葉 軍，徐 平，，陳子瑜，Ptrice Bottineu

（北京航空航天大學a．物理科學與核能工程學院；b．中法工程師學院，北京100191）

1 引 言

動態(tài)法測量良導體熱導率時，一般采用單端周期加熱法，通過檢測熱波從加熱端到恒溫端的傳播速度，得到被測材料的熱導率．目前大學物理實驗中常用的動態(tài)測量方法中，為了避免因熱耗散而引起的誤差，普遍采用在良導體外側(cè)包裹隔熱材料，要獲得高精度的實驗結(jié)果，需要較為復雜的實驗裝置［1］，同時也忽略了高次諧波對實驗結(jié)果的影響［2］．本文介紹的實驗方法可以簡化實驗裝置，同時有效地消除諧波引起的系統(tǒng)誤差，提高了實驗精度．

2 實驗原理

一維半無限長的隔離均勻圓棒的熱傳導方程可以表述為［3］

式中u（x，t）表示圓棒的溫度，D＝κ／cρ，c為圓棒的比熱，ρ為其密度，κ為熱導率．但由于在實際條件下，很難做到圓棒的熱學隔離，因此必須考慮對流和輻射的影響，式（1）需要進行修正．

首先討論對流的影響：熱對流遵循牛頓冷卻定律［4］，即式中u0為環(huán)境溫度，u為熱源溫度，A為熱源表面積，h是與傳熱方式等有關(guān)的常量，一般空氣對流h為［5］2～25 W／（m2·K）．此處給出了單位時間內(nèi)由于溫度的差異而傳播的熱量．圓棒在d x長度內(nèi)損失的熱量為

式中P為圓棒的周長．此時方程（1）可以改寫為［6－7］

式（5）中q和q′是與ν和D 有關(guān)的常量，ε是熱端溫度變化簡諧波的初始相位．

由于實驗時采用周期性熱源進行加熱，因此可以將周期性熱量分解為一系列傅里葉級數(shù)的疊加，溫度變化為［6］

其中

式（6）中An與εn分別是周期性熱源進行傅里葉展開以后，各個簡諧波的幅度值和初始相位．式（7）與式（8）中同時取ν＝0，則可得不存在耗散時的計算公式［1］．

由式（6）可知，求出某一位置處溫度的一個傅里葉級數(shù)的振幅或相位，與該傅里葉級數(shù)在另一位置的振幅或相位相比較即可求出熱導率．

對于本實驗所采集到的周期信號，由于數(shù)據(jù)是離散的，因此可以利用傅里葉變換來求得所需要的振幅譜和相位譜．

對于熱輻射，滿足［4］：

其中u為物體表面的熱力學溫度，u0為環(huán)境溫度，玻爾茲曼常量σ＝5．67×10－8W／（m2·K4），ε描述實際物體與黑體發(fā)射熱輻射能力的差別．由于熱輻射在圓棒溫度和環(huán)境溫度差別不大時，其對實驗的影響有限，此處予以忽略．在結(jié)果分析中將對熱輻射強度做進一步討論．

3 實驗裝置及測量方法

圖1是實驗裝置的原理圖．該裝置由待測樣品（銅棒）、熱源和信號采集及處理部分組成．為了實現(xiàn)存在熱耗散時的測量，其主要部件是1根長50 cm的裸露的待測銅棒，并布有熱敏電阻陣列，用于采集銅棒的溫度變化．因為熱量沿著銅棒表面的耗散是微小量，可以假設(shè)熱量在銅棒中是沿著軸向傳播，在任意垂直于軸向的截面上的溫度是近似相同的，因此只需確定銅棒軸線上各點溫度的變化情況，就可以確定整個銅棒的溫度變化情況．在銅棒長度足夠長的條件下，可以認為銅棒的非加熱端溫度保持恒定，可以當作半無限長的系統(tǒng)來處理．

圖1 實驗裝置原理圖

測量是在各溫度傳感器具有穩(wěn)定波形條件下進行的，因此首先需要對系統(tǒng)進行充分預熱．再對實驗采集到的數(shù)據(jù)采用快速傅里葉變換方法，以求出不同位置溫度的振幅譜和相位譜．

4 結(jié)果分析

圖2是實驗過程中所采集到的各位置溫度變化的情況．從圖2中可觀察到熱波在傳導過程中幅度不斷地衰減，且諧波衰減速度比基波快，因此波形也在不斷地變化，離熱源越遠處，諧波衰減得越多，波形更接近于正弦波．由此可以判斷出在銅棒上離熱源足夠遠的位置，諧波分量衰減殆盡，只剩下基波，可用傳統(tǒng)的方法進行數(shù)據(jù)處理；但是由于諧波衰減至可以忽略的位置離熱源比較遠，這些位置的溫度變化也非常小，因而對溫度測量精度的影響會導致實驗結(jié)果有很大的誤差．

圖2 銅棒各點溫度變化曲線

圖3 第一個熱敏電阻溫度信號的幅度譜和相位譜

對溫度變化曲線進行傅里葉變換，可以得到幅度和相位譜．第一個熱敏電阻的幅度譜和相位譜如圖3所示，可以清晰觀察到熱波的各個諧波，因此可以利用各個諧波的溫度變化情況，對熱導率進行研究，并且實驗精度不會因為環(huán)境溫度緩慢改變而改變，降低了對整個實驗條件的要求，可以大大簡化實驗裝置．

表1分別列出了6個熱敏電阻在頻率為5，10，15 m Hz處的振幅和相位．利用表1中各個熱敏電阻熱波在5 m Hz時的諧波得到的振幅變化曲線和不存在耗散時的理論值相比較，可得圖4．從圖4中可以看到實測曲線略低于理論曲線，說明熱波在傳播過程中其熱量會沿著銅棒表面不斷流失，并且會導致實際測量得到的熱導率變小，同理分析相位亦可得相似的結(jié)論，因此引進式（9）的計算方法，可明顯減少由于熱損耗而引起的誤差．

表1 測得銅棒各點在不同頻率諧波下熱波振幅和相位值

圖4 各熱敏電阻熱波在5 m Hz諧波處振幅的實測值和理論值

由式（6）和式（9）可以看出，利用表1中的數(shù)據(jù)可以求得qn與qn′，從而計算出D，計算結(jié)果如表2所示，ˉD＝0．000 115 1 m2／s，從而計算出熱導率κ＝394 W／（m·K）．純銅在20℃時，熱導率κ的理論值為391 W／（m·K）［8］，則相對偏差η＝0．9%．

表2 銅棒各點在不同頻率諧波下qn，qn′與D值

討論輻射的影響．從表1可知，第一個熱敏電阻在平衡位置的溫度變化小于3℃，實驗所用圓棒材質(zhì)為紫銅，其高度拋光的發(fā)射率為0．03～0．04［5］，以環(huán)境溫度為25 ℃，溫度變化3 ℃，發(fā)射率0．04為例，利用式（10）可以計算出：

而對流的影響也可以由式（2）計算得到，取h＝2，則有：

由式（9）可知，本實驗中僅存在熱對流時，不影響實驗結(jié)果，而單獨比較式（7）和式（8）中的參量ν可知，熱對流對本實驗結(jié)果的影響極其微小，在一定精度范圍內(nèi)可以忽略不計，且由式（11）和式（12）的結(jié)果可知，熱輻射的影響僅是熱對流的1／8，因此熱輻射的影響也可以忽略．

5 結(jié)束語

由上述分析可知，該實驗方法可以有效地提高存在熱耗散時的測量精度，其原理清晰，計算方便，并且可以加深對熱波傳導過程的認識，同時由于方法本身的特性，簡化了整套實驗裝置的結(jié)構(gòu)，并且測得的實驗結(jié)果具有較高的精度，適合在大學物理實驗中應(yīng)用．

［1］ 周慧君，江洪建，胡立群，等．熱波理論的應(yīng)用——良導熱體熱導率的動態(tài)法測量［J］．大學物理，2005，24（6）：47－49．

［2］ 楊帆，呂庶白，于瑤，等．熱波法測良導體熱導率實驗中高頻熱波影響的分析與消除［J］．大學物理，2006，25（7）：50－52．

［3］ Sullivan M C，Thompson B G，Williamson A P．An experiment on the dynamics of thermal diffusion［J］．Am．J．Phys．，2008，76（7）：637－642．

［4］ 秦允豪．普通物理學教程·熱學［M］．北京：高等教育出版社，2004：124，128．

［5］ 趙鎮(zhèn)南．傳熱學［M］．北京：高等教育出版社，2002：13，507．

［6］ Carslaw H S，Jaeger J C．Conduction of heat in solids［M］．2nd edition．Oxford：Oxford University Press，1969：137－140．

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［8］ 黃伯云，李成功，石力開，等．中國材料工程大典（第4卷）·有色金屬材料工程（上）［M］．北京：化學工業(yè)出版社，2005：219．