朱 彤， 劉 朵， 胡家順， 周 晶

（大連理工大學海岸和近海工程國家重點實驗室，遼寧大連 116024）

0 引 言

裂紋是結構損傷的重要表現(xiàn)形式之一.在復雜的外荷載作用下，結構中出現(xiàn)裂紋的位置往往復雜多變，其振動響應因裂紋位置的不同而發(fā)生改變.為了研究裂紋結構的振動特性，首先必須建立合適的裂紋分析模型.基于等效降截面、局部柔度與一致裂紋梁原理的模型是目前常用的3種模擬裂紋的方法.其中，基于局部柔度的裂紋模型因其理論性強、物理意義明確而被廣泛應用.這是一種利用線性斷裂力學原理計算外荷載作用下的裂紋局部柔度，并通過“有限元”或“彈簧鉸”描述裂紋局部行為的方法［1～3］.

目前，國內(nèi)外眾多學者針對矩形、圓形以及中空等裂紋截面形式，均建立了基于局部柔度的裂紋模型［4～10］.在上述模型中，裂紋方向與外荷載方向垂直或平行，即假定截面裂紋的位置是固定的.然而，這種假定在實際工程中并不常見.復雜的外界環(huán)境使得結構中出現(xiàn)的裂紋常常與外力成任意角，并非僅僅與外力垂直或平行.在裂紋轉(zhuǎn)子動力學中，已有許多學者研究了裂紋與外力成任意角的裂紋模型，但是對于管類結構中裂紋與外力成任意角的裂紋模型研究卻鮮有報道［11］.Naniwadekar等通過模型試驗的方法研究了裂紋與外力成任意角的管類結構的振動特性，但并沒有給出相應的解析解［12］.為了進一步擴展裂紋結構的局部柔度理論，本文開展裂紋與外力成任意角的管類結構局部柔度的理論研究，針對含有非貫穿直裂紋的裂紋管類結構在純彎矩作用下的局部柔度進行理論推導和數(shù)值求解.

1 非貫穿直裂紋管局部柔度計算理論

圖1為非貫穿裂紋管示意圖.首先作如下假定：（1）裂紋類型為非擴展型；（2）考慮裂紋的呼吸效應；（3）采用各向同性的勻質(zhì)材料，參數(shù)E為彈性模量，ν為泊松比.圖中a為裂紋深度；t＝（De－Di）／2，為管壁厚；De為管外徑；Di為管內(nèi)徑；φ為方向角，即裂紋尖端與水平面的夾角.

下文中將對0°≤φ≤180°的裂紋局部柔度進行討論，對于裂紋位于180°≤φ≤360°的情況，局部柔度可通過對稱性求得.由于應力強度因子應用條件的限制［3］，本文首先考慮裂紋方向角0°≤φ≤30°的情形，且文中僅考慮水平彎矩荷載p3的作用，不考慮軸力和剪力的影響.根據(jù)圖1中裂紋截面的幾何尺寸，可得出如下幾何關系：

式中：b為裂紋寬度的一半為距離矩形微元體頂部的局部深度變量；h′（η）為微元體深度為總體坐標系下的深度變量；η為總體坐標系下的偏移距離.

圖1 裂紋截面的幾何尺寸Fig.1 The geometric dimensions of a cracked section

根據(jù)平面裂紋梁理論，裂紋深度為定值a′的矩形微元體裂紋區(qū)域的應變能為

式中：dη為矩形條帶的寬度；J（ξ′）為應變能密度函數(shù)，用如下方程表示：

式中：平面應變狀態(tài)下E′＝E／（1－ν2）；平面應力狀態(tài)下E′＝E；KΙ為彎矩荷載p3作用下的應力強度因子，表示為

其中裂紋應力強度因子的修正系數(shù)F2表示為

根據(jù)線彈性斷裂力學理論，由裂紋引入的附加應變能為

利用卡氏定理（Castigliano′s theorem）求得裂紋引入的附加位移

進一步求得裂紋所引起的附加局部柔度：

化簡式（7），在水平彎矩荷載p3的作用下，非貫穿直裂紋管的量綱一局部柔度系數(shù)NF（3，3）可表示為

由式（9）可知，裂紋的量綱一局部柔度是方向角φ的函數(shù).當方向角φ發(fā)生改變，即裂紋在截面上的位置變化時，裂紋的呼吸（張開與閉合）行為也會隨之發(fā)生改變.在外彎矩荷載p3的作用下，裂紋截面被分成了兩部分，即分別為受拉與受壓區(qū)域，如圖2所示.裂紋可能完全位于截面的受拉區(qū)，也可能完全位于受壓區(qū)，或者部分受拉部分受壓［3］.不同區(qū)域的裂紋會表現(xiàn)出不同的行為，位于受拉區(qū)的裂紋處于張開狀態(tài)，位于受壓區(qū)的裂紋處于閉合狀態(tài).一般認為，閉合裂紋對裂紋結構的附加局部柔度無影響，可忽略不計；只有張開裂紋對附加局部柔度有貢獻.

圖2 量綱一柔度系數(shù)NF（3，3）隨裂紋位置的變化Fig.2 The dimensionless compliance NF（3，3）as function of the crack location

當方向角－30°≤φ≤30°［3］時，可利用式（9）計算裂紋的量綱一局部柔度系數(shù)，這是由應力強度因子的限制條件所決定的.隨著方向角φ的變化，裂紋的有效積分區(qū)域也發(fā)生改變.當

時，裂紋完全處于受壓區(qū)，即裂紋處于閉合狀態(tài)，此時裂紋無任何附加的局部柔度，NF（3，3）＝0.為方便起見，將φcr稱為臨界角，作為裂紋是否進入受壓區(qū)的標志；將φcl稱為閉合角，標志裂紋是否已完全進入受壓區(qū).在式（11）、（12）中，λ＝a／De，即臨界角φcr、閉合角φcl均是裂紋相對深度（a／De）的函數(shù).

上述內(nèi)容是對裂紋在水平彎矩作用下的情形的討論.利用同樣的研究方法，可以得出裂紋在豎直彎矩作用下的附加局部柔度系數(shù)，即

如圖3，（a）中所示的裂紋與水平面平行，即φ＝0°；（b）中所示的裂紋與水平面垂直，即φ＝90°.在這兩種情形下，由裂紋引起的附加局部柔度是一致的.因此，在豎直彎矩的作用下，方向角－30°≤φ≤0°等價于水平彎矩作用下60°≤φ≤90°的情形，此時可利用式（13）進行量綱一化局部柔度系數(shù)的計算.

圖3 豎向和水平彎矩作用Fig.3 Bending for the horizontal plane and the vertical plane

所以，在0°至180°的方向角范圍內(nèi)，量綱一化局部柔度系數(shù)NF（3，3）計算可以分3段進行，即0°≤φ≤30°、60°≤φ≤90°、φcl≤φ≤180°.對于30°≤φ≤60°和90°≤φ≤φcl的局部柔度系數(shù)可根據(jù)可導性和連續(xù)性的邊界條件通過B樣條曲線擬合得到［3］.至此，當非貫穿直裂紋位于截面任意位置時，即方向角φ為任意值時的附加局部柔度系數(shù)NF（3，3）均可通過計算得到.

2 裂紋管局部柔度系數(shù)求解

為了求解非貫穿直裂紋管量綱一柔度方程，即求解式（9）和（13），本文根據(jù)文獻［1］中的適應性Simpson方法，應用Matlab軟件編寫了數(shù)值積分程序.首先利用該程序?qū)ξ墨I［11］中的圓形截面裂紋梁的量綱一化局部柔度系數(shù)珋c55（珋c55為水平彎矩作用下的量綱一化柔度系數(shù)，下同）進行求解.為了驗證本文數(shù)值積分程序的正確性及求解精度，將計算結果與文獻中給出的數(shù)值進行比較，對比結果如表1所示.

表1 局部柔度的理論計算值與文獻［11］結果對比Tab.1 Theoretical results and results in Lit.［11］of the local compliance

從表1中的誤差一欄可以看出：對于不同的裂紋深度，本文的計算值與文獻［11］中給出的結果相比，誤差都非常小.且當a／R＝1時，兩者的計算結果都等于7.79，從而說明了本文針對量綱一局部方程編寫的數(shù)值積分程序的合理與可靠性.

根據(jù)式（9）或（13）可知，求解裂紋管的附加局部柔度，首先應確定γ和方向角φ.γ是裂紋管的內(nèi)外徑之比，即γ＝Di／De.首先假定γ＝0.5，然后選取不同的φ，以了解方向角的變化對裂紋局部柔度產(chǎn)生的影響.針對方向角0°≤φ≤180°的應用范圍，本文選取12個角度值分別進行了計算.

根據(jù)不同的裂紋深度（a／De）值，計算出了相應的臨界角φcr與閉合角φcl，其結果如表2所示，以便確定裂紋的有效積分區(qū)域.

在本文研究的裂紋深度比a／De范圍內(nèi)，最大閉合角φcl為148.668°（見表2中計算結果），因此可以認為，當方向角φ＞150°時，裂紋完全位于截面受壓區(qū)，即裂紋閉合，量綱一化局部柔度系數(shù)NF（3，3）＝0.所以，將12個角度值分成以下3組：

表2 臨界角φcr、閉合角φcl隨量綱一化裂紋深度a／De的變化Tab.2 Values of the critical angleφcr and the close angle φcl vs.the dimensionless cracked depth a／De

根據(jù)應力強度因子的限制使用條件可知，φ1組應利用式（9）求解；φ2組應利用式（13）求解；φ3組的局部柔度均為0.0°≤φ≤180°范圍內(nèi)其余角度的局部柔度系數(shù)通過B樣條曲線擬合獲得.根據(jù)上述條件利用本文數(shù)值積分程序求解，其計算結果如圖4所示.

從圖4可以看出：（1）量綱一化柔度系數(shù)NF隨著裂紋深度的增加而逐漸增大；（2）量綱一化柔度系數(shù)NF隨著方向角φ的增大而逐漸減??；（3）通過B樣條擬合曲線可以方便求得截面任意位置的裂紋附加局部柔度.

圖4 量綱一化局部柔度系數(shù)NF（3，3）隨各參量變化Fig.4 Variations of dimensionless compliance coefficient NF（3，3）with parameters

3 局部柔度系數(shù)的試驗驗證

在文獻［12］中，Naniwadekar等采用靜力和動力兩種試驗方法，針對低碳鋼裂紋管模型的附加局部柔度進行了研究.文中針對不同的裂紋位置、裂紋方向以及不同的裂紋深度，共84種工況進行了討論，動力測試與靜力測試的結果基本一致.采用文獻［12］中的試驗模型和動力測試方法，驗證本文的計算理論與計算方法是否正確.在彎矩荷載p3的作用下，動力試驗獲得的等效附加剛度Kt與局部柔度系數(shù)c33有如下關系式［1］：

試驗模型參數(shù)為De＝0.037 8 m；Di＝0.027 8 m；ρ＝7 860 kg／m3；E＝173.8 GPa；a／t＝0.2，0.4，0.6，0.8；φ＝0°，10°，20°，30°，45°，50°，60°.

根據(jù)本文前一部分敘述的步驟和方法求得量綱一化柔度系數(shù)NF，然后根據(jù)式（16）即可得到局部柔度系數(shù)：

將本文理論計算得出的裂紋附加局部柔度系數(shù)與文獻［12］中的試驗值進行對比，結果如圖5（a）、（b）所示.

從圖5中可以看出，本文的裂紋附加局部柔度系數(shù)解析解與試驗結果基本吻合，且隨著裂紋深度系數(shù)的增加而逐漸增大.在試驗中，裂紋管中的裂紋是通過人工切割產(chǎn)生的，其裂紋尖端位置是相互連接的整體；而本文在進行裂紋附加局部柔度系數(shù)的理論推導時，假定了裂紋截面離散的矩形微元體是相互獨立的，這可能是產(chǎn)生誤差的主要原因.

圖5 局部柔度系數(shù)的理論值與試驗值對比Fig.5 Theoretical results and experimental results of the local flexibility due to a crack

4 結 論

基于線性斷裂力學理論和應變能釋放率原理，推導了純彎矩作用下裂紋與外荷載成任意角的非貫穿直裂紋管的附加局部柔度方程，擴展了裂紋管的局部柔度理論.利用Matlab語言編寫了局部柔度的數(shù)值積分程序，分段求解了0°至180°的裂紋局部柔度系數(shù).由于應力強度因子使用條件的限制，0°≤φ≤30°、60°≤φ≤90°以及φcl≤φ≤180°的局部柔度系數(shù)可以通過計算直接得到，而其余的方向角則通過B樣條曲線擬合得到，因此，任意方向的裂紋局部柔度系數(shù)均可以方便求出.本文的局部柔度解析解與Naniwadekar得到的試驗結果基本吻合，驗證了該局部柔度理論的正確性.

裂紋管結構附加局部柔度理論的研究工作，為裂紋管類結構的力學特性分析、裂紋識別提供了理論基礎和參考.此裂紋管局部柔度理論性強、應用范圍廣泛，具有一定的工程應用價值［1］.但是，在本文的推導過程中，只研究了非貫穿直裂紋管在純彎矩作用下因裂紋引入的附加局部柔度，而未考慮軸力、剪力和扭矩以及它們之間的耦合作用，這將有待于在未來的工作中進行深入研究.

［1］胡家順.裂紋管結構的振動分析與裂紋識別［D］.大連：大連理工大學，2009

［2］胡家順，馮 新，周 晶.呼吸裂紋梁非線性動力特性研究［J］.振動與沖擊，2009，28（1）：76－80

［3］CHASALEVRIS A C，PAPADOPOULOS C A.Identification of multiple cracks in beams under bending［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2006，20（7）：1631－1673

［4］DIMAROGONAS A D.Vibration of cracked structures：a state of the art review［J］.Engineering Fracture Mechanics，1996，55（5）：831－857

［5］PAPADOPOULOS C A.The strain energy release approach for modeling cracks in rotors：a state of the art review［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2008，22（4）：763－789

［6］ZOU J，CHEN J，NIU J C，etal.Discussion on the local flexibility due to the crack in a cracked rotor system［J］.Journal of Sound and Vibration，2003，262（3）：365－369

［7］HE Yu－min，YE Jun－jie，CHEN Xue－feng，etal.Discussion on calculation of the local flexibility due to the crack in a pipe［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2009，23（3）：804－810

［8］CHASALEVRIS A C，PAPADOPOULOS C A.Coupled horizontal and vertical bending vibrations of a stationary shaft with two cracks［J］.Journal of Sound and Vibration，2008，309（3－5）：507－528

［9］DARPE A K.A novel way to detect transverse surface crack in a rotating shaft［J］.Journal of Sound and Vibration，2007，305（1－2）：151－171

［10］CHASALEVRIS A C，PAPADOPOULOS C A.A continuous model approach for cross－coupled bending vibrations of a rotor－bearing system with a transverse breathing crack［J］.Mechanism and Machine Theory，2009，44（6）：1176－1191

［11］PAPADOPOULOS C A.Some comments on the calculation of the local flexibility of cracked shafts［J］.Journal of Sound and Vibration，2004，278（4－5）：1205－1211

［12］NANIWADEKAR M R，NAIK S S，MAITI S K.On prediction of crack in different orientations in pipe using frequency based approach［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2008，22（3）：693－708