李長軍，孔玉瑾

（中國海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東青島266100）

高維M?bius群中的Jφrgensen不等式＊

李長軍，孔玉瑾

（中國海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東青島266100）

利用高維M?bius變換群中的Clifford矩陣表示，在二元生成群中當(dāng)f是雙曲元素或嚴(yán)格拋物元素，且f和g有公共不動點(diǎn)時(shí)，對f和g的不動點(diǎn)，f和g的交換子的跡之間的關(guān)系進(jìn)行了研究。得到它們等價(jià)的一個(gè)充要條件，還得出當(dāng)f和g的交換子是嚴(yán)格拋物元素時(shí)，平面上的Jφrgensen不等式在高維空間上仍成立。

Clifford矩陣；交換子；Jφrgensen不等式；初等群

0 引 言

自1976年Jφrgensen提出判定M?bius變換群離散性的“Jφrgensen不等式”，許多數(shù)學(xué)工作者都在從事研究與“Jφrgensen不等式”相關(guān)的M?bius變換群不等式，并且取得較好的結(jié)果。特別是1985年，數(shù)學(xué)家L．V．Ahlfors的杰出工作［1－2］，使高維M?bius變換群和高維Jφrgensen不等式的研究成為研究熱點(diǎn)。由于高維Jφrgensen不等式的情形比平面情形較為復(fù)雜，在這方面的研究較難取得很大的進(jìn)展。

本文將文獻(xiàn)［3］的一個(gè)定理推廣到高維情形：

設(shè)f∈SL（2，H），定義g0＝g∈SL（2，H），gn＋1＝且f不是運(yùn)動元素或橢圓元素，如果存在n0∈N使得gn0＝f，那么＜f，g＞是初等群。

注：H表示四元數(shù)全體，其元素x＝x0＋x1e1＋x2e2＋x3e3，＝－1，e3＝e1e2＝－e2e1）其中xi∈R，i＝0，1，2，3。若x3＝0，則稱x為向量，由于全體向量及H都是線性空間，故將全體向量視為R3，H視為R4。

文獻(xiàn)［3］中要求f不是運(yùn)動元素或橢圓元素，本文考慮了f是雙曲元素和嚴(yán)格拋物元素時(shí)的情形。另外，本文還利用該定理證明了，當(dāng)f為雙曲元素和嚴(yán)格拋物元素時(shí)，高維Jφrgensen不等式是存在的。

1 預(yù)備知識

Clifford代數(shù)An為由1，e1，e2，…，en－1在實(shí)數(shù)域R上生成的非交換結(jié)合代數(shù)，其中ej（j＝1，2，…，n－1）滿足e2j＝－1，eiej＝－ejei（i≠j），An中任一元素a能唯一地表示成

其中a0，av∈R，∑是對所有的復(fù)指標(biāo)v＝（v1，v2，…，vp）求和，Ev＝ev1ev2…evp（0＜v1＜v2＜…＜vp＜n－1），a0稱為a的實(shí)部。

稱特殊形式的Clifford數(shù)x＝x0＋x1e1＋…＋xn－1·en－1為向量，這些向量構(gòu)成一個(gè)n維子空間Vn，常把Vn等同于Rn。

定義1 An中任一元素a，意a＝a0＋∑avEv∈An，有下面3種重要的對合運(yùn)算：

（?。溥\(yùn)算a′＝a0＋∑avE′v，其中E′v＝（－ev1）（－ev2）…（－evp）＝（－1）pEv；

（ⅲ）－運(yùn)算a珔＝（a′）＊＝（a＊）′。

易知，′運(yùn)算確定了An的一個(gè)自同構(gòu)，而＊運(yùn)算和－運(yùn)算確定了An的反自同構(gòu)，有

對向量x＝x0＋x1e1＋…＋xn－1en－1≠0，有x＊＝x，

定義2 Clifford群Γn由An中所有可以表示為Rn中有限多個(gè)非零向量乘積的元構(gòu)成。

（ⅰ）a，b，c，d∈Γn∪｛0｝；

（ⅱ）ad＊－bc＊＝1；

（ⅲ）若c≠0，則ac－1∈Rn且c－1d∈Rn；

（ⅳ）若d≠0，則db－1∈Rn且b－1a ∈Rn。

注：條件ac－1∈Rn等價(jià)于c＊a＝a＊c，這是因?yàn)椋╟＊′）－1＝｜c(diǎn)｜－2c且c＊a＝a＊（ac－1）c＝｜c(diǎn)｜2c＊（ac－1）（c＊）′－1。類似地，有：

cd＊＝dc＊∈Rn，b＊d＝d＊b∈Rn，ab＊＝ba＊∈Rn。

用SL（2，Γn）表示全體n維Clifford矩陣關(guān)于矩陣乘法構(gòu)成的群，對任意M?bius變換g∈M（Rn），有

對M?bius變換g∈M（Rn）／｛Id｝，有：

定義9 如果g在珚Rn中沒有不動點(diǎn)，則稱g為運(yùn)動元素。定義10 設(shè)G是M（）的子群，對G中任意序列｛gn｝，若gn→I，則存在N，當(dāng)n＞N時(shí)，gn＝I，那么稱G是離散群。

文中采用的記號和術(shù)語與文獻(xiàn)［2，4－8］相同，例如M?bius變換群M）、離散群等。

采用如下由文獻(xiàn)［5］給出的初等群定義：定義11 如果G在H珨n＋1中有一個(gè)有限軌道，那么稱G是初等的，否則，G是非初等的。定理A［8］Jφrgensen不等式：假設(shè)M?bius變換f和g生成一個(gè)離散非初等群，則｜tr2（f）－4｜＋｜tr（fgf－1·g－1）－2｜≥1，并且這個(gè)下界是最佳的。

2 主要結(jié)果及其證明

定理1 設(shè)f，g∈SL（2，Γn），若f是雙曲元素或嚴(yán)格

證明 當(dāng)f是雙曲元素時(shí)，由跡共軛不變性，

Γn），則有

從而可得：

若f和g有一個(gè)公共不動點(diǎn)，則b＝0或c＝0，從而tr［f，g］＝2。

反之，若tr［f，g］＝2，則bc＊＝0，從而b＝0或c＝0，即f和g有一個(gè)公共不動點(diǎn)。

當(dāng)f是嚴(yán)格拋物元素時(shí)，由跡共軛不變性，可設(shè)

從而可得：tr［f，g］＝2＋λ2bb＊。

若f和g有一個(gè)公共不動點(diǎn)，則b＝0，從而tr［f，g］＝2。

反之，若tr［f，g］＝2，則tr［f，g］＝2＋λ2bb＊＝2，從而b＝0，即f和g有一個(gè)公共不動點(diǎn)。［證畢］

注：當(dāng)f是橢圓元素時(shí)，結(jié)論不一定成立。當(dāng)n＝3時(shí)，即在三維空間中，易舉出反例。事實(shí)上，只要取

易知f和g有一個(gè)公共不動點(diǎn)，且

由文獻(xiàn)［9］中判別法可知f是橢圓元素。此時(shí)，tr［f，g］＝1。

同樣，當(dāng)f是橢圓元素且tr［f，g］＝2時(shí)，也不一定能推出f和g一定有公共不動點(diǎn)。

在高維的情形，暫時(shí)還未舉出反例。

定理2 設(shè)f，g∈SL（2，Γn），若f是雙曲或者嚴(yán)格拋物元素，［f，g］∈?），且f和g在中有一個(gè)公共不動點(diǎn)，則［f，g］是嚴(yán)格拋物元素。

證明 當(dāng)f是雙曲元素時(shí)，由定理1得：

由于f和g有一個(gè)公共不動點(diǎn)，不妨設(shè)b＝0，則

類似地，可證明f是嚴(yán)格拋物元素時(shí)的情形。［證畢］

推論3 設(shè)f，g∈SL（2，Γn），若f是雙曲元素，且f和g在中有一個(gè)公共不動點(diǎn)，則或有［f，g］＝I且Ff＝Fg，或有［f，g］是嚴(yán)格拋物元素且Ff≠Fg。證明 由于f是雙曲元素，由定理1得：

由于f和g有一個(gè)公共不動點(diǎn)，不妨設(shè)b＝0，則有

當(dāng)c＝0時(shí)，即g也為雙曲元素時(shí)，［f，g］＝I且Ff＝Fg。

當(dāng)c≠0時(shí)，［f，g］是嚴(yán)格拋物元素且Ff≠Fg。［證畢］定理4 設(shè)f∈SL（2，Γn），定義g0＝g∈SL（2，Γn），且f是雙曲元素或嚴(yán)格拋物元素，如果存在n0∈N，使得＝f，那么＜f，g＞是初等群。

（2）當(dāng)f是雙曲元素時(shí)，因?yàn)間i（i＝1，2，…）與f共軛，所以gi（i＝1，2，…）也是雙曲元素。不失一般性，不妨設(shè)f的不動點(diǎn)為0和∞。因?yàn)椋絝，所以0和∞是的不動點(diǎn)。

假設(shè)gi＋1（i≥0）以0和∞為不動點(diǎn)，即gi＋1（0）＝0，gi＋1（∞）＝∞，從而可得：

因此｛gi（0），gi（∞）｝＝｛0，∞｝。

假設(shè)gi（0）＝∞，gi（∞）＝0。除此之外，gi有2個(gè)不動點(diǎn)α，β≠0，∞，則也以α，β為不動點(diǎn)。又因?yàn)椋ā蓿絞igi（∞）＝gi（0）＝∞，（0）＝gigi（0）＝gi（∞）＝0，所以也以0和∞為不動點(diǎn)。從而可得為橢圓元素或單位元素，與gi與（m≥1）同時(shí)為雙曲元素矛盾。所以gi（0）＝0，gi（∞）＝∞。因而證明了當(dāng)gi＋1（i≥0）以0和∞為不動點(diǎn)時(shí)，gi（i＝1，2，…）亦然。由歸納法可知gi＋1，gi，…，g1，g0均以0和∞為不動點(diǎn)，即gn0，gn0－1，…，g1，g0均以0和∞為不動點(diǎn)。它表明f和g使集合｛0，∞｝保持不變，所以＜f，g＞是初等群。［證畢］

注：該定理將文獻(xiàn)［3］中定理2推廣到高維空間，只是定理?xiàng)l件有所不同，文獻(xiàn)［3］中定理2要求f∈SL（2，H），且f不是運(yùn)動元素或橢圓元素，該定理僅考慮了f是雙曲元素和嚴(yán)格拋物元素時(shí)的情形。定理5 設(shè)f，g∈M（珚Rn），f是雙曲元素或嚴(yán)格拋物元素。若｜tr2（f）－4｜＋｜tr［f，g］－2｜＜1，則＜f，g＞要么初等，要么非離散。證明 當(dāng)＜f，g＞是初等群時(shí)，顯然成立。當(dāng)＜f，g＞是非初等群時(shí)，只需證明＜f，g＞是非離散群即可。（1）當(dāng)f為雙曲元素時(shí)，

由定理1得：

設(shè)

從而可得：

因?yàn)椋糵，g＞是非初等群，所以bc≠0。

下面用歸納法證明｜bncn｜≤kn｜ad｜，｜bncn｜≤kn｜bc｜。當(dāng)n＝0時(shí)，顯然成立，且有：

假設(shè)n＝m時(shí)成立，即｜bmcm｜≤km｜ad｜，｜bmcm｜≤km｜bc｜。

那么當(dāng)n＝m＋1時(shí)，

由數(shù)學(xué)歸納法可知：｜bncn｜≤kn｜ad｜，｜bncn｜≤kn｜bc｜。

假設(shè)＜f，g＞是離散群，則存在m，使得f－2mg2mf2m＝f，即g2m＝f。由定理5可知，＜f，g＞是初等群，與題設(shè)矛盾。因此，＜f，g＞是非離散的。

（2）類似地可證明f是嚴(yán)格拋物元素時(shí)的情形。［證畢］。

注：該定理是在文獻(xiàn)［10］定理2．1的基礎(chǔ)上得到的，但是文獻(xiàn)［10］的定理2．1要求f和fgfg－1均是雙曲元素。該定理只是要求f是雙曲元素和嚴(yán)格拋物元素，更具一般性。當(dāng)f是斜駛元素和橢圓元素時(shí)，高維Jφrgensen不等式也是存在的，只是條件有了限制，參見文獻(xiàn)［11］。

［1］ Ahlfors L V．Old and new in M?bius groups［J］．Ann Acad Sci Fenn Ser A I Math，1984，9：93－105．

［2］ Ahlfors L V．On the Fixed Points of M?bius Transformations in Rn［J］．Ann Acad Sci Fenn Ser A I Math，1985，10：15－27．

［3］ 乃兵．三維非初等離散M?bius群的必要條件［J］．云南民族學(xué)院學(xué)報(bào)，1994，3（1）：13－19．

［4］ Fang A，Nai B．On the Discreteness and Convergence in n－Dimensional M?bius Groups［J］．J London Math Soc，2000，61（2）：761－773．

［5］ Beardon A F．The Geometry of Discrete Groups［M］．New York，Heidelberg Berlin：Springer Verlag，1983．

［6］ Waterman P L．M?bius Transformations in Several Dimensions［J］．Adv in Math，1993，101：87－113．

［7］ Waterman P L．Purely Elliptic M?bius Groups［A］．Holomorphic Functions and Molulli，II［C］．New York，Berlin：Springer，1988．

［8］ Jφrgensen T．On Discrete Groups of M?bius Transformations［J］．Amer J Math，1976，98（3）：739－749．

［9］ 劉春林．三維M?bius變換的分類及類型判別［J］．?dāng)?shù)學(xué)進(jìn)展，1990，19（2）：231－238．

［10］ 張燕，戴濱林．雙曲元不等式［J］．湘潭大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)，1998，20（2）：13－15．

［11］ 王鍵，戴濱林．離散M?bius群不等式［J］．湘潭大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)，1996，18（4）：27－30．

Jφrgensen’s Inequalities in Higher Dimensions

LI Chang－Jun，KONG Yu－Jin
（School of Mathematical Science，Ocean University of China，Qingdao 266100，China）

This paper deal with the relationship between the fixed points and traces of commutator of f and g when they have a common fixed point and f was hyperbolic or strictly parabolic in two－generator groups of M?bius transformation．By using Clifford matrix，an necessary and sufficient condition when they are equivalent was obtained and it was concluded that Jφrgensen inequalities in higher dimensions was still correct when commutator of［f，g］is strictly parabolic．

Clifford matrix；commutator；Jφrgensen inequalities；elementary subgroups

O18

A

1672－5174（2011）05Ⅱ－447－05

留學(xué)歸國人員啟動基金項(xiàng)目（1501－091944）資助

2011－04－01：

2011－04－20

李長軍（1965－），男，博士，副教授。研究領(lǐng)域：復(fù)分析，離散群幾何。E－mail：changjunli7921＠hotmail．com

AMS Subject Classfications： 20H10，30F40，15A66，37C25，30G25

責(zé)任編輯 朱寶象