劉景世

(寶雞文理學(xué)院物理系 陜西 寶雞 721013)

彈簧是一種利用彈性來工作的機(jī)械零件.利用它的彈性可以控制機(jī)件的運(yùn)動(dòng)、緩和沖擊或震動(dòng)、貯蓄能量、測(cè)量力的大小等.它廣泛用于各種機(jī)械、儀表中,因此不論在中學(xué)物理教學(xué)或大學(xué)物理教學(xué)中均處于十分重要的地位.在彈簧的教學(xué)中如何較為全面地向?qū)W生介紹相關(guān)知識(shí)，使學(xué)生對(duì)這部分知識(shí)理解深刻，應(yīng)用熟練呢？本文擬從彈簧力學(xué)模型特征、彈性勢(shì)能零點(diǎn)選取討論等四個(gè)方面加以分析、總結(jié).

1 彈簧力學(xué)模型特征

在力學(xué)中經(jīng)常涉及到“輕繩”、“輕桿”和“輕彈簧”模型，“輕繩”、“輕桿”及“輕彈簧”是由各種實(shí)際情況中的繩、桿和彈簧抽象出來的理想物理模型.由于“輕繩”、“輕桿”和“輕彈簧”這三種模型本身有著細(xì)微的差異，故表現(xiàn)出來的性質(zhì)也有所不同.在分析彈簧力學(xué)模型特征時(shí)，不妨將這三種模型的特點(diǎn)加以對(duì)比，以加深對(duì)彈簧力學(xué)模型的理解.

1.1 三種模型的相同點(diǎn)

輕繩、輕桿和輕彈簧的“輕”(相對(duì)其他物體來說)就是指其質(zhì)量可以忽略，所受重力可以忽略.它們對(duì)其他物體的作用力都是彈力，屬接觸力、被動(dòng)力，都可以連接其他物體.

1.2 三種模型的不同點(diǎn)

1.2.1 作用力的效果

輕繩只能發(fā)生拉伸形變;輕桿、輕彈簧既能發(fā)生拉伸形變，也能發(fā)生壓縮形變.故輕繩對(duì)物體只能是拉力，而輕桿、輕彈簧對(duì)物體既可以是拉力，又可以是支撐力(或壓力).

1.2.2 作用力的方向

三者軟硬程度不同：繩是軟的，桿是硬的，彈簧介于二者之間.它們的形變方向有所不同：導(dǎo)致繩不能產(chǎn)生側(cè)向力;彈簧在只發(fā)生拉伸或壓縮形變而沒有彎曲和扭轉(zhuǎn)形變,可認(rèn)為不能產(chǎn)生側(cè)向力;而桿能產(chǎn)生側(cè)向力.故輕繩上的作用力一定沿著繩子的方向，輕彈簧上的作用力一般認(rèn)為沿彈簧長(zhǎng)度方向，而輕桿上的作用力卻不一定沿桿的方向.

1.2.3 作用力的變化

輕繩、輕桿的勁度系數(shù)極大，受力形變極微，恢復(fù)形變不需要時(shí)間.輕彈簧的勁度系數(shù)不是十分大，受力后形變較大，恢復(fù)形變需要一段時(shí)間.故輕繩、輕桿對(duì)物體的作用力能發(fā)生突變，而輕彈簧對(duì)物體的作用力卻不能發(fā)生突變.

1.2.4 形體的變化

輕繩、輕桿的形變極微，故輕繩可認(rèn)為是不可伸長(zhǎng)的，但繩是軟的且可以松弛；輕桿可認(rèn)為是不可能伸長(zhǎng)或壓縮，其長(zhǎng)度是不變的；輕彈簧的形變較大，其長(zhǎng)度可以變化.

1.2.5 能量的變化

由于輕桿硬且直，所以用輕桿連接的系統(tǒng)的機(jī)械能一般認(rèn)為不變；輕繩被拉直的過程中盡管時(shí)間極短，但用其連接的系統(tǒng)的機(jī)械能有損失，常常轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的內(nèi)能；輕彈簧在彈性形變范圍內(nèi)被拉伸或壓縮的過程中，用它連接的系統(tǒng)機(jī)械能沒有損失(不考慮摩擦)，只是動(dòng)能或重力勢(shì)能與彈性勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化，而沒有轉(zhuǎn)化為內(nèi)能.

2 彈性勢(shì)能零點(diǎn)選取討論

在動(dòng)力學(xué)教學(xué)中，我們常常應(yīng)用機(jī)械能守恒定律

ΔEk+ΔEp=0

這時(shí)，就要考慮到如何選取勢(shì)能零點(diǎn)的問題.如果勢(shì)能零點(diǎn)選取恰當(dāng)，解題過程就可以大為簡(jiǎn)化；對(duì)于彈性勢(shì)能也不例外.現(xiàn)在筆者就彈簧的彈性勢(shì)能及簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)中勢(shì)能零點(diǎn)選取問題進(jìn)行分析、總結(jié).

2.1 彈簧的彈性勢(shì)能成立的條件

對(duì)于彈性系統(tǒng)，通常規(guī)定彈簧無任何形變(不伸長(zhǎng)也不縮短)時(shí)勢(shì)能為零，那么彈簧伸長(zhǎng)或縮短x時(shí)系統(tǒng)的彈性勢(shì)能為

以豎直放置的彈簧振子為例，在不計(jì)彈簧質(zhì)量和阻力的情況下，可以證明在平衡位置附近的振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，且其動(dòng)力學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的形式與水平放置的彈簧振子的形式完全相同.

當(dāng)我們把彈簧的彈性勢(shì)能零點(diǎn)選取在距離彈簧原長(zhǎng)端點(diǎn)處為x1的位置時(shí)，若彈簧在x1的基礎(chǔ)上又伸長(zhǎng)了x時(shí)，經(jīng)過簡(jiǎn)單推導(dǎo)易知此時(shí)彈性勢(shì)能為

此時(shí)Epe而x為振子相對(duì)于新的彈性勢(shì)能零點(diǎn)的位移.由于x具有任意性，故選取x1處為彈性勢(shì)能零點(diǎn)時(shí)，其他任意點(diǎn)的彈性勢(shì)能為

彈簧處于原長(zhǎng)時(shí)，x=-x1，此時(shí)彈性勢(shì)能為

由此可見，取任意點(diǎn)作為彈性勢(shì)能零點(diǎn)，彈性勢(shì)能可以出現(xiàn)負(fù)值.

2.2 簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)總勢(shì)能成立的條件

我們經(jīng)常遇到在諸如重力等恒外力作用下的簡(jiǎn)諧振動(dòng)問題.仍以豎直放置的彈簧振子為例，在力學(xué)教材[1～2]中，講解簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量轉(zhuǎn)換時(shí)，一般是以水平光滑桌面上的彈簧振子為例討論振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)能、勢(shì)能隨時(shí)間變化規(guī)律，并計(jì)算總機(jī)械能.其振動(dòng)位移表達(dá)式和機(jī)械能表達(dá)式分別為

x=Acos(ωt+φ)

和

3 彈簧連接體運(yùn)動(dòng)淺析

在物理教學(xué)中常見一些與彈簧有關(guān)的問題.由于彈簧形變發(fā)生時(shí)彈力會(huì)發(fā)生變化，使得與彈簧連接的物體受力發(fā)生變化，從而使物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化復(fù)雜.但是只要我們弄清其變化的臨界狀態(tài)，再通過分析受力情況便可求得結(jié)果.在這里分析物理過程是一個(gè)難點(diǎn)，因?yàn)檩^復(fù)雜的物理過程往往是由彼此聯(lián)系的幾個(gè)分過程綜合而成的.因此教學(xué)中應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生對(duì)物理過程的分析，找出前后聯(lián)系的紐帶.

3.1 彈簧受力不能突變時(shí)的連接體臨界問題

應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)：彈簧由于自身特殊結(jié)構(gòu)，使得其發(fā)生形變產(chǎn)生彈力時(shí)，彈力不能由某一值突變?yōu)榱?，或由零突變?yōu)槟骋恢?

3.2 彈簧在不同長(zhǎng)度時(shí)的連接體臨界問題

與彈簧連接的物體在運(yùn)動(dòng)過程中由于狀態(tài)的變化，從而使彈簧在某時(shí)刻最長(zhǎng)，某時(shí)刻處于原長(zhǎng)，某時(shí)刻最短，整個(gè)過程是動(dòng)態(tài)的.求解這一類問題通常是先對(duì)物體受力分析，再結(jié)合物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和運(yùn)動(dòng)過程，分析彈簧什么時(shí)刻最長(zhǎng)，什么時(shí)刻最短，什么時(shí)刻處于原長(zhǎng)，然后求出其臨界值.

總之在解答彈簧連接體一類問題時(shí)，一般都是先對(duì)物體進(jìn)行受力分析，找出物體的臨界狀態(tài)，結(jié)合動(dòng)量定理、機(jī)械能守恒定律及牛頓第二定律；有些特殊情況還要用到簡(jiǎn)諧振動(dòng)的規(guī)律求解.

4 彈簧等效質(zhì)量探析

反映彈簧振子系統(tǒng)重要特性的是它的周期公式

(1)

式中M是振子質(zhì)量，κ是彈簧的勁度系數(shù).教材對(duì)(1)式成立的條件作了明確界定：彈簧是理想的或輕質(zhì)的，即彈簧自身質(zhì)量可以忽略不計(jì).當(dāng)這個(gè)條件不成立時(shí)，周期公式又該如何表述？這就涉及到彈簧的等效質(zhì)量問題.許多文獻(xiàn)從多種角度出發(fā)導(dǎo)出彈簧振子振動(dòng)的周期公式為

式中me為彈簧的等效質(zhì)量.此周期公式說明：當(dāng)把彈簧的等效質(zhì)量加到彈簧振子的質(zhì)量上時(shí)，才能把彈簧振子視為理想的振動(dòng)系統(tǒng).文獻(xiàn)[3～4]通過分割法或積分法推導(dǎo)出

當(dāng)m?M時(shí)

當(dāng)m?M時(shí)

如今，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和進(jìn)步，彈簧的種類日益增多，其使用范圍也更加廣泛，彈簧在物理教學(xué)中的重要地位也更加突出.

參考文獻(xiàn)

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