杜英芳

（天津師范大學 生命科學學院，天津 300387）

隨機變量函數(shù)的一種全序排列及其在教學評估中的應用

杜英芳

（天津師范大學 生命科學學院，天津 300387）

首先給出了有界變差函數(shù)相等的一個充要條件，在此基礎上給出了隨機變量函數(shù)的一種全序排列集，并利用這種順序在學生成績評估中給出了一種依據(jù)學生分數(shù)的全序排列.

隨機變量；有界變差函數(shù)；全序排列集

1 隨機變量函數(shù)的一種順序

文獻［3］證明了2個有界隨機變量具有相同分布的充要條件為其各階原點矩相同，本研究將其推廣為如下定理.

證明 僅證充分性.由f（x）和g（x）的有界性知式（10）中的積分都是存在的.η，ζ都是隨機變量，設其分布函數(shù)分別為G（x）和H（x），即

基于定理可以給出隨機變量的有界可測函數(shù)全體的一種順序.

2 應用

隨機變量的矩有非常廣泛的實際應用.在對各種不同的對象依據(jù)一些量化指標比較優(yōu)劣時，通常是比較這些指標的加權平均值，此即為隨機變量的一階原點矩.在分析時有時候會用到方差，相應為隨機變量的二階中心矩.而單純用加權平均值是無法完全區(qū)分不同對象的優(yōu)劣的，如天津市2010年高考的理科考生5萬余人，可能分值為0～750，利用平均分是不可能完全區(qū)分學生的優(yōu)劣的，類似的實際問題還有很多.而利用本研究給出的排序方法，只要對象之間的指標不完全相同，就能比較其優(yōu)劣.該比較方法是合乎一些實際問題的，如對高考選拔而言，首先注意的是學生的綜合素質，這一點可由學生的平均分來反映.在學生綜合素質相同的情況下，希望學生在某些方面有特長，這些可以由高階矩來反映，從而克服了總分相同的學生無法比較優(yōu)劣的缺點.下面用某學院學生12門專業(yè)課程成績的排序來說明本研究的方法.

首先，該學院共有12門專業(yè)課，名稱及相應的學分見表1.用隨機變量ξ表示該院的專業(yè)課程科目，取值為其編號，相應的概率pi為該科目的學分占總學分的比例，見表1.

表1 12門專業(yè)課的學分及其概率Table 1 Credits and probabilities of 12specialized courses

利用常用的加權平均值，可以得到該院40名學生的由各科成績計算得到的專業(yè)課成績排名表（表2）.

表2 40名學生的成績與排名Table 2 Scores and sort of 40students

從表2可以看出，2號、4號和35號學生的加權平均分相同，11號和27號學生的加權平均分相同，1號和3號學生的加權平均分相同，這些學生的成績單純利用加權平均分是無法比較優(yōu)劣的，但利用高階矩和本研究方法可以完全區(qū)分其優(yōu)劣.

設η＝f（ξ）為某學生的各科得分，則利用離散型隨機變量函數(shù)的各階矩的計算方法可知η＝f（ξ）的k階矩為

利用本研究建立的隨機變量函數(shù)的序關系，由式（16）及該院40名學生的各科成績可以計算得出其專業(yè)課成績排名，見表3.

表3 修正后的學生成績排名Table 3 Modified sort of scores

由此例可以看出，本研究對隨機變量函數(shù)的排序方法具有一定的實際應用價值.

［1］ 周民強.實變函數(shù)［M］.北京：北京大學出版社，1995.

［2］ 謝庭藩，周頌平.實函數(shù)逼近論［M］.杭州：浙江大學出版社，1998.

［3］ 許貴橋，馮黎波，翟建仁.隨機變量相等的一個充要條件［J］.工科數(shù)學，1997，13（3）：92－93.

A totally ordered set on functions of random variable and its application in teaching estimation

DUYingfang
（College of Life Science，Tianjin Normal University，Tianjin 300387，China）

A necessary and sufficient condition for the equality of the bounded variation function is obtained，and a totally ordered set on the functions of random variable is given.By using the results a totally ordered set which depends on scores of students in teaching estimation is given.

random variable；bounded variation function；totallyordered set

O211.5

A

1671－1114（2011）02－0091－03

2010－03－19

杜英芳（1965—），女，助理研究員，主要從事概率統(tǒng)計及其應用方面的研究.

（責任編校 馬新光）