖7 拐點(diǎn)圓直徑的圖解法

3.2 動(dòng)點(diǎn)軌跡曲率中心的圖解法

3.2.1 利用輔助圓求解

如圖8所示，稱以PW′為直徑的圓為輔助圓.作CC′垂直于PC并取其長(zhǎng)度仍為動(dòng)點(diǎn)C的極徑r，再過P作PC的垂線交輔助圓于P′,連P′、C′交PC于C*，即得動(dòng)點(diǎn)C的曲率中心.設(shè)C″為P′在CC′上的投影，利用直角三角形C*CC′與直角三角形P′C″C′的相似性，結(jié)合公式(14)，不難證明該作法的正確性.

3.2.2 利用拐點(diǎn)圓求解

如圖9所示，過瞬心P作極徑PC的垂線與拐極W及動(dòng)點(diǎn)C的連線交于C′， 再過C′作PW的平行線交PC與C*，即得動(dòng)點(diǎn)C的曲率中心.設(shè)C″為W在PC上的投影，利用直角三角形PCC′與直角三角形WCC″的相似性及直角三角形PC′C*的邊角關(guān)系，結(jié)合公式(14)，也不難證明該作法的正確性.

圖4 8 用輔助圓作曲率中心 圖9 利用拐點(diǎn)圓求解 圖10 用動(dòng)、靜瞬心線曲率中心求解

3.2.3 利用動(dòng)、靜瞬心線的曲率中心作

如圖10所示，O1為靜瞬心線曲率中心，O2為動(dòng)瞬心線曲率中心.過瞬心P作極徑PC的垂線，交動(dòng)點(diǎn)C與O2的連線于C′，再作C′與O1的連線交PC于C*，即得動(dòng)點(diǎn)C的曲率中心. 該圖解做法在經(jīng)典文獻(xiàn)[6,10]中已有介紹，故證明過程從略.

4 動(dòng)點(diǎn)軌跡曲率中心及曲率半徑的分布規(guī)律

根據(jù)用輔助圓作動(dòng)點(diǎn)軌跡曲率中心的圖解法不難看出，各種情況下O2點(diǎn)軌跡的曲率中心均為O1點(diǎn)，而瞬心線切線上各點(diǎn)軌跡的曲率中心均為速度瞬心P點(diǎn).我們稱此為規(guī)律一.

對(duì)(14)式進(jìn)行一系列數(shù)學(xué)運(yùn)算，利用更比定理及分比定理，我們推得

(15)

參看圖6，在x軸的負(fù)方向截PW″等于拐點(diǎn)圓直徑D，且稱以PW″為直徑的圓為極限圓.顯然，極限圓與拐點(diǎn)圓互為影像.再根據(jù)用輔助圓作動(dòng)點(diǎn)軌跡曲率中心的圖解法，可以看出，沿x軸正向從P到W之間依次任取動(dòng)點(diǎn)C，其曲率中心C*將沿x軸正向從P變到正無(wú)窮遠(yuǎn)處.再沿x軸正向從W到正無(wú)窮遠(yuǎn)處依次任取動(dòng)點(diǎn)C，其曲率中心C*將沿x軸正向從負(fù)無(wú)窮遠(yuǎn)處變到W″處.接著沿x軸正向從負(fù)無(wú)窮遠(yuǎn)處到P依次任取動(dòng)點(diǎn)C，其曲率中心C*將從W″變到P處.結(jié)合規(guī)律二，可以得出，拐點(diǎn)圓內(nèi)各動(dòng)點(diǎn)軌跡的曲率中心分布于動(dòng)瞬心線所在一側(cè)的整個(gè)區(qū)域內(nèi),拐點(diǎn)圓上各點(diǎn)軌跡的曲率中心均位于無(wú)窮遠(yuǎn)處,動(dòng)瞬心線所在一側(cè)拐點(diǎn)圓外各動(dòng)點(diǎn)軌跡的曲率中心分布于靜瞬心線所在一側(cè)極限圓外的區(qū)域中,靜瞬心線所在一側(cè)整個(gè)半平面內(nèi)各動(dòng)點(diǎn)軌跡曲率中心分布于極限圓內(nèi),而動(dòng)剛體上無(wú)窮遠(yuǎn)處各點(diǎn)軌跡的曲率中心均位于極限圓上,我們稱此為規(guī)律三. 另外，通過對(duì)(14)式的研究，我們得出瞬心線法線上動(dòng)點(diǎn)軌跡曲率半徑的變化規(guī)律如下.

圖11 由動(dòng)剛體上兩點(diǎn)及對(duì)應(yīng)的曲率中心求拐點(diǎn)圓直徑與方位

當(dāng)動(dòng)點(diǎn)C在x軸上坐標(biāo)從零變到1/2D, 其軌跡曲率半徑的絕對(duì)值平緩地從零上升到1/2D. 坐標(biāo)從1/2D變到D, 其軌跡曲率半徑的絕對(duì)值迅速地從1/2D上升到無(wú)窮大.坐標(biāo)從D變到1.5D, 曲率半徑迅速地從無(wú)窮大下降到4.5D.坐標(biāo)從1.5D變到2D, 曲率半徑平緩地從4.5D下降到4D，并達(dá)到極小值.坐標(biāo)從 2D變到3D, 曲率半徑平緩地從4D上升到4.5D.坐標(biāo)從3D變到無(wú)窮大, 曲率半徑平緩地從4.5D上升到無(wú)窮大. 坐標(biāo)從負(fù)無(wú)窮大變到-D, 曲率半徑平緩地從無(wú)窮大下降到1/2D.坐標(biāo)從-D變到零, 曲率半徑平緩地從1/2D下降到零.

5 鶴式起重機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)實(shí)例

如圖11所示，像鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)連桿那樣，若已知?jiǎng)觿傮w上兩點(diǎn)A、B及其對(duì)應(yīng)的曲率中心A*、B*，那么連架桿AA*及BB*的交點(diǎn)即為連桿AB的速度瞬心P,兩動(dòng)點(diǎn)極徑r1、r2及其夾角δ也隨之確定.

圖12 鶴式起重機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)

利用計(jì)算動(dòng)點(diǎn)軌跡曲率半徑的通式(14)得到兩個(gè)聯(lián)立方程

(16)

從中解出PA的極角φ1及拐點(diǎn)圓直徑D，動(dòng)剛體AB在該瞬時(shí)的拐點(diǎn)圓形狀及方位便唯一確定.由此可見，若取鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)的連桿點(diǎn)為拐極W，該點(diǎn)軌跡將是接近于與拐點(diǎn)圓相切的直線.據(jù)此可以給出鶴式起重機(jī)構(gòu)的一種設(shè)計(jì)方法.

如圖12所示，為保證鶴式起重機(jī)滑輪中心軌跡接近于水平直線，預(yù)先給定瞬心線法線Px向下垂直于地面，拐點(diǎn)圓直徑D亦根據(jù)實(shí)際情況任取.再選拐極W為起重臂滑輪中心，適當(dāng)選取起重臂方位線及兩動(dòng)鉸A、B的位置.根據(jù)用拐點(diǎn)圓作動(dòng)點(diǎn)軌跡曲率中心的圖解法，求出兩動(dòng)點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的曲率中心A*、B*作為定鉸鏈，則鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)B*BAA*W即為所要設(shè)計(jì)的鶴式起重機(jī)構(gòu).

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