張延恒，孫漢旭，賈慶軒

（北京郵電大學(xué) 自動化學(xué)院，北京，100876）

改進(jìn)的基于測地線的機(jī)器人軌跡規(guī)劃方法

張延恒，孫漢旭，賈慶軒

（北京郵電大學(xué) 自動化學(xué)院，北京，100876）

針對機(jī)器人運(yùn)動規(guī)劃過程中測地線微分方程初始條件的確定問題，提出一種基于微分運(yùn)動的初始條件求解方法。該方法通過對比分析黎曼空間與三維空間中機(jī)器人末端運(yùn)動軌跡，確定兩者之間的空間對應(yīng)關(guān)系，在此基礎(chǔ)上建立測地線微分方程初始條件的求解模型。最后，以2自由度機(jī)器人為例，對比驗(yàn)證該方法的有效性。研究結(jié)果表明：該模型解決了以往采用線性搜索方法求解微分方程初始條件所造成的求解不確定性問題。

機(jī)器人；軌跡規(guī)劃；測地線

機(jī)器人運(yùn)動規(guī)劃是機(jī)器人研究首先要面對的問題。目前，關(guān)于機(jī)器人運(yùn)動規(guī)劃的研究很多，但大多是以運(yùn)動學(xué)逆解和多項(xiàng)式插值為基礎(chǔ)進(jìn)行的規(guī)劃研究[1?5]。隨著研究手段的發(fā)展，李群李代數(shù)及微分幾何等數(shù)學(xué)工具被越來越多地運(yùn)用到機(jī)器人運(yùn)動規(guī)劃的研究中[6?12]。特別地，張連東等[6?8]采用微分幾何中活動標(biāo)架方法，對機(jī)器人的操作能力、運(yùn)動規(guī)劃等問題進(jìn)行了研究，所采用的基于黎曼曲面上的測地線進(jìn)行機(jī)器人最優(yōu)軌跡規(guī)劃的方法，具有非時間參考軌跡規(guī)劃的優(yōu)點(diǎn)。但他們在求解測地線微分方程時，采用的是線性搜索的方法，該方法通過設(shè)定關(guān)節(jié)初始廣義速度范圍，在小步長增量下，設(shè)定搜索誤差范圍；當(dāng)搜索到的目標(biāo)曲線上任意點(diǎn)與理想終點(diǎn)之間的誤差小于設(shè)定的搜索誤差時，認(rèn)為搜索點(diǎn)滿足條件，即由該搜索點(diǎn)（廣義速度）作為測地線微分方程組的初始廣義速度，從而完成對微分方程組的求解。這種方法存在2個缺點(diǎn)：一是在設(shè)定搜索范圍時，較難確定廣義初始速度的取值范圍；二是這種搜索方法并不是一個準(zhǔn)確的求解方法，在關(guān)節(jié)變量較多時搜索計算量大，而且搜索收斂性下降。針對此問題，本文作者提出了一種采用微分運(yùn)動求解測地線微分方程初始條件的方法。該方法通過建立測地線初始方向與關(guān)節(jié)速度間的空間映射關(guān)系，從而實(shí)現(xiàn)精確的求解微分方程初始條件，簡化了測地線微分方程的求解過程。

1 黎曼度量與測地線

黎曼度量是黎曼曲面上一個對稱正定的張量場[13]，對于機(jī)器人末端運(yùn)動曲面，其運(yùn)動的軌跡弧長的平方是一個正定對稱的二次形式，因而就構(gòu)成了一個黎曼度量。此黎曼度量是黎曼曲面上2點(diǎn)之間距離的度量方式。

在黎曼曲面上的測地線為曲線上每一個點(diǎn)的測地曲率為0的曲線，即沿測地線方向曲面上2個點(diǎn)之間的距離最短。因此，對機(jī)器人末端進(jìn)行軌跡規(guī)劃時，首先要將機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)特性進(jìn)行幾何化，并將其映射成黎曼曲面的形式，建立黎曼曲面后，就可以對曲面進(jìn)行分析，從而脫離機(jī)器人實(shí)體，而單純通過幾何方法來研究機(jī)器人的運(yùn)動，即通過研究機(jī)器人運(yùn)動曲面上的測地線來對機(jī)器人進(jìn)行最優(yōu)軌跡規(guī)劃。在利用測地線對機(jī)器人進(jìn)行運(yùn)動規(guī)劃時，機(jī)器人各關(guān)節(jié)之間的運(yùn)動不再是獨(dú)立的，它們之間的耦合關(guān)系由測地線微分方程決定。

2 改進(jìn)的機(jī)器人軌跡規(guī)劃方法

2.1 兩自由度機(jī)器人黎曼度量建模

平面兩自由度機(jī)器人如圖1所示，其操作臂末端位置可表示為：

式中：l1和l2分別為連桿1和連桿2的桿長；q1和q2分別為關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2的轉(zhuǎn)角。

圖1 兩自由度機(jī)器人模型Fig.1 Model of two-degree robot

據(jù)此建立以弧長平方為度量的機(jī)器人黎曼度量：

其中：s為軌跡弧長；a1,a2和a3為與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及狀態(tài)有關(guān)的參數(shù)。將其寫成黎曼度量系數(shù)矩陣的形式為：

根據(jù)式（1）確定了黎曼度量系數(shù)矩陣后，機(jī)器人的運(yùn)動就從真實(shí)的物理空間轉(zhuǎn)換到了幾何空間，即完成了對機(jī)器人運(yùn)動性質(zhì)的幾何化。對機(jī)器人運(yùn)動的研究就轉(zhuǎn)換為對該幾何空間中對應(yīng)的黎曼曲面的研究。機(jī)器人末端執(zhí)行器2點(diǎn)之間的最短運(yùn)動路徑對應(yīng)于該黎曼曲面上的測地線[14]，所得到的測地線微分方程如下：

式中：Γ為克里斯托弗系數(shù)。

為求解此二元二次微分方程組，將此微分方程組進(jìn)行降階處理，轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)的狀態(tài)方程的形式，可得：

2.2 確定微分方程初始條件

由式（2）可看到，要對該微分方程進(jìn)行求解，必須已知微分方程求解的初始條件，即初始角度和廣義速度。對于機(jī)器人運(yùn)動規(guī)劃，通常情況下初始時各關(guān)節(jié)角度為已知量，因而還必須確定初始時的廣義速度，該廣義速度是關(guān)于末端軌跡弧長的微分，其表示式為：

對于機(jī)器人，其末端運(yùn)動的所有可達(dá)空間構(gòu)成了抽象的空間曲面——黎曼曲面，在進(jìn)行機(jī)器人空間2點(diǎn)之間的運(yùn)動規(guī)劃時，采用微分幾何中的測地線方法。測地線為黎曼曲面上2點(diǎn)之間長度最短的曲線，因此，可以將黎曼曲面上的測地線等距對應(yīng)于三維歐氏空間中的曲線。在三維歐氏空間中，2點(diǎn)之間的最短曲線即為直線。該最短直線與黎曼曲面上的測地線對應(yīng)。由此可知，對應(yīng)于機(jī)器人末端執(zhí)行器最短運(yùn)動距離，末端執(zhí)行器必須沿空間運(yùn)動始末2點(diǎn)之間的連線運(yùn)動，因而可以通過如下方法確定運(yùn)動初始廣義速度。

對于空間2點(diǎn)X1和X2（其中X1為運(yùn)動起始點(diǎn)，X2為運(yùn)動終止點(diǎn)），其運(yùn)動矢量為：

對式（3）所表示的矢量單位化，可得到：

在此設(shè)定末端運(yùn)動初始速度v，則機(jī)器人末端運(yùn)動速度矢量v可表示為：

根據(jù)機(jī)器人運(yùn)動學(xué)關(guān)系[15]可以得到機(jī)器人運(yùn)動雅可比矩陣J（該雅可比矩陣必須為滿秩矩陣，對于冗余度機(jī)器人，可通過設(shè)定約束條件使其成為滿秩），則由末端運(yùn)動速度與關(guān)節(jié)運(yùn)動速度之間的雅可比矩陣可以得到此速度所對應(yīng)的關(guān)節(jié)速度：

根據(jù)測地線微分方程可知該微分方程所解得的關(guān)節(jié)角度是關(guān)于末端運(yùn)動距離s的函數(shù)，即：

由于機(jī)器人末端執(zhí)行器運(yùn)動距離從0逐漸增大，因此，距離增量ds為正值，有：

將式（5）和（7）代入式（6）可得到最終形式的機(jī)器人關(guān)節(jié)速度：

由式（8）可以看出：對于給定機(jī)器人末端執(zhí)行器運(yùn)動始末2點(diǎn)，其關(guān)節(jié)角度關(guān)于末端運(yùn)動弧長的微分在給定點(diǎn)處的大小只與該點(diǎn)處的運(yùn)動雅可比矩陣及2點(diǎn)之間的方向矢量有關(guān)，而與末端執(zhí)行器在此位置時的實(shí)際運(yùn)動速度無關(guān)。對應(yīng)于測地線微分方程，可以看出：對于黎曼曲面上的給定點(diǎn)，存在無數(shù)條測地線，而對于給定的末端執(zhí)行器運(yùn)動終止點(diǎn)，對應(yīng)于黎曼曲面上的測地線只存在1條。

3 方法驗(yàn)證

對于圖1所示兩自由度機(jī)器人，機(jī)械臂各連桿桿長為1 m。處于圖示位置時，各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角q1=π/3，q2=?2π/3。機(jī)械臂由當(dāng)前位置P1=（1, 0）T運(yùn)動至空間點(diǎn)即沿方向運(yùn)動個單位，所得到的仿真結(jié)果如圖2和圖3所示。

與文獻(xiàn)[6?7]所得到的軌跡規(guī)劃結(jié)果進(jìn)行對比可知：本文所得結(jié)果與文獻(xiàn)[6?7]中所得結(jié)果一致，證明了本文所提出的確定測地線微分方程初始條件的方法的正確性。本文所采用的基于微分運(yùn)動的測地線微分方程初始條件求解方法，可以精確求解測地線微分方程的初始方向（廣義速度）。

圖2 關(guān)節(jié)角度規(guī)劃結(jié)果Fig.2 Planning results of joint angle

圖3 角度耦合關(guān)系Fig.3 Relationship of joint angles

4 結(jié)論

（1） 本文所提出的計算方法解決了以往采用線性搜索方法求解微分方程初始條件所造成的求解不確定性問題。

（2） 在給定規(guī)劃起始點(diǎn)和終止點(diǎn)時，測地線微分方程的初始方向僅與該點(diǎn)處的運(yùn)動雅可比矩陣及2點(diǎn)之間的方向矢量有關(guān)，而與末端執(zhí)行器在此位置時的實(shí)際運(yùn)動速度無關(guān)。

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（編輯 趙俊）

An improved robot trajectory planning method based on geodesics

ZHANG Yan-heng, SUN Han-xu, JIA Qing-xuan
（Automation School, Beijing University of Posts and Telecommunications, Beijing 100876, China）

To solve the problem of the initial conditions of geodesics differential equations, a novel method based on differential motion was proposed. By way of analyzing the motion trajectory of robot between Riemannian space and three-dimensional space, their spatial mapping relationship was confirmed and a model used to compute the initial conditions was developed. Finally, a two-link manipulator was used to verify the application of this method. The results show that this model avoids the uncertainty problem existing in the linear search method used to solve initial conditions of the geodesics differential equations.

robot; trajectory planning; geodesic

TP242

A

1672?7207（2011）05?1344?04

2010?01?28；

2010?05?10

國家自然科學(xué)基金青年科學(xué)基金資助項(xiàng)目（50905019）；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目（2010PTB-07-01）

張延恒（1978?），男，山東煙臺人，博士，講師，從事機(jī)器人運(yùn)動學(xué)、動力學(xué)及控制研究；電話：010-62281368；E-mail： zyh620@163.com