安 迪，高媛媛，姜鳳怡

（1．吉林大學 電子科學與工程學院，吉林 長春130012；2．東北師范大學 物理學院，吉林 長春130024）

1 引 言

混沌控制是混沌領(lǐng)域的熱點課題之一［1－3］．控制混沌的方法有很多，但大體上分為反饋控制和非反饋控制兩大類．反饋控制方法的基本思想是：將系統(tǒng)輸出信號直接或通過某種組合或變換后送給系統(tǒng)本身，利用反饋信號的調(diào)制或控制作用使得系統(tǒng)的運動狀態(tài)從混沌態(tài)轉(zhuǎn)變成周期態(tài)或不動點，如延遲反饋控制法、線性反饋控制法、凹槽濾波反饋控制法等．

越來越多的院校已將混沌理論與實驗引入到大學物理教學中［4－7］．本文基于反饋控制機理，提出利用低通濾波器控制混沌的方法，即將混沌系統(tǒng)的輸出信號經(jīng)過低通濾波后回送給系統(tǒng)，利用低通濾波器的相移特性，適當調(diào)節(jié)電路元件參數(shù)，可達到控制混沌的目的．該方法電路實現(xiàn)簡單，實驗現(xiàn)象豐富，便于在教學中演示．

2 混沌控制電路的設(shè)計

本文采用如下混沌系統(tǒng)［8］：

當a1＝0．3，a2＝0．02，a3＝4．0，a4＝1．0時，系統(tǒng)有1個大于零的Lyapunov指數(shù)存在，此時系統(tǒng)是混沌的．

根據(jù)式（1）設(shè)計的混沌電路見圖1．集成運放分別構(gòu)成積分、加法和比例運算電路，乘法器實現(xiàn)非線性函數(shù)的功能，為滿足式（1）中各參量的要求，選取R＝10 kΩ，R1＝33 kΩ，R2＝500 kΩ，R3＝0．25 kΩ，V1＝1 V，C＝22 nF．

由示波器觀測到實驗結(jié)果如圖2所示，圖2（a）反映系統(tǒng)運動軌跡在其相空間投影到u1（橫軸）～u2（縱軸）平面上所呈現(xiàn)的纏繞和折疊的幾何圖形，即混沌吸引子，而圖2（b）則反映系統(tǒng)運動隨時間變化的不規(guī)則性．

實現(xiàn)控制的電路如圖3所示，其中A6和A7構(gòu)成2級級聯(lián)的低通濾波器，A8構(gòu)成減法器．選取混沌電路中的變量u1作為濾波器的輸入信號，經(jīng)過低通濾波后從運放A7輸出，得到的輸出信號uO7與u1相減，通過電阻Rw回送給圖1電路中的N點，即將控制信號送入式（1）中的第一個方程的右端，此時控制信號可描述為

圖1 混沌電路

圖2 混沌電路的實驗結(jié)果

圖3 控制電路

3 實驗控制的結(jié)果

實驗中，調(diào)節(jié)電阻Rw由大到小變化，即相當于k由小到大變化，可以觀察到被控混沌電路逐漸由混沌態(tài)變?yōu)?周期（3P）窗口、4周期（4P）、2周期（2P）、1周期（1P）等倍周期現(xiàn)象．圖4（a）～（d）分別為當Rw＝40．2，23．5，20．0，15．5 kΩ時被控電路的實驗結(jié)果，顯然電路分別被控到3P，4P，2P，1P．

圖5（a）和圖5（b）分別為電路被控制到3P和4P時的時域圖，進一步驗證電路被控制到周期的結(jié)果．

圖4 電路被控制到周期的相圖（橫軸為u1，縱軸為u2）

4 結(jié)束語

以三維自治混沌系統(tǒng)為例研究了利用低通濾波器實現(xiàn)混沌控制的方法，適當調(diào)節(jié)電路元件參量，可以有效地將混沌電路控制到不同的周期態(tài)．本文提出的控制方法進一步拓寬了低通濾波器的應用范圍．該方法不僅可以控制自治混沌系統(tǒng)，還可以用于控制更高維的超混沌系統(tǒng)．

［1］ Pyragas K．Predictable chaos in slightly perturbed unpredictable chaotic systems ［J］．Phys．Letts．A，1993，181（3）：203－210．

［2］ Ahlborn A，Parlitz U．Chaos control using notch filter feedback［J］．Phys．Rev．Lett．，2006，96：4102－4105．

［3］ Pyragas V，Pyragas K．Delayed feedback control of the Lorenz system：An analytical treatment at a subcritical Hopf bifurcation ［J］．Phys．Rev．E，2006，73（3）：036215－10．

［4］ 李蓉，原如領(lǐng)，汪華英，等．以科研帶教學建設(shè)“非線性系統(tǒng)實驗”課程［J］．物理實驗，2002，22（2）：26－28．

［5］ 孫萍，熊俊，曹慧賢，等．扭擺振動實驗［J］．物理實驗，2006，26（12）：3－7．

［6］ 蔣達婭，王世紅，肖井華．混沌專題系列研究型實驗介紹［J］．物理實驗，2007，27（1）：17－19．

［7］ 路峻嶺，王延吉，王長江，等．滾球混沌運動演示實驗［J］．物理實驗，2007，27（12）：35－38．

［8］ 趙靈冬，陳菊芳，彭建華．變量延遲反饋法控制連續(xù)混沌系統(tǒng)的仿真實驗［J］．東北師大學報，2004，36（3）：36－41．