熊承義，程 赟，周 城

(中南民族大學(xué)電子信息工程學(xué)院，武漢430074)

在傳統(tǒng)的信號或圖像采集系統(tǒng)中，香農(nóng)采樣定理必須遵守的基本原則:要無失真地重建帶寬有限的信號，其信號的采樣頻率必須大于或等于奈奎斯特采樣率(信號帶寬的兩倍).依照香農(nóng)采樣定理會導(dǎo)致海量采樣數(shù)據(jù)，這對處理時間和存儲空間都是一種浪費.近年來，一種新興的壓縮感知(CS)［1-3］理論得到了研究人員的廣泛關(guān)注.壓縮感知是一種新的信號采集、編解碼理論，能夠?qū)崿F(xiàn)數(shù)據(jù)采集和壓縮同時進行.壓縮感知理論認(rèn)為，只要信號是稀疏或是可壓縮的，那么它就能從一些少量的測量值中準(zhǔn)確或近似重構(gòu).壓縮感知理論的應(yīng)用前景十分廣闊，壓縮感知應(yīng)用于圖像壓縮成為當(dāng)前的重要研究熱點之一［3，4］.

在眾多有關(guān)壓縮感知理論的文獻中［6-8］，大部分的測量矩陣都是預(yù)先設(shè)計好的，不需要根據(jù)測量信號而自適應(yīng)變化.這種傳統(tǒng)的CS方法，同等地對待信號的所有成分，并不考慮信號具有的先驗特性.盡管對于大部分的現(xiàn)實信號，我們可能會并不預(yù)先知道信號的結(jié)構(gòu)，然而對于大多復(fù)雜的圖像信號，我們卻知道這些信號的一些特性，比如圖像各頻率成分的分布特征等［8］.因此，基于圖像先驗信息的圖像壓縮感知，對于提高壓縮感知系統(tǒng)的性能具有重要作用.利用人眼對圖像低頻成分敏感而對高頻細節(jié)相對不敏感的視覺特性，在圖像采集端對圖像的不同頻率成分分量進行不同自適應(yīng)加權(quán)測量，對于降低采樣比率和提高重建圖像質(zhì)量是一種有效方法［9］.本文在分析了圖像分塊離散余弦變換各子帶能量分布特征的基礎(chǔ)上，提出了一種新的基于子帶能量分布的自適應(yīng)加權(quán)圖像壓縮采樣方法用于圖像壓縮應(yīng)用.該方法通過提取各系數(shù)子帶的能量用于圖像在變換域的自適應(yīng)加權(quán)測量，能夠有效增強測量效率和提高重建圖像質(zhì)量.

1 基于分塊的圖像壓縮感知

1.1 壓縮感知

壓縮感知主要包括兩個環(huán)節(jié):隨機投影和非線性重構(gòu).圖像壓縮感知主要是對自然圖像信號進行隨機投影采樣，并利用圖像表示的稀疏性(sparse)作為先驗知識進行優(yōu)化重構(gòu).一個長度為N的一維離散時間信號x∈RN，可以表示為一組標(biāo)準(zhǔn)正交基的線性組合:

式中s與x是N×1矢量，Ψ是N×N矩陣.當(dāng)信號x在某個基Ψ上僅有k?N個非零系數(shù)時，稱Ψ為信號x的稀疏基.信號的可稀疏表示是壓縮感知的先驗條件.常見的自然信號在時域內(nèi)幾乎都是不稀疏的，但是它們能夠在某些變換域Ψ稀疏表示 .選擇合理的稀疏基Ψ，可使得信號在該域具有良好的稀疏性 .常用的稀疏基有:正(余)弦基、小波基、chirplet基以及curvelet基等 .

在CS編碼測量模型中，一般并不是直接測量可稀疏信號x本身，而是將信號x投影到測量矩陣上，從而得到信號的測量投影值y.測量過程可以表示為:

式中Φ為M×N測量矩陣，Θ=ΦΨ也稱為M×N傳感矩陣.通常由于M遠小于N，所以，信號的壓縮感知采樣的維數(shù)將遠小于信號傳統(tǒng)奈奎斯特采樣的維數(shù).

如果由信號的壓縮感知測量值矢量y重建原信號x，由于測量值矢量的維數(shù)M遠遠小于原信號的維數(shù)N，即方程的個數(shù)少于未知數(shù)的個數(shù)，這是一個欠定問題，一般來講無確定解.然而由于式(2)中s是k稀疏的，當(dāng)傳感矩陣Θ滿足有限等距性條件(RIP)時可以保證長度為N的x可以通過M≥O(klnN)個測量值準(zhǔn)確重構(gòu).

RIP等價條件是測量矩陣Φ和稀疏表示的基Ψ不相干(Incoherence).Φ很大程度上和隨機(Randomness)這個詞相聯(lián)系，CS信號的測量過程是非自適應(yīng)的，測量矩陣的設(shè)計不依賴于信號的結(jié)構(gòu).目前，用于壓縮感知的測量矩陣主要有以下幾種［10，11］:高斯隨機矩陣，二值隨機矩陣(伯努力矩陣)，傅立葉隨機矩陣，哈達瑪矩陣，一致球矩陣等 .特別地，當(dāng)Φ是高斯隨機矩陣時，傳感矩陣Θ能以較大概率滿足約束等距性條件.高斯測量矩陣的優(yōu)點在于它幾乎與任意稀疏基都不相干，因而所需的測量維數(shù)將最小.

1.2 基于分塊的壓縮感知

由于現(xiàn)有CS方法在針對大尺度整幅圖像采樣時具有計算復(fù)雜度高，存儲壓縮采樣算子所需存儲器規(guī)模大的問題，采用基于分塊的壓縮采樣方法能夠?qū)崿F(xiàn)較好的性能折衷［12］.分塊CS的圖像重構(gòu)算法采用相同的采樣算子以分塊的方式獲取圖像.算法的基本思想是，首先將N=nr×nc個像素的圖像x分成大小為B×B的塊，第i個塊的向量記為xi，i=1，…，n，n=N/B2;然后對每個塊應(yīng)用相同的壓縮采樣算子，得到每個圖像塊的測量值向量 .對每一分塊圖像的測量過程可表示為yi=ΘB xi，以及對整幅圖像進行測量的等價測量算子可表示為由ΦB構(gòu)成的對角矩陣［12］.

2 基于子帶能量分布的壓縮感知

2.1 變換域加權(quán)壓縮采樣

從上一節(jié)關(guān)于壓縮感知的簡介可知，傳統(tǒng)壓縮感知的測量過程是一個非自適應(yīng)線性測量過程，其測量矩陣的設(shè)計不依賴于信號的結(jié)構(gòu).文獻［9］提出一種在圖像分塊壓縮采樣階段實行加權(quán)采樣的方法，引入在對每個圖像塊保持測量維數(shù)相同的條件下，采用對被測量圖像塊在其變換域進行系數(shù)預(yù)加權(quán)后再進行壓縮采樣的技術(shù).其測量效率將優(yōu)于在解碼端重加權(quán)重構(gòu)技術(shù)［9］，該采樣方法還可以有效降低解碼端的復(fù)雜度.

這種加權(quán)采樣方法通過利用圖像統(tǒng)計特性在圖像變換域修改采樣權(quán)重，得到圖像自適應(yīng)的測量結(jié)果，能夠達到有效降低系統(tǒng)采樣比率的目的.其具體實現(xiàn)思想簡述如下:

(1)修改圖像編碼端的壓縮采樣過程為:

式中的矩陣W=diag［ω1，ω1，…，ωN］為測量加權(quán)矩陣，目的在于在實施壓縮測量之前先將被測量變換域系數(shù)矢量進行加權(quán)處理，使得不同系數(shù)在最終生成的測量值中具有不同的信息量.

(2)修改圖像解碼端的重構(gòu)過程為:

文獻［9］選取對不同頻率成分加權(quán)的權(quán)系數(shù)為對應(yīng)頻率成分的均值的絕對值|μi|及其均方差σi的線性組合，即:

2.2 基于子帶能量分布進行自適應(yīng)加權(quán)測量

由于人眼對于圖像信號不同的頻率成分有不同的敏感度［6］，以及人眼類似于一個低通濾波器，對于低頻成分更加敏感，根據(jù)人眼的視覺感知特性優(yōu)化壓縮采樣過程，對于提高壓縮采樣效率應(yīng)具有重要意義.基于人眼視覺特性的壓縮采樣，要求對直流和低頻分量進行較大值的加權(quán)采樣，而對高頻分量進行較小值的加權(quán)采樣，從而使得每一個壓縮采樣值提升直流和低頻信息而相對抑制對應(yīng)的高頻信息.我們知道，對于自然圖像的離散余弦變換(DCT)系數(shù)，大量值的頻率部分集中在低頻部分，該部分集中了圖像信號的大部分能量，而高頻部分量值較小，它僅占有圖像信號的極少部分能量.基于以上分析和實驗觀察，本文提出了一種基于DCT域子帶能量分布進行自適應(yīng)加權(quán)測量方法.比較基于文獻［9］的方法，本文方法不僅能夠有效降低計算復(fù)雜度，而且能夠更好地增強測量效率，提高重建圖像質(zhì)量.由于本文方法的測量過程與文獻［9］方法的測量過程相同，主要區(qū)別在于采用新的基于圖像能量分布的加權(quán)矩陣替代原來的基于統(tǒng)計特性的加權(quán)矩陣，因此主要給出新的加權(quán)系數(shù)矩陣的確定方法如下.

首先，提取每個分塊圖像DCT域?qū)?yīng)相同位置的系數(shù)組成新的系數(shù)矩陣，得到代表圖像在DCT域的不同系數(shù)子帶.接下來，計算每個系數(shù)子帶的能量.定義每個系數(shù)子帶的能量為該子帶內(nèi)每個系數(shù)值的平方和 .具體來說，假設(shè)一幅nr×nc自然圖像被分成B×B的塊，那么它在DCT域可產(chǎn)生一共B×B個系數(shù)子帶，則每個系數(shù)子帶的能量將定義為:

圖1是256×256Lenna圖經(jīng)過8×8分塊DCT，并經(jīng)由Zigzag掃描后得到對應(yīng)由低頻到高頻的64個子帶的能量分布曲線圖.圖中的橫坐標(biāo)代表對應(yīng)不同頻率的系數(shù)子帶，縱坐標(biāo)代表子帶的能量定義.從圖1可直觀看出:圖像在DCT域的能量主要集中在直流和較少的低頻分量;圖像的高頻分量占有很少的能量，通常頻率越高占有的能量越少.

圖1 子帶能量分布曲線圖Fig.1 Sub-band energy distribution curve

由此，我們最終提出直接采用各子帶系數(shù)的能量比率作為相應(yīng)的加權(quán)權(quán)重，在DCT域?qū)ο鄳?yīng)頻率系數(shù)進行加權(quán)后再進行壓縮測量，即確定加權(quán)矩陣系數(shù)的選取原則為:

為了便于理解，定義改進的權(quán)重系數(shù)為相應(yīng)子帶能量的歸一化結(jié)果，即:

3 實驗結(jié)果及分析

我們將基于本文提出的加權(quán)采樣方法和文獻［9］方法進行了比較.在實驗中，采用高斯矩陣作為測量矩陣，采用nesta算法為恢復(fù)算法.為了充分地對比兩種方法的性能，這里我們采用兩組測試圖像，一組是 256×256的灰度圖像 lenna.bmp，cameramar.bmp，boat.bmp，另一組是 512 × 512 的灰度圖像 lenna.bmp，house.bmp，manhatan.bmp .圖像分塊大小分別選擇8×8和16×16.

表1是256×256的標(biāo)準(zhǔn)灰度圖在各采樣比率SR=0.2，0.3，0.4，0.5 下兩種方法的 PSNR 性能比較結(jié)果，設(shè)置圖像分塊大小為8×8.表2是的512×512 標(biāo)準(zhǔn)灰度圖在各采樣比率 SR=0.2，0.3，0.4，0.5下兩種方法的 PSNR性能比較結(jié)果，設(shè)置圖像塊大小為16×16.實驗結(jié)果證明，采用本文方法可以提高PSNR性能平均在0.7dB及以上 .

圖2給出了采樣比率為0.4時的lenna.bmp和cameraman.bmp的重建圖像的主觀視覺效果比較 .圖3所示為重建lenna圖像的局部放大結(jié)果比較.可以看出，在相同的采樣率下，采用本文提出的方法可更好地保留圖像的重要細節(jié)信息，以及具有較少的重建噪聲，因此具有更好的重建圖像視覺質(zhì)量.

表1 PSNR性能比Tab.1 PSNR PerformancedB

表2 PSNR性能比Tab.2 PSNR PerformancedB

圖2 重建圖像質(zhì)量比較(SR=0.4)Fig.2 Visual quality comparison at sample rate 0.4 with block size 8 ×8

圖3 Lenna重建圖像的局部放大效果Fig.3 Locally zoomed parts of the reconstructed images

4 結(jié)語

基于自然圖像在變換域各子帶能量分布規(guī)律與人眼視覺感知一致性的特點，提出了一種基于子帶能量分布的自適應(yīng)加權(quán)壓縮采樣方法.大量實驗結(jié)果表明:與同類方法比較，該方法不僅能夠有效降低系統(tǒng)的計算復(fù)雜度，而且能夠更好地降低測量比率和有效提高圖像的重建質(zhì)量.該壓縮采樣方法對基于新的壓縮感知的圖像壓縮系統(tǒng)的設(shè)計具有較好的應(yīng)用前景.另外值得注意的是，如果結(jié)合采用混合壓縮感知技術(shù)［2］將會獲得更佳的系統(tǒng)性能增益 .

［1］Donoho D L.Compressed sensing［J］.IEEE Transactions on Information Theory ，2006，52(4):1289-1306.

［2］Tsaig Y，Donoho D.Extensions of compressed sensing［J］.Signal Processing，2006，86(3):533-548.

［3］Kumar A A，Makur A.Lossy compression of encrypted image by compressive sensing technique［C］//ICT.Proc Int Conf TENCON.Singapore:ICT，2009:1-5.

［4］Deng C ，Lin W，Lee B-S，et al.Robust image compression based on compressive sensing［C］//IEEE.2010 International Conference on Mulimedia and Expo.Singapore:IEEE ，2010:462-467.

［5］Ji Shi-hao，Xue Ya，Carin L.Bayesiancompressivesensing［J］.IEEETransactiononSignal Processing，2008，56(6):2346-2356.

［6］李 林，孔令富，練秋生.基于輪廓波維納濾波的圖像壓縮傳感重構(gòu)［J］.儀器儀表學(xué)報，2009，30(10):2051-2056.

［7］練秋生，高彥彥，陳淑貞.基于兩步迭代收縮法和復(fù)數(shù)小波的壓縮傳感圖像重構(gòu)［J］.儀器儀表學(xué)報，2009，30(7):1426-1431.

［8］Yang Yi，AU Oscar C，F(xiàn)ang Lu ，et al.Preceptual compreesive sensing for image signals［C］//IEEE .2009 International Conference on Multimedia and Expo.New York:IEEE，2009:89-82.

［9］Yang Yi，AU Oscar C，F(xiàn)ang Lu，et al.Reweighted compressive sampling for image compression［C］//PCS.2009 Picture Coding Symposium，Chicago:PCS，2009:1-4.

［10］Candes E J ，Tao T.Near optimal signal recovery from random projections:universal encoding strategies［J］.IEEE Transactions on Information Theory，2006，52(12):5406-5425.

［11］Jing Zou，Gilbert A C，Straussm J，etal.Theoretical and experimental analysis of a randomized algorithm for sparse Fourier transform analysis［J］.Journal of Computational Physics，2006，211(2):572-595.

［12］Gan L.Block compressed sensing of natural images［C］//DSP.2007 15th International Conference on Digital Signal Processing， Cardiff:DSP，2007:403-406.