魏徳敏，文星宇

(1.華南理工大學 土木工程系，廣州 510640;2.華南理工大學 亞熱帶建筑科學國家重點實驗室，廣州 510640)

基于混合PSO算法的桁架動力響應優(yōu)化

魏徳敏1，2，文星宇1

(1.華南理工大學 土木工程系，廣州 510640;2.華南理工大學 亞熱帶建筑科學國家重點實驗室，廣州 510640)

針對以結構動力響應為約束，最小重量為目標的桁架拓撲優(yōu)化問題，提出了一種將微粒群算法和優(yōu)化準則法結合的混合PSO算法。利用優(yōu)化準則法的迭代關系找出群體中適應度最好的微粒，將其作為特殊微粒，其他微粒的尋優(yōu)采用PSO的基本進化規(guī)則，位移響應約束利用特殊微粒的靈敏度信息近似計算。算例的計算結果表明，混合PSO算法適用于受簡諧荷載以及脈沖荷載作用桁架結構的拓撲優(yōu)化?；旌螾SO的計算效率比PSO算法高，其優(yōu)化效果比優(yōu)化準則法好。

混合PSO;動力響應優(yōu)化;拓撲優(yōu)化;位移響應約束

結構優(yōu)化研究包含有靜力優(yōu)化、動力特性優(yōu)化以及動力響應優(yōu)化等。由于動力響應優(yōu)化同時涉及到結構動力響應分析和優(yōu)化設計，因此求解更為復雜，目前已有的研究成果相對也較少。潘晉［1］采用自適應遺傳算法求解了脈沖激勵下的桁架結構拓撲優(yōu)化問題。Rong［2］提出了適合動力拓撲優(yōu)化問題的 ESO方法。Ma等［3］采用改進優(yōu)化準則法求解連續(xù)結構動力拓撲優(yōu)化問題。Choi等［4］提出了一種新型擬靜力方法，將動力優(yōu)化問題轉換為多工況靜力優(yōu)化問題，可以彌補傳統(tǒng)擬靜力法的不足，但計算量較大。

本文針對動力位移響應約束下的桁架結構拓撲優(yōu)化問題，提出了一種將微粒群算法(PSO)和優(yōu)化準則法相結合的混合算法。這種混合算法用優(yōu)化準則法的迭代關系找出群體中適應度最好的微粒作為特殊微粒，其他微粒的尋優(yōu)采用PSO的基本進化規(guī)則，然后利用特殊微粒的靈敏度信息近似計算自身的位移響應約束。通過算例分析發(fā)現(xiàn)，該方法能夠利用動力響應靈敏度信息，大幅提高PSO的尋優(yōu)效率，概念簡單，易于實現(xiàn)。適用于受脈沖荷載作用的桁架結構優(yōu)化分析。

1 動力響應優(yōu)化問題的數(shù)學模型

典型桁架結構優(yōu)化問題是在滿足動力響應約束的情況下求解最輕重量，其數(shù)學模型為:

式中，n為桿件數(shù)，m為所考慮的約束個數(shù)，Lj和xj分別為桿件j的長度與橫截面積，xd和xu為桿件橫截面積的下限和上限，gi為第i個動力響應約束，一般為時間和設計變量的復合隱式函數(shù)。本文將結構關鍵部位的位移幅值作為約束，即:

式中，zi為第i個控制部位上任意時刻的位移值為位移限值。為了便于計算該約束的靈敏度信息，通常將其轉變?yōu)橐粋€時間段上的積分型約束:

不難看出，若式(3)滿足，式(2)自然滿足，反之亦然。但需要強調的是，式(2)和式(3)這兩種約束形式并不存在嚴格意義上的等效關系［5］。由于積分型位移響應約束不依賴一個具體的時間，故便于計算靈敏度信息。

2 優(yōu)化方法

2.1 PSO算法

PSO是一種新型智能搜索優(yōu)化算法，能夠利用群體智能性來求解復雜的優(yōu)化問題，適用于結構靜力與動力特性優(yōu)化問題［6，7］。

PSO中的微粒對應于搜索空間中的點，假設搜索空間的維數(shù)為n，種群的規(guī)模為M，第r個微粒的位置xr和速度vr可表示為:

式中，pr和pg分別表示第r個微粒個體歷經的最優(yōu)位置和所在群體歷經的最優(yōu)位置，系數(shù)ω為慣性權重，c1和c2為加速常數(shù)，b1和b2為在0和1之間均勻分布的隨機數(shù)。若限制微粒的最大速度，則有:

微粒的優(yōu)劣程度可由以下適應度函數(shù)判斷:

式中，Wr為微粒r的目標函數(shù)，gri為微粒r的第i個約束值，α為罰因子。

2.2 優(yōu)化準則法

在優(yōu)化準則法中，一般只需進行簡單的迭代求解，因此計算效率較高。本文將文獻［3］和文獻［8］中的設計變量迭代列式加以改進，使其適用于任意多個約束的動力響應優(yōu)化問題。其形式為:

式中，W為目標函數(shù)，Gi為第i個約束和分別為桿

件橫截面積變量的運動上限和下限。參數(shù)λi為第i個約束對應的拉格朗日乘子。參數(shù)η一般取為0.1～0.5，η取較大的值可加快尋優(yōu)速度，但在迭代后期會引起目標函數(shù)值的震蕩，而η取值較小計算平穩(wěn)，但迭代次數(shù)較多。

估算拉格朗日乘子λi是優(yōu)化準則法中的關鍵步驟，本文經過計算分析發(fā)現(xiàn)，對式(3)所示積分型位移約束，可使用一種簡單的估算公式，以下給出具體實施方法。

首先對積分型約束進行一定程度的放松處理，將約束gi的形式變?yōu)?

需要注意的是，若滿足式(2)或式(13)，則式(14)自然滿足，但式(14)成立并不能保證式(2)或式(13)也嚴格成立，所以放松型積分約束可能使位移響應超出限值，需要通過調節(jié)參數(shù)ξ控制誤差。

重量最輕優(yōu)化問題的拉格朗日乘子估算式即為:

式(10)和式(16)中積分型約束的靈敏度可用伴隨變量法計算，具體求解過程詳見參考文獻［5］。

2.3 混合PSO算法

基本PSO沒有利用靈敏度信息，而需是進行大量的結構動力分析，故效率較低。而優(yōu)化準則法對于復雜約束的情況，難以得到全局最優(yōu)解?？紤]到兩種優(yōu)化方法都是執(zhí)行單一迭代格式，因此本文將它們結合成一種混合算法，從而彌補了原方法各自的缺陷。

混合PSO的基本思想是將式(9)看成微粒的另一種進化規(guī)則，由于它屬于敏度類算法，其尋優(yōu)效率較高，因此只需個別微粒采用這種新進化規(guī)則，即可提高整個群體的尋優(yōu)效率。另外，利用特殊微粒的靈敏度信息，近似計算其他微粒的動力響應［9］，也可有效減少計算量。

若特殊微粒為xs，其動力響應約束為Gs，則其他微粒的動力響應約束采用線性近似計算，即:

線性近似的精度和微粒間距xr-xs有關，為確保誤差可控，Δx的取值不宜過大。一般前期微粒之間的差異較明顯，可采用較松的運動極限，后期微粒逐漸趨于一致，則必須收緊運動極限。

混合PSO算法的具體實施步驟如下:

① 隨機生成特殊微粒 xs，并計算運動極限和。

③ 計算特殊微粒的動力響應約束、靈敏度以及適應度，特殊微粒按式(9)運行①步。

④ 其余微粒按式(6)運行p步，用式(17)估算位移響應約束，并計算適應度。

⑤ 選擇適應度最好的微粒作為新的特殊微粒，并更新相應的運動極限和。

⑦ 檢查是否滿足停止條件，若不滿足則返回到步驟③。

上述所有微粒的適應度按下式計算:

步驟⑦中停止條件有多種選擇，可由特殊微粒的最大迭代次數(shù)決定，也可由目標函數(shù)停止更新的循環(huán)次數(shù)決定。與基本PSO算法相比，混合PSO算法的微粒規(guī)模M以及運行次數(shù)p可取為較小的值。

不難看出，混合PSO采用了放松型積分約束，因此并不嚴格滿足約束條件，而且近似動力響應分析有可能使位移響應超限，需要通過收緊運動極限加以改善。另外，由于混合PSO不是在整個設計域中搜索，且受靈敏度信息的影響，故找到全局最優(yōu)解的幾率可能比基本PSO要小。然而，若有全部特殊微粒的動力響應和靈敏度記錄，就能擴大適合近似分析的區(qū)域，提高全局搜索能力。

3 算例分析

本文算例均以動力位移響應為約束，以結構最小重量為優(yōu)化目標，用基本PSO、優(yōu)化準則法以及混合PSO分別進行結構拓撲優(yōu)化設計，然后對三種算法的計算結果和耗時情況進行對比分析。

3.1 簡諧荷載作用下十二桿桁架優(yōu)化

十二桿平面桁架如圖1所示。所有桿件的初始截面隨機取值，材料密度ρ=2 715.07 kg/m3，彈性模量E=6.9 ×106N/cm2，結構各階模態(tài)阻尼比 ξ=0.03?？紤]兩個靜荷載工況，工況Ⅰ:P2y=-4.45×105N;工況Ⅱ:P4y=-4.45×105N;在兩種工況下，結點2作用豎向簡諧動載F=-40cos(50 t)kN。桿件允許應力［σ］=17 243.5 N/cm2。位移約束為結點2，4在y方向上的位移不超過5.08 cm。

圖1 平面十二桿桁架Fig.1 12-bar plane truss

選取優(yōu)化準則法的參數(shù)為:η=0.2，Δx由5線性減小到3，迭代次數(shù)為100?；綪SO中的參數(shù)為:群體規(guī)模為30，進化次數(shù)為200，加速常數(shù)c1=c2=2.0，ω采用線性下降方案，初始 ωmax=1.1，下限 ωmin=0.3，微粒速度上限vmax=5，適應度函數(shù)中罰因子α=105?；旌螾SO法中參數(shù)為:η=0.2，Δx由5線性減小到1;群體規(guī)模為30，特殊微粒最大迭代100次，普通微粒在一次循環(huán)中運行次數(shù)p=40;加速常數(shù)c1=c2=1.2，ω=0.5。三種算法的結構動力分析均采用Newmark法，積分步長為結構最小周期的十分之一，分析時長為一個基本周期。

優(yōu)化后的桁架拓撲構形如圖2所示。優(yōu)化后的桿件截面積以及其他結果見表1和表2。

由表1和表2可知，即使存在多工況和復雜的靜動力約束，三種優(yōu)化算法都有較好的效果，但計算結果有一定的差異。準則法的優(yōu)化效果比其他兩種方法差一些，原因可能是多約束情況下拉格朗日乘子估算精度不夠;PSO的優(yōu)化解較理想，，并且嚴格滿足所有的約束條件。綜合比較后，可知混合PSO的優(yōu)化解是最好的，得到的結構重量最輕，只是位移約束稍有超限。

圖2 十二桿桁架最優(yōu)拓撲Fig.2 Optimum topology of the 12-bar plane truss

表1 優(yōu)化后的桿件橫截面積(單位:cm2)Tab.1 Cross－sectional areas of Optimized bars(Unit:cm2)

表2 三種算法的優(yōu)化結果對比Tab.2 Comparison of the three optimization results

雖然三種優(yōu)化算法所得最優(yōu)截面積并不相同，最優(yōu)拓撲構形也不完全一致，但這都是比較正常的現(xiàn)象。

因為簡諧荷載作用的結構動力響應優(yōu)化問題是典型的設計域分離問題，三種優(yōu)化算法都只能獲得局部最優(yōu)解。

3.2 脈沖荷載作用下二十桿桁架優(yōu)化

該平面桁架的基結構如圖3所示，桿件橫截面分組情況見表3。桿件初始橫截面積隨機取值，桿件的彈性模量、密度以及模態(tài)阻尼比與上例相同。在桁架節(jié)點6作用一豎向矩形脈沖荷載P=4.45×105N，荷載作用時間為0.008 s。規(guī)定節(jié)點6的豎向振幅不超過4 cm。結構動力分析采用Newmark法，積分步長為結構最小周期的十分之一，分析時長為一個基本周期。

PSO算法的參數(shù)選取為:群體規(guī)模M=30，進化次數(shù)N=400，加速常數(shù)c1=c2=2.0，慣性權重ω采用線性下降方案，初始 ωmax=1.1，下限 ωmin=0.3，微粒速度上限vmax=5，罰因子α=105。優(yōu)化計算10次，取其最好的結果。

優(yōu)化準則法的參數(shù)選取為:η =0.1，ξ=0.1，T=0.2，迭代最大次數(shù)為 100。

混合PSO的參數(shù)選取為:群體規(guī)模M=20，每一次循環(huán)微粒運行次數(shù)p=40，加速常數(shù)c1=c2=1.8，ω≡0.5，速度上限 vmax=3。式(17)中 Δx初始時取5，再線性變化到1。其余參數(shù) η =0.1，ξ=0.1，T=0.2，特殊微粒最大迭代次數(shù)為80。優(yōu)化計算10次，取其最好的結果。

桁架最優(yōu)拓撲如圖4所示，三種算法的優(yōu)化過程如圖5所示，優(yōu)化前后的桿件截面積以及結構特性的比較見表3和表4。

表3 優(yōu)化后的桿件橫截面積(單位:cm2)Tab.3 Cross－sectional areas of Optimized bars(Unit:cm2)

圖5 結構重量優(yōu)化過程Fig.5 Optimization process for the structural weight

表4 三種算法的優(yōu)化結果對比Tab.4 Comparison of the three optimization results

通過計算分析可知，以上三種優(yōu)化算法都可以得到桁架的最優(yōu)拓撲構型，但它們的結果有一定的差異。由表4可以看出，基本PSO的優(yōu)化效果最好，能夠嚴格滿足動力位移約束，但計算耗時遠遠超過其他兩種方法，因此不便于實際工程應用。優(yōu)化準則法計算效率最高，但未得到最優(yōu)解，且動力位移約束不能嚴格滿足?；旌螾SO的優(yōu)化效果好于優(yōu)化準則法，計算耗時遠少于基本PSO算法。

綜上所述，本文提出的混合PSO保留了基本PSO算法和優(yōu)化準則法二者的優(yōu)點，優(yōu)化過程較為簡單高效，比較適用于計算規(guī)模較大的結構優(yōu)化問題。關于混合PSO算法還有一些需要進一步研究的問題，譬如其他精度更高、計算量不大的近似分析方法，針對積分型位移響應約束提出的拉格朗日乘子簡單估算式(16)的改進，目標函數(shù)值的穩(wěn)定收斂性，參數(shù)的合理選擇及其對算法性能的影響等。

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Dynamic response optimization for a truss structure based on hybrid PSO algorithm

WEI De-min1，2，WEN Xing-yu1

(1.Department of Civil Engineering，South China University of Technology，Guangzhou 510640，China;2.State Key Laboratory of Subtropical Building Science，South China University of Technology，Guangzhou 510640，China)

A hybrid algorithm was proposed for dynamic topology optimization of a truss structure.In optimization analyses the dynamic displacement responses of nodes were constrainted and the minimum weight of the truss structure was taken as the objective function.A particle having the best fitness from a swarm was chosen as the special particle，and it moved by means of iteration expressions in the optimality criterion method.The other particles complied with the evolution rules of PSO algorithm，and their displacement constraints were approximately calculated by using the dynamic sensitivity of the special particle.The optimization results of an example showed that the hybrid PSO algorithm is suitable for the topology optimization of the truss structure under the harmonic load and impulsive load;the optimization efficiency of hybrid PSO algorithm is higher than PSO algorithm，and the optimization precision of hybrid PSO algorithm is better than that of the optimality criterion method.

hybrid PSO algorithm; dynamic response optimization; topology optimization; displacement response constraint

O189

A

2009-09-21 修改稿收到日期:2010-03-23

魏徳敏 女，博士，教授，1955年生