●李小飛 (南京師范大學附屬中學 江蘇南京 210003)

簡議高中數學分析和解決問題能力的培養(yǎng)

●李小飛 (南京師范大學附屬中學 江蘇南京 210003)

分析和解決問題的能力是指能閱讀、理解對問題進行陳述的材料;能綜合應用所學數學知識、思想和方法解決問題，包括解決在相關學科、生產、生活中的數學問題，并能用數學語言正確地加以表述．它是邏輯思維能力、運算能力、空間想象能力等基本數學能力的綜合體現．由于高考數學的命題原則是在考查基礎知識的基礎上，注重對數學思想和方法的考查，注重數學能力的考查，強調了綜合性．這就對考生分析和解決問題的能力提出了更高的要求，也使試卷的題型更新，更具有開放性．

1 分析和解決問題能力的組成

1．1 審題能力

審題能力主要是指充分理解題意，把握住題目本質的能力;分析、發(fā)現隱含條件以及化簡、轉化已知和所求的能力．要快捷、準確地解決問題，掌握題目的數形特點、能對條件或所求進行轉化和發(fā)現隱含條件是至關重要的．

從上述解答過程可以看出，解決此題的關鍵在于挖掘所求和已知條件之間的聯系，這需要有一定的審題能力．由此可見，審題能力應是分析和解決問題能力的一個基本組成部分．

1．2 合理應用知識、思想、方法解決問題的能力

高中數學知識包括函數、不等式、數列、三角函數、復數、立體幾何、解析幾何等內容;數學思想包括數形結合、函數與方程思想、分類與討論和等價轉化等;數學方法包括待定系數法、換元法、數學歸納法、反證法、配方法等基本方法．只有理解和掌握數學的基本知識、思想、方法，才能解決高中數學中的一些基本問題，而合理選擇和應用知識、思想、方法可以使問題解決得更迅速、順暢．

求3u－4v的最大值．不難發(fā)現這是個線性規(guī)劃問題，仍然可以用數形結合的思想來解決．

1．3 數學建模的能力

例3某興趣小組測量電視塔AE的高度H(單位:m)，如圖 1，垂直放置的標桿BC的高度h=4 m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β．

(1)該小組已經測得一組α，β 的值，tanα =1．24，tanβ =1．20，請據此算出H的值．

(2)該小組分析若干測得的數據后，認為適當調整標桿到電視塔的距離d(單位:m)，使α與β之差較大，可以提高測量精確度．若電視塔的實際高度為125 m，試問d為多少時，α－β最大?

分析本題主要考查解三角形的知識、兩角差的正切及不等式的應用．

圖1

本題第(2)題的文字表述比較長，要求學生能夠將文字語言轉化為數學語言，能夠把求α－β的值最大轉化為求該角的三角函數值最大．文字語言轉化為數學語言從而再進一步轉化為數學問題，是學生難以掌握的地方．這需要提高文字信息的獲取能力和數學建模能力．平時在教學過程中，教師要試著讓學生獨立閱讀題目，并嘗試自己尋找信息，從而將問題轉化為數學問題．

當然，本題也可以利用幾何知識來解決，過點E作AD的平行線，當以BC為弦的圓與直線AD相切時，α－β的值最大．這樣，就可以利用切割線定理很快得到答案．

2 培養(yǎng)和提高分析、解決問題能力的策略

2．1 重視通性通法教學，引導學生概括、領悟常見的數學思想與方法

數學思想較之數學基礎知識，有更高的層次和地位．它蘊涵在數學知識發(fā)生、發(fā)展和應用的過程中，是一種數學意識，屬于思維的范疇．數學方法是數學思想的具體體現，具有模式化與可操作性的特征，可以作為解題的具體手段．

在數學課堂教學中應重視通性通法，淡化特殊技巧，使學生認識一種“思想”或“方法”的個性，即認識一種數學思想或方法對于解決什么樣的問題有效．從而培養(yǎng)和提高學生合理、正確地應用數學思想與方法分析、解決問題的能力．

2．2 加強應用題教學，提高學生的模式識別能力

高考是注重能力的考試，特別是學生運用數學知識和方法分析問題、解決問題的能力，而高考中的應用題就著重考查這方面的能力．

數學是充滿模式的，就解應用題而言，對其數學模式的識別是解決它的前提．由于高考考查的不是原始的實際問題，命題者對生產、生活中的原始問題的設計加工使每個應用題都有其數學模型．在高中數學教學中，不但要重視應用題的教學，同時要對應用題進行專題訓練，引導學生總結、歸納各種應用題的數學模型，這樣學生才能有的放矢，合理運用數學思想和方法分析、解決實際問題．

2．3 適當進行開放題和新型題的訓練，拓寬學生的知識面

要分析和解決問題，必須先理解題意，這樣才能進一步運用數學思想和方法解決問題．近年來，隨著新技術革命的飛速發(fā)展，要求數學教育培養(yǎng)出更高數學素質、具有更強創(chuàng)造能力的人才，這一點體現在高考上就是一些新背景題、開放題的出現，更加注重了能力的考查．由于開放題的特征是題目的條件不充分，或沒有確定的結論，而新背景題的背景新穎，給學生在題意的理解和解題方法的選擇上制造了不少的麻煩，導致失分率較高．因此，在高中數學教學中適當進行開放題和新型題的訓練，拓寬學生的知識面是提高學生分析和解決問題能力必要的補充．

2．4 重視解題的回顧

在數學解題過程中，解決問題以后，再回過頭來對自己的解題活動加以回顧與探討、分析與研究，是非常必要的一個環(huán)節(jié)．這是數學解題過程的最后階段，也是對提高學生分析和解決問題能力最有意義的階段．

解題教學的目的并不單純?yōu)榱饲蟮脝栴}的結果，真正的目的是為了提高學生分析和解決問題的能力，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造精神，而這一教學目的恰恰需通過回顧解題的教學來實現．

因此，在數學教學中要重視解題的回顧，與學生一起對解題的結果和解法進行細致的分析，對解題的主要思想、關鍵因素和同一類型問題的解法進行概括，幫助學生從解題中總結出數學的基本思想和方法并加以掌握，將其用到新的問題中去，成為以后分析和解決問題的有力武器．