張 亢，程軍圣，楊 宇

(湖南大學(xué) 汽車車身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長沙 410082)

局部均值分解(Local mean decomposition，LMD)是一種新的自適應(yīng)時(shí)頻分析方法［1］。該方法能自適應(yīng)地將一個(gè)復(fù)雜的多分量信號(hào)分解為若干個(gè)瞬時(shí)頻率具有物理意義的乘積函數(shù)(Product function，PF)分量之和，其中每一個(gè)PF分量是一個(gè)包絡(luò)信號(hào)與一個(gè)純調(diào)頻信號(hào)的乘積，包絡(luò)信號(hào)就是該P(yáng)F分量的瞬時(shí)幅值，PF分量的瞬時(shí)頻率則可由純調(diào)頻信號(hào)直接求出，進(jìn)一步將所有PF分量的瞬時(shí)頻率和瞬時(shí)幅值組合，便可以得到原始信號(hào)完整的時(shí)頻分布。LMD方法避免了EMD方法中的過包絡(luò)、欠包絡(luò)、Hilbert變換帶來的邊緣效應(yīng)以及無法解釋的負(fù)頻率等問題［2］，已在腦電信號(hào)分析和機(jī)械故障診斷領(lǐng)域得到了應(yīng)用［3］。

在LMD方法中，PF分量定義為一個(gè)純調(diào)頻信號(hào)和一個(gè)包絡(luò)信號(hào)的乘積，而純調(diào)頻信號(hào)需要滿足相應(yīng)的要求，即本身的絕對(duì)值不能大于1，而且其包絡(luò)信號(hào)恒等于1，這在實(shí)際應(yīng)用中很難滿足。在實(shí)際的算法中，由于PF分量的純調(diào)頻信號(hào)是需要經(jīng)過多次的迭代才能獲得的，因此需要找到一個(gè)合適的PF分量判據(jù)，它既是可以實(shí)現(xiàn)的，同時(shí)也能盡量滿足純調(diào)頻信號(hào)的理論條件，從而使得PF分量具有物理意義。由于PF分量與經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解［4］(Empirical mode decomposition，EMD)中的內(nèi)稟模態(tài)函數(shù)(Intrinsic mode function，IMF)分量具有相似性，而IMF分量之間已從數(shù)值上驗(yàn)證了具有正交的特點(diǎn)［5］，因此本文擬從PF分量的正交性入手，將 IMF分量的正交性判據(jù)［6］(Orthogonality criterion，OC)引入到LMD方法中，作為PF分量迭代終止的判據(jù)。通過對(duì)仿真信號(hào)以及實(shí)際信號(hào)的分析，結(jié)果表明由正交性判據(jù)所確定的PF分量是完備的且具有物理意義，能夠?qū)崿F(xiàn)信號(hào)的正確分解。

1 LMD方法

LMD方法的本質(zhì)是通過迭代從原始信號(hào)中分離出純調(diào)頻信號(hào)和包絡(luò)信號(hào)，然后將純調(diào)頻信號(hào)和包絡(luò)信號(hào)相乘便可以得到一個(gè)瞬時(shí)頻率具有物理意義的PF分量，循環(huán)處理至所有的PF分量分離出來，便可以得到原始信號(hào)的時(shí)頻分布。對(duì)于任意信號(hào)x(t)，其分解過程如下［1］。

(1)確定原始信號(hào)所有的局部極值點(diǎn)ni，計(jì)算相鄰兩個(gè)極值點(diǎn)ni和ni+1的平均值mi:

將所有平均值點(diǎn)mi在其對(duì)應(yīng)的極值點(diǎn)ni和ni+1間延伸成一條線段，然后用滑動(dòng)平均法進(jìn)行平滑處理，得到局部均值函數(shù)m11(t)。

(2)采用局部極值點(diǎn)ni計(jì)算局部幅值ai:

將所有局部幅值點(diǎn)ai在其對(duì)應(yīng)的極值點(diǎn)ni和ni+1間延伸成一條線段，然后采用滑動(dòng)平均法進(jìn)行平滑處理，得到包絡(luò)估計(jì)函數(shù)a11(t)。

(3)將局部均值函數(shù)m11(t)從原始信號(hào)x(t)中分離出來，即去掉了一個(gè)低頻成分，得到:

(4)用h11(t)除以包絡(luò)估計(jì)函數(shù)a11(t)以對(duì)h11(t)進(jìn)行解調(diào)，得到:

對(duì)s11(t)重復(fù)上述步驟便能得到s11(t)的包絡(luò)估計(jì)函數(shù)a12(t)，假如a12(t)不等于1，說明s11(t)不是一個(gè)純調(diào)頻信號(hào)，需要重復(fù)上述迭代過程n次，直至s1n(t)為一個(gè)純調(diào)頻信號(hào)，也即s1n(t)的包絡(luò)估計(jì)函數(shù)a1(n+1)(t)=1，所以，有:

理論迭代終止的條件為:

(5)把迭代過程中產(chǎn)生的所有包絡(luò)估計(jì)函數(shù)相乘便可以得到包絡(luò)信號(hào)(瞬時(shí)幅值函數(shù)):

(6)將包絡(luò)信號(hào)a1(t)和純調(diào)頻信號(hào)s1n(t)相乘便可以得到原始信號(hào)的第一個(gè)PF分量:

它包含了原始信號(hào)中最高的頻率成分，是一個(gè)單分量的調(diào)幅-調(diào)頻信號(hào)，其瞬時(shí)幅值就是包絡(luò)信號(hào)a1(t)，其瞬時(shí)頻率f1(t)則可由純調(diào)頻信號(hào)s1n(t)求出，即:

(7)將第一個(gè)PF分量PF1(t)從原始信號(hào)x(t)中分離出來，得到一個(gè)新的信號(hào)u1(t)，將u1(t)作為原始數(shù)據(jù)重復(fù)以上步驟，循環(huán)k次，直到uk為一個(gè)單調(diào)函數(shù)為止。

原始信號(hào)x(t)能夠被所有的PF分量和uk重構(gòu)，即:

將所有PF分量的瞬時(shí)幅值和瞬時(shí)頻率組合便可以得到原始信號(hào)x(t)完整的時(shí)頻分布。

2 PF分量迭代終止條件

由上述LMD分解算法知，每個(gè)PF分量都是通過多次迭代過程得到的，式(7)表示的是理論的迭代終止條件，由它所確定的PF分量的瞬時(shí)頻率和瞬時(shí)幅值具有最準(zhǔn)確的物理意義，并且各個(gè)PF分量之間具有正交性，最終分解結(jié)果也是完備的。但在LMD方法的實(shí)際運(yùn)用中該迭代終止條件是不可能實(shí)現(xiàn)的［1］，因此需要另外確定一種合理的、可以實(shí)現(xiàn)的判據(jù)替代理論的迭代終止條件。EMD分解中“篩分”IMF分量的過程與PF分量的迭代過程類似，而在IMF分量的判據(jù)問題上，已有一些學(xué)者做了研究，如Huang等［4］提出了標(biāo)準(zhǔn)差判據(jù)(Standard deviation，SD)，即通過計(jì)算連續(xù)兩次迭代結(jié)果的差值，并與預(yù)先確定的閾值進(jìn)行比較，以此決定迭代的終止點(diǎn);Rilling等［7］對(duì)SD判據(jù)進(jìn)行了改進(jìn)，提出了3-閾值判據(jù)(Three-threshold criterion);Xie等［8］從信號(hào)的頻率和相位信息入手，提出了帶寬判據(jù)(Bandwidth criterion，BC);Lin 等［6］根據(jù) IMF 分量正交的特點(diǎn)，提出了正交性判據(jù)(Orthogonality criterion，OC)等，這些判據(jù)在EMD方法的實(shí)際運(yùn)用中都取得了一定的效果。借鑒上述確定IMF分量的判據(jù)的思想，并根據(jù)PF分量的正交性質(zhì)，將正交性判據(jù)OC引入了LMD方法中。

理論上每一個(gè)PF分量是一個(gè)單分量的調(diào)幅-調(diào)頻信號(hào)，而LMD方法的實(shí)質(zhì)就是將一個(gè)包含多種時(shí)間尺度特征的信號(hào)分解成有限個(gè)單分量的調(diào)幅-調(diào)頻信號(hào)之和，其中每個(gè)單分量的調(diào)幅-調(diào)頻信號(hào)代表了原信號(hào)中的一種時(shí)間尺度特征，因此不同PF分量之間是不相關(guān)的，也即正交的，即有下式成立:

但式(13)并不是嚴(yán)格準(zhǔn)確的，這是由于LMD方法中局部均值函數(shù)和包絡(luò)估計(jì)函數(shù)是通過平滑得到的，并不是信號(hào)真正的均值和包絡(luò)值，再加上端點(diǎn)效應(yīng)［9］的影響，不可避免地會(huì)發(fā)生能量泄漏現(xiàn)象，因此不可能具備嚴(yán)格的正交性質(zhì)，也即式(13)的右邊不可能等于0。但可以得出如果該值越接近于0，則說明PF分量的正交性越好，分解的效果也越好的結(jié)論。

根據(jù)以上PF分量的正交性質(zhì)，將正交性判據(jù)OC引入LMD方法中作為PF分量的迭代終止判據(jù)，其定義如下:

3 應(yīng)用

考察式(15)所示的仿真信號(hào)x(t)，它由兩個(gè)調(diào)幅-調(diào)頻分量組成，其時(shí)域波形如圖1所示。

圖1 仿真信號(hào)x(t)Fig.1 Simulated signal

圖2 仿真信號(hào)x(t)的LMD分解結(jié)果Fig.2 The PFs of the simulated signal from LMD

引入正交索引參數(shù)(Index of orthogonality，IO)［10］評(píng)價(jià)LMD分解的整體的正交性，其表達(dá)式如下:

式中i，j=k+1時(shí)，表示分解得到的余量。理論上PF分量間如果完全正交，應(yīng)該有IO=0，但由第2節(jié)分析知，實(shí)際中不可能完全正交。經(jīng)計(jì)算上述仿真信號(hào)x(t)的分解結(jié)果的IO=0.002 1，很接近于0，幾乎滿足完全正交。另外x(t)分解前后的能量變化情況見表1，可以看出，總能量以及各個(gè)分量的能量分解前后幾乎一致，體現(xiàn)了分解的完備性與正確性，說明了正交性判據(jù)是合理的。

表1 仿真信號(hào)x(t)分解前后能量的變化情況Tab.1 The energy change situation of simulated signal before and after decomposition

對(duì)于實(shí)際信號(hào)，選取了某內(nèi)圈發(fā)生了局部損傷的滾動(dòng)軸承故障振動(dòng)加速度信號(hào)x(t)進(jìn)行分析。軸承型號(hào)為6311，轉(zhuǎn)頻為20 Hz，采樣頻率為4 096 Hz，計(jì)算的理論故障特征頻率為f0=99.2 Hz。x(t)的時(shí)域波形如圖3所示。

圖3 滾動(dòng)軸承內(nèi)圈故障振動(dòng)信號(hào)x(t)Fig.3 The vibration signal of roller bearing with inner race defect

采用LMD方法對(duì)x(t)進(jìn)行分解，并以正交性判據(jù)準(zhǔn)則作為PF分量的迭代終止條件(采用自適應(yīng)波形匹配延拓法［9］解決端點(diǎn)效應(yīng))。每迭代一次，計(jì)算OC的值，最終完全分解后得到7個(gè)PF分量和1個(gè)余量，如圖4所示。每個(gè)PF分量的迭代次數(shù)以及OC值見表2。

圖4 滾動(dòng)軸承內(nèi)圈故障振動(dòng)信號(hào)x(t)的LMD分解結(jié)果Fig.4 The PFs of the vibration signal of roller bearing with inner race defect from LMD

表2 各個(gè)PF分量的迭代次數(shù)以及OC值Tab.2 Iterative times and OC value of each PF component

同樣為了評(píng)價(jià)分解的效果，按式(16)計(jì)算本次分解的正交索引參數(shù)IO的值。經(jīng)計(jì)算有IO=0.047 5，幾乎滿足完全正交。x(t)分解前后的能量對(duì)比情況見表3，其中Ex為信號(hào)x(t)的能量，Ei(i=1，2，…，7)為各個(gè)PF分量的能量，Eu7為余量的能量，E'x為7個(gè)PF分量與余量的能量之和，可以看出分解前后的能量差很小，體現(xiàn)了分解的完備性。進(jìn)一步對(duì)前兩個(gè)PF分量PF1(t)和PF2(t)的瞬時(shí)幅值a1(t)和a2(t)作頻譜分析，結(jié)果如圖5和圖6所示。圖5中，在內(nèi)圈故障特征頻率99.2 Hz處存在著明顯的譜線，同時(shí)存在著轉(zhuǎn)頻的2倍頻、3倍頻成分;圖6中也可以找到99.2 Hz的譜線，但主要成分是轉(zhuǎn)頻的2倍頻。因此通過幅值譜可以判定軸承存在內(nèi)圈局部故障，與實(shí)際情況相符。以上分析說明本次LMD分解結(jié)果是合理的，正交性判據(jù)是合適的。

表3 軸承故障振動(dòng)信號(hào)x(t)分解前后能量變化的情況Tab.3 The energy change situation of the vibration signal with inner race defect before and after decomposition

標(biāo)準(zhǔn)差判據(jù)(Standard deviation，SD)是一種在EMD分解中得到廣泛應(yīng)用的判據(jù)準(zhǔn)則，其定義如下:

其中hik(t)為求第i個(gè)IMF分量時(shí)的第k次“篩分”結(jié)果。對(duì)比EMD和LMD方法的理論可知，如果將式(17)中的hik(t)用hij(t)=Si(j-1)(t)-mij(t)替換，其中Si(j-1)(t)為分解第i個(gè)PF分量時(shí)的第j-1次迭代結(jié)果，mij(t)為Si(j-1)(t)的局部均值函數(shù)，便可以得到LMD方法中的SD判據(jù)。為了與OC判據(jù)進(jìn)行比較，將SD判據(jù)同樣應(yīng)用于圖3所示的滾動(dòng)軸承故障振動(dòng)信號(hào)，最終分解得到了7個(gè)PF分量和1個(gè)余量，如圖7所示。對(duì)比圖4分解效果沒有很大差別。圖8為第一個(gè)PF分量PF1(t)的幅值譜，同樣能找到內(nèi)圈故障特征頻率。但是進(jìn)一步計(jì)算了本次分解的正交索引值為IO=0.085 3，以及能量值見表4，可以看出IO值和分解前后的能量差值都要比采用OC判據(jù)分解時(shí)的大，說明從總體上分析采用SD判據(jù)分解時(shí)的正交性和完備性都不如OC判據(jù)好。另外各個(gè)PF分量的迭代次數(shù)見表5，其值明顯要大于采用OC判據(jù)分解時(shí)的情況，說明計(jì)算效率OC判據(jù)較SD判據(jù)高。

表4 軸承故障振動(dòng)信號(hào)x(t)分解前后能量變化的情況Tab.4 The energy change situation of the vibration signal with inner race defect before and after decomposition

表5 各個(gè)PF分量的迭代次數(shù)Tab.5 Iterative times of each PF component

4 結(jié)論

利用PF分量的正交性質(zhì)，將正交性判據(jù)OC引入到LMD方法中，解決了LMD方法中PF分量的判據(jù)問題。通過對(duì)仿真信號(hào)和實(shí)際信號(hào)的分析，結(jié)果表明該判據(jù)不但充分保證了LMD分解的正交性質(zhì)，而且穩(wěn)定性好、收斂速度快，得到的分解結(jié)果具有真實(shí)的物理意義并且是完備的，這對(duì)LMD方法的工程實(shí)際應(yīng)用是非常有意義的。但值得提出的是，由于平滑步長會(huì)對(duì)局部均值函數(shù)和包絡(luò)估計(jì)函數(shù)的形狀造成影響，因此勢必會(huì)影響到該判據(jù)的值，而影響的規(guī)律如何，這需要做進(jìn)一步研究。

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