姜付錦

(武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué) 湖北 武漢 430030)

《物理通報》2009年第4期刊登了《探討無固定懸掛點單擺的周期》[1]一文，深入淺出地探討了無固定懸掛點單擺的周期問題.但筆者認(rèn)為文中存在幾個問題.

(1)動能定理只適用于慣性參考系，不適用于非慣性參考系；

(2)在慣性參考系中不考慮慣性力；

(3)動量守恒定律只適用于慣性參考系，不適用于非慣性參考系．考慮了以上問題后，筆者對這個問題有以下分析.不當(dāng)之處還請各位物理同仁批評指正．

1 無固定懸掛點單擺模型

如圖1，光滑的水平桿上，有一個圓環(huán)O，質(zhì)量為M，圓環(huán)上懸掛一單擺，單擺的擺長為l，擺球的質(zhì)量為m，擺線長遠大于擺球及圓環(huán)的半徑．初始時單擺與豎直方向成θ(θ<5°)角度.求單擺運動的周期．

圖1

2 擺球相對于圓環(huán)的周期

2．1 根據(jù)求解

便可以把物體運動的周期求出．

選擺球為研究對象，以圓環(huán)為原點建立坐標(biāo)系，分析物體受力.從圖1 可知擺球所受回復(fù)力為

f=mgsinθ+maMcosθ

(1)

我們只需求出aM的值，即可求得回復(fù)力的值．

而選圓環(huán)為研究對象以地面為參考系，可得

Tsinθ=MaM

(2)

擺球所受向心力為

(3)

圖2

如圖2所示，設(shè)此時圓環(huán)的水平速度為v環(huán)，擺球相對小圓環(huán)的速度為v相，則由機械能守恒定律與水平方向上動量守恒定律得

mgl(cosθ-cosθ0)=

(v相cosθ-v環(huán))2]

(4)

m(v相cosθ-v環(huán))=Mv環(huán)

(5)

由式(4)、(5)可得

(6)

求得

T=mgcosθ-maMsinθ+

(7)

因為θ角為微小角，則cosθ、cosθ0按冪級數(shù)展開都近似等于1，則

cosθ-cosθ0=0

于是式(7)變?yōu)?/p>

T=mgcosθ-maMsinθ

(8)

把式(8)代入式(2)可得

(9)

其中cosθ≈1,sin2θ≈0.把式(9)代入式(1)可得

由于θ為微小量，有θ≈sinθ.所以

得

擺球相對于圓環(huán)的振動周期為

2．2 根據(jù)vmax=Aω求解

若θ為細(xì)線與豎直方向的最大夾角，以圓環(huán)為參考系，取擺球為研究對象，由式(6)可得兩物體的最大相對速度為

而擺球相對于圓環(huán)的振幅則為

2．3 建立微分方程求解

擺球在微振動時，圓環(huán)由于受到細(xì)繩的拉力也在水平桿上做往復(fù)運動，我們?nèi)D1所示位置進行分析，此時圓環(huán)受到的合外力F=Tsinθ=MaM．取擺球為研究對象且以圓環(huán)為參考系，此時的參考系是一個非慣性系，列方程時則要考慮慣性力．若求出了參考系的慣性加速度即aM，就可列出單擺的振動方程

即

(10)

再把式(9)代入后得

解微分方程可得θ的通解，求得單擺的周期為

3 擺球相對于地面的周期

3．1 根據(jù)求解

圖3

由于圓環(huán)與擺球在水平方向上所受合外力為零，因此兩者組成的系統(tǒng)的質(zhì)心坐標(biāo)在水平方向上保持不變，如圖3所示．

由質(zhì)心定理可得

MxM=mxm

即Ml1=ml2

又因為l1+l2=l，所以

所以擺球相對于地面的回復(fù)力為

所以

故擺球相對于地面的運動周期為

3．2 根據(jù)vmax=Aω求解

若θ為細(xì)線與豎直方向的最大夾角，以地面為參考系，取擺球為研究對象，由動能定理可得

(11)

由水平方向上動量守恒定律有

mvmax+MvM=0

(12)

由式(11)、(12)可得

(13)

(14)

3．3 建立微分方程求解

由圖2可知擺球振動過程中的回復(fù)力為

Fm=mgsinθ

可求得

4 圓環(huán)相對于地面的周期

4．1 根據(jù)求解

所以

4．2 根據(jù)vmax=Aω求解

若θ為細(xì)線與豎直方向的最大夾角，以地面為參考系取擺球為研究對象，由動能定理得

(15)

由水平方向上動量守恒定律有

mvmax+MvM=0

(16)

由式(15)、(16)可得

(17)

(18)

(19)

由水平方向上動量守恒定律有

mvmax+MvM=0

(20)

由式(11)、(12)可得

(21)

(22)

5 討論與總結(jié)

根據(jù)以上所求得的周期可以得出如下結(jié)論．

(1)擺球?qū)Νh(huán)的周期、擺球?qū)Φ氐闹芷诩碍h(huán)對地的周期都相等，我們說系統(tǒng)的振動周期也是

(2)無論取地面為參考系還是取圓環(huán)為參考系，擺球的運動周期均為

若M?m時，就可得到擺球一般形式的運動周期

由于圓環(huán)的運動周期也為

因此可以說由擺球與圓環(huán)所組成的系統(tǒng)其振動周期為

(3)取地面為參考系，擺球所受回復(fù)力為

Fm=mgsinθ

振幅為

圓環(huán)所受回復(fù)力為

FM=MaM=mgsinθ

振幅為

可得

Fm=FMAM≠Am

即擺球與圓環(huán)所受回復(fù)力相等但振幅不相同．其振幅之所以不同的原因是擺球與圓環(huán)的質(zhì)量不同，只有當(dāng)M=m的特殊情況下，二者運動的振幅才相同．

(4)若原題中水平桿由光滑的變?yōu)榇植诘?，求解思路還是一樣，以上所使用的三種方法均可用，唯一需要變動的只是求解圓環(huán)加速度aM時加上摩擦力的貢獻即可，但須注意此時圓環(huán)與擺球在水平方向所受合外力不再為零，二者的動量不再守恒.

通過比較以上求解方法我們可以看出，建立微分方程求解，雖然思路清晰，步驟簡潔，對中學(xué)物理教師有一定的參考價值，但中學(xué)生缺乏求解微分方程的準(zhǔn)備知識，難以理解，因此這種方法有一定的局限性．

(1)分析研究對象所受力，列出其回復(fù)力的表達式．

(2)回復(fù)力表達式中需要求解的未知量一般為所選參考系的非慣性加速度，因此要列方程進而對其求解．

(3)把所求未知量代入回復(fù)力的表達式，簡化為F=-κx的形式，得到κ的值．

1 韓娟，鄭修林，李春梅.探討無固定懸掛點單擺的周期.物理通報，2009(4)：2