楊巧君,汪 琴,章 玲,張淵嫻,周燦燦,馬新生
(浙江外國語學(xué)院理工學(xué)院,浙江杭州310012)
等候服務(wù)的顧客數(shù)(即排隊(duì)長)及系統(tǒng)中的顧客數(shù)(即隊(duì)長)是排隊(duì)論中衡量系統(tǒng)優(yōu)劣的二項(xiàng)重要指標(biāo).目前,求解排隊(duì)系統(tǒng)隊(duì)長、排隊(duì)長的方法主要是針對顧客到達(dá)數(shù)的分布均服從Poisson分布的情形[1]44[2-5],求解M/G/c系統(tǒng)的隊(duì)長、排隊(duì)長的方法有隨機(jī)模擬法、正態(tài)分布近似法和非參數(shù)統(tǒng)計方法[6,7],但這些方法主要適用于求解隊(duì)長、排隊(duì)長的點(diǎn)估計,而不能很好的計算其置信區(qū)間.
統(tǒng)計學(xué)家Efron教授在1979年提出了一種基于計算機(jī)技術(shù)的Bootstrap重抽樣方法[8].該方法是一種非參數(shù)統(tǒng)計方法,它的顯著特點(diǎn)是不必對未知分布做任何假設(shè),而是通過計算機(jī)對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行再抽樣來模擬未知分布,然后對未知參數(shù)進(jìn)行估計.由于計算機(jī)性能和軟件技術(shù)的日益提高,Bootstrap方法已成為應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)中非常常用和有效的非參數(shù)估計方法之一,而參數(shù)的區(qū)間估計又是Bootstrap方法的最經(jīng)典的應(yīng)用[8,9][10]81.基于此,Chu和Ke[11]于2006年首次利用Bootstrap原理,從非參數(shù)估計的角度討論了M/G/1系統(tǒng)顧客逗留時間的Bootstrap區(qū)間估計,隨后,Ke,Ko和Sheu[12]于2008年討論了可控M/G/1系統(tǒng)忙期的Bootstrap區(qū)間估計,并以置信區(qū)間長度的標(biāo)準(zhǔn),比較了不同區(qū)間估計的優(yōu)劣.為此,本文將利用Bootstrap理論,并在我們研究團(tuán)隊(duì)前期研究成果[6,7]的基礎(chǔ)上,給出一種求解M/G/c系統(tǒng)的隊(duì)長、排隊(duì)長區(qū)間估計的方法.
隊(duì)長,指系統(tǒng)中的顧客數(shù),它的期望值記作Ls,排隊(duì)長(隊(duì)列長),指系統(tǒng)中排隊(duì)等候服務(wù)的顧客數(shù),它的期望值記作Lq,它們滿足關(guān)系
一般情形Ls(或Lq)越大,說明服務(wù)率越低,排隊(duì)成龍,是顧客最討厭的.
M/G/c//排隊(duì)系統(tǒng)[1]2是這樣一類排隊(duì)系統(tǒng):顧客流為Poisson流,有c個并列的服務(wù)臺(c≥2),每個服務(wù)臺對一個顧客的服務(wù)時間相互獨(dú)立且均服從一般分布,服務(wù)時間與到達(dá)時間相互獨(dú)立,顧客源和系統(tǒng)容量是無限的,先到先服務(wù).
ls1,ls2,…,lsn的矩估計作為顧客數(shù)ls的點(diǎn)估計,即
依據(jù)大樣本理論和中心極限定理,我們知道不論排隊(duì)長和隊(duì)長服從何種分無偏、一致和漸進(jìn)正態(tài)估計[10]93.
目前,尚未有對M/G/c//系統(tǒng)指標(biāo)作區(qū)間估計的文獻(xiàn)報道.為此,本文提出了一種基于觀測數(shù)據(jù)和Bootstrap重抽樣技術(shù)的隊(duì)長和排隊(duì)長的區(qū)間估計方法.
注1:從非參數(shù)統(tǒng)計的觀點(diǎn)看,Fn是F的非參數(shù)極大似然估計,它為一離散分布,X*~的可能
注2:若已知F為一連續(xù)分布,為了適當(dāng)考慮F的連續(xù)性,可作
,i=1,2,
注4:在再抽樣時,Bootstrap子樣X*的容量可以不為n.
Efron[8],Efron和Tibshirani[9],以及沃塞曼[10]83給出了3種構(gòu)建Bootstrap置信區(qū)間的方法,介紹如下.記α為顯著性水平.
方法1 正態(tài)區(qū)間法
最簡單的方法是正態(tài)置信區(qū)間
方法2 樞軸量法置信區(qū)間
于是得到
因此,1-α的Bootstrap樞軸置信區(qū)間為
可以證明[10]84,當(dāng)滿足一定條件時有,
其中,Cn由(4)給出.
方法3 百分位區(qū)間法
Bootstrap百分位數(shù)區(qū)間定義為
文獻(xiàn)[13]給出了一個某醫(yī)院眼科門診的實(shí)際M/G/c//排隊(duì)系統(tǒng),并給出了每天進(jìn)入系統(tǒng)和離開系統(tǒng)的各類病人的詳細(xì)數(shù)據(jù).該醫(yī)院眼科門診每天開放,住院部共有病床79張,手術(shù)主要分為:白內(nèi)障、視網(wǎng)膜疾病、青光眼和急診(外傷).該住院部非急診病人按照FCFS(First come,First serve)規(guī)則安排住院.我們以該排隊(duì)問題中的隊(duì)長和排隊(duì)長的計算為例,來檢驗(yàn)我們以上給出的置信區(qū)間的合理性.
首先,利用[13]中提供的實(shí)際數(shù)據(jù),可得每天系統(tǒng)中的排隊(duì)長、隊(duì)長,如圖1所示.
圖1 排隊(duì)系統(tǒng)中的排隊(duì)長、隊(duì)長
觀察圖1可知,該醫(yī)院眼科門診服務(wù)系統(tǒng)的排隊(duì)長在10天后(即從7月22日開始)進(jìn)入穩(wěn)態(tài),隊(duì)長在20天后(即從8月3日開始)進(jìn)入穩(wěn)態(tài).因?yàn)槲覀兛紤]的是穩(wěn)態(tài)后的系統(tǒng)狀態(tài),故以下的計算中只采用穩(wěn)態(tài)后的數(shù)據(jù).
利用矩估計計算公式(1)和(2),可估計得穩(wěn)態(tài)后隊(duì)長為168.3902人,排隊(duì)長為89.2941人.
采用本文第3部分給出的區(qū)間估計方法,利用Matlab軟件進(jìn)行計算,在95%、90%、85%和75%四種置信度下,分別計算得到隊(duì)長、排隊(duì)長的三種置信區(qū)間.計算中,隊(duì)長和排隊(duì)長的實(shí)際樣本數(shù)分別為n1=41,n2=51,重抽樣的樣本數(shù)B仿文獻(xiàn)[11]和[12]中的方法,取為B=1000.實(shí)際計算過程中,我們發(fā)現(xiàn),由于重抽樣的隨機(jī)性,每次運(yùn)行得到的結(jié)果是不同的.為此,我們采用隨機(jī)模擬的思想,對重抽樣過程再重復(fù)計算N=1000次,取N次結(jié)果的平均值,作為置信區(qū)間的估計值.結(jié)果分別如表1和表2所示.
表1 全部非急診病人隊(duì)長的置信區(qū)間
表2 全部非急診病人排隊(duì)長的置信區(qū)間
利用表1和表2的結(jié)果,可得不同求解方法和不同置信水平下,隊(duì)長、排隊(duì)長的置信區(qū)間長度的變化情況,如圖2所示.
圖2 隊(duì)長、排隊(duì)長置信區(qū)間的長度變化
由以上排隊(duì)系統(tǒng)中排隊(duì)長、隊(duì)長的點(diǎn)估計和區(qū)間估計的結(jié)果可知:
(1)在95%、90%、85%和75%不同的置信度下,三種bootstrap區(qū)間估計的置信區(qū)間均包含了點(diǎn)估計所得的結(jié)果(進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后排隊(duì)長的平均值為89人,隊(duì)長的平均值為168人).
(2)在不同的置信水平下,每一種方法所得的置信區(qū)間是不相同的,且置信區(qū)間長度隨著置信度的降低而減小.
(3)置信度為95%時,隊(duì)長和排隊(duì)長的置信區(qū)間長度分別為4.8416和3.5805,都顯著小于數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差7.9934和6.5888,說明本文給出的方法是有效的.
(4)根據(jù)區(qū)間估計理論,置信區(qū)間的長度越短,區(qū)間估計的效果越好[10].以置信區(qū)間的長度為評價標(biāo)準(zhǔn),本文計算結(jié)果表明,正態(tài)區(qū)間法與百分位法相當(dāng),略優(yōu)于樞軸量法.
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