朱翼雋,胡昌亮

(江蘇大學 理學院,江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

＊一般重試時間、伯努利單重休假的離散Geom/G/1重試排隊系統(tǒng)

朱翼雋,胡昌亮

(江蘇大學 理學院,江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

考慮一個帶有一般重試時間、伯努利單重休假的離散Geom/G/1重試排隊系統(tǒng).服務臺前無等待位置,新到達的顧客若發(fā)現(xiàn)服務臺忙或處于休假,則進入重試區(qū)域等待重試;若發(fā)現(xiàn)服務臺空閑(不管有無顧客重試),就立即接受服務.顧客在完成服務之后,若重試區(qū)域中有顧客存在,則服務臺以概率θ(0≤θ≤1)進行一次單重休假,以概率ˉθ(=1-θ)重新等待顧客的到來;若重試區(qū)域中無顧客,則服務臺也重新等待顧客的到來.利用馬爾可夫鏈法,得到了本模型各個狀態(tài)的穩(wěn)態(tài)分布,并給出了系統(tǒng)顧客數(shù)的隨機分解結果及關于其的一個應用.還給出了一個遞推公式去計算重試區(qū)域顧客數(shù)的分布.最后用數(shù)值例子說明了一些參數(shù)對系統(tǒng)性能的影響.

離散重試排隊;伯努利單重休假;隨機分解;穩(wěn)態(tài)分布

0 引言

由于離散排隊在通信系統(tǒng)以及其他相關領域的應用,各種有關離散排隊的研究得到了極大的重視.許多計算機和通信系統(tǒng)的信號傳遞問題都是發(fā)生在有固定間隔的時間段內(nèi),所以離散排隊較之連續(xù)排隊能更好的符合實際,并且近些年來出現(xiàn)了許多有關離散排隊在應用方面的文章[1-3].

所謂重試排隊,即顧客到達系統(tǒng)時,如果發(fā)現(xiàn)服務臺忙,并且服務臺沒有等待位置,顧客就會進入重試區(qū)域等待再次重試.重試排隊已經(jīng)廣泛的應用于電話交換系統(tǒng)、電信系統(tǒng)和計算機通訊系統(tǒng)等領域[4-6].在過去,重試排隊的研究主要集中在連續(xù)時間上,但是自從 Yang和Li[7]首次將重試排隊的有關問題推廣到離散時間上,一些離散重試排隊的研究陸續(xù)出現(xiàn)[8-11],但相比于比較成熟的連續(xù)重試排隊的研究,這方面的研究還不夠充分,需要進一步的完善.

在日常生活中,顧客在完成一次服務后,即使重試區(qū)域還有顧客存在,服務臺也有可能進行休假.帶有休假的連續(xù)重試排隊的研究比較多[12-14],但有關具有休假的離散重試排隊的文章很少.在實際生活中,服務員完成一次服務之后,可以根據(jù)重試區(qū)域顧客的多少,決定是繼續(xù)為顧客服務還是選擇進行一次單重休假,此即伯努利單重休假規(guī)則.本文在離散重試排隊的基礎上,加入一般重試時間及伯努利單重休假規(guī)則,得到了一些重要的穩(wěn)態(tài)結果及數(shù)值分析結果.

1 模型描述

考慮一個離散Geom/G/1重試排隊早到達系統(tǒng),顧客的到達過程依據(jù)概率為p的Bernoulli過程.服務臺前無等待位置,若顧客到達服務臺時,發(fā)現(xiàn)服務臺忙或者處于假期,就會進入重試區(qū)域等待再次重試;如果服務臺處于空閑狀態(tài),則立即接受服務(不管此時重試區(qū)域隊首顧客是否正在重試).服務臺完成一次服務后,如果重試區(qū)域還有顧客存在,則服務臺以概率θ(0≤θ≤1)進行一次單重休假,休假結束之后,重新等待為顧客服務,以概率ˉθ重新等待顧客的到來;如果重試區(qū)域沒有顧客,則服務臺重新等待顧客的到來并為其服務.

2 馬氏鏈及穩(wěn)態(tài)分布

在時刻m+處,系統(tǒng)狀態(tài)可由過程Xm=(Cm,ξm,Nm)來描繪.此處Cm表示服務臺的狀態(tài)(0,1,2分別表示服務臺處于空閑,服務,休假狀態(tài)),Nm表示重試區(qū)域的顧客數(shù),當Cm=0時,ξm表示剩余的重試時間;當Cm=1時,ξm表示剩余的服務時間;當Cm=2時,ξm表示剩余的休假時間.則其狀態(tài)空間為:

本文將研究馬氏鏈{Xm,m∈N}的平穩(wěn)分布,即

為了使研究能夠繼續(xù),給出下面兩個引理:

引理1 對于0≤x≤1,不等式A(x)≤x,S(x)≤x,V(x)≤x成立.

證明 由概率母函數(shù)A(x),S(x),V(x)的凸性可知,對于0≤x≤1,三不等式成立.

3 隨機分解

隨機分解原理是由Fuhrmann和Cooper[16]第一次引入排隊系統(tǒng)的,起初隨機分解原理在排隊系統(tǒng)中的作用是分析各種休假策略對經(jīng)典排隊模型的影響,但隨著研究的深入,它也可以用于比較復雜的離散重試排隊系統(tǒng)中.

4 穩(wěn)態(tài)概率計算

令ψk=P{N=k},則ψk表示重試區(qū)域顧客數(shù)為k個的概率.下面將會給出一個遞推公式,用此計算本模型中重試區(qū)域顧客數(shù)分布的概率.

由定理4可以知道,若知道ψ(z)的各階導數(shù),重試區(qū)域顧客數(shù)的概率分布就可求得.

5 數(shù)值分析

在此部分,將會用數(shù)值例子來研究一些參數(shù)對系統(tǒng)性能的影響.假設p=0.1,并且重試時間,服務時間,休假時間分別服從參數(shù)為r,q1,q2的幾何分布,則有分布

sj=q1(1-q1)j-1,vj=q2(1-q2)j-1,ai=ri(1-r),j≥1,i≥0,且0＜q1,q2＜1,0≤r＜1.

同時,約定q1=q2=0.5.下面討論,對于不同的θ,系統(tǒng)非空的概率、重試區(qū)域平均顧客數(shù)分別與參數(shù)r的影響.

圖1描繪了參數(shù)r與系統(tǒng)非空的概率之間的關系.由圖1可以看出,對于不同參數(shù)θ,系統(tǒng)非空的概率是隨著θ增大而增大的;圖2描繪了參數(shù)r與重試區(qū)域平均顧客數(shù)之間的關系,可以看出,E(N)也是隨著θ增大而增大的.同時可以知道,r值越大,對1-π0,0,E(N)的影響也就越大.

圖1 系統(tǒng)非空的概率與 r的關系Fig.1 Relation between the parameter r and the probability of non-empty system

圖2 重試區(qū)域平均顧客數(shù)與 r的關系Fig.2 Relation between the parameter r and the customers in obit site

最后,利用定理4給出的遞推公式計算重試區(qū)域顧客數(shù)的概率分布.表1和表2(P49)分別闡明了在θ=0.3,0.6,r=0,0.3,0.6,0.9的情況下,重試區(qū)域顧客的概率分布情況.根據(jù)表中的結果,可以做出結論:隨著θ的增大,重試區(qū)域中無顧客的概率是下降的,而重試區(qū)域中有非零顧客的概率是增大的;固定θ,可以看出,隨著r的增大,重試區(qū)域中無顧客的概率也是下降的,而重試區(qū)域中有非零顧客的概率同樣也是增大的.

表1 重試區(qū)域顧客數(shù)的概率分布(θ=0.3)Table 1 Probability distribution of queue length(θ=0.3)

表2 重試區(qū)域顧客數(shù)的概率分布(θ=0.6)Table 2 Probability distribution of queue length(θ=0.6)

6 小結

在這篇文章中,我們考慮了一個帶有伯努利休假、一般重試時間的離散Geom/G/1重試排隊系統(tǒng),研究了它的穩(wěn)態(tài)分布、隨機分解及數(shù)值運算的結果,具有一定的現(xiàn)實意義.重試區(qū)域中的顧客除非接受服務后離開,否則就會一直等到接受服務.今后的研究可以將重點集中在帶有不耐煩顧客之上,在此基礎上,重試區(qū)域中的顧客就會根據(jù)具體的情況決定是繼續(xù)等待重試,接受服務,還是選擇離開.

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A Discrete-Time Geom/G/1 Retrial Queue with General Retrial Times and a Single Vacation Under Bernoulli Schedule

ZHU Yi-jun,HU Chang-liang
(Faculty of Science,Jiangsu University,Zhenjiang212013,China)

We consider a discrete-timeGeom/G/1 retrial queue with general retrial times,a single vacation under Bernoulli schedule.There is no waiting position in the server,and a new arriving customer finds the server busy or at vacation,he w ill join the orbit to retry getting the service,or he will accept service at once(No matter there is a retrial customer).After the service,the server either goes for a vacation with probality θ(0≤θ≤1)or may continue to wait the customer with probalityˉθ,if there is a customer in the orbit at least;Ortherwise,the server may wait the customer too.Applying for Markov chain,w e derive the various steady state distributions of this system,and give a stochastic decomposition law of the system size and a application about it.A recursive form ular is also built up to facilitate the orbit site distribution.Finally,some numercial examples show the influence of the parameters on the system performance.

discrete-time retrial queues;a single vacation under Bernoulli schedule;stochastic decomposition;steady state distribution

O226

A

0253-2395(2011)01-0042-09＊

2010-03-20;

2010-07-16

國家自然科學基金(70571030;10571076)

朱翼雋(1945-),男,安徽歙縣人,教授,博士生導師,主要從事排隊論和隨機網(wǎng)絡方面的研究.