溫啟軍,錢 玲,陳良云

(1.長春大學理學院,吉林長春 130022; 2.東北師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院,吉林長春 130024)

Jo rdan李代數(shù)的分解與Frattini理論

溫啟軍1,錢 玲2,陳良云2

(1.長春大學理學院,吉林長春 130022; 2.東北師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院,吉林長春 130024)

證明了中心為零的Jordan李代數(shù)能夠分解成不可分解理想的直和,這種分解在不計理想次序的前提下是唯一的,并運用Jo rdan李代數(shù)的Engel定理,得到了Jo rdan李代數(shù)的Frattini子代數(shù)的若干性質(zhì)和冪零Jordan李代數(shù)的幾個判定方法.

Jo rdan李代數(shù);Engel定理;分解唯一性;Frattini理論

1 預備知識

基于對李代數(shù)、李超代數(shù)和Jordan代數(shù)的研究,Susumu Okubo提出了Jordan李超代數(shù)的概念[1-2]:設(shè)J是一個Z2階化向量空間,記為

易見當δ=1時,Jordan李代數(shù)就是通常所說的李代數(shù),也就是說Jordan李代數(shù)更具有廣泛性.

本文將著重論述Jordan李代數(shù)分解的唯一性問題.眾所周知,特征0域上的半單李代數(shù)可以分解成單李代數(shù)的直和[4-5].代數(shù)稱為不可分解的,如果它不能分解成理想的直和[6-7].在本文中,我們將證明中心為零的Jordan李代數(shù)能夠分解成不可分解理想的直和,這種分解在不計理想次序的前提下是唯一的.文獻[3]給出了Jordan李代數(shù)Engel定理的證明,本文運用Jordan李代數(shù)的Engel定理,得到了Jo rdan李代數(shù)的Frattini子代數(shù)的一些結(jié)果.

2 主要結(jié)果

定義1如果一個Jordan李代數(shù)J的自同態(tài)φ滿足φadx=adxφ,?x∈J,則φ稱為J的J-自同態(tài).

引理1令J是域F上的Jordan李代數(shù),則下列命題成立:

(1)若f,ɡ是J的J-自同態(tài),則f+ɡ與fɡ也是J的J-自同態(tài);

定理2[4]設(shè)V是域F上的有限維向量空間且f是作用在V上的線性變換.若X是滿足X(f)=0的多項式.則:

(1)若X=q1·q2且q1,q2互素,則V=U⊕W,U和W是f的不變子空間,且滿足q1(f)(U)=q2(f)(W)={0};

(2)V=V0⊕V1,V0和V1是f的不變子空間,且滿足f|V0是冪零的,f|V1是可逆的.

注1(1)若V是有限維的,則f存在特征多項式X.定理2中的(2)分解成為f的Fitting分解. V0與V1分別稱為Fitting-0和Fitting-1.

(2)設(shè)J是域F上的有限維Jordan李代數(shù).設(shè)(ada)j(x)=0},?a∈J,i∈N.則A=[a,A]與(ada)n(B)={0},?n∈N.由定理2得J=A⊕B.若ada不是冪零的,則A與B都非零.

定理3[3](Engle定理)設(shè)J是有限維Jordan李代數(shù),則J是冪零的當且僅當?x∈J,x是ad-冪零元.

設(shè)J是有限維Jordan李代數(shù),定義F(J)是J的所有極大子代數(shù)的交和ψ(J)是包含在F(J)且是J的理想中的最大理想.

引理6設(shè)J是有限維Jo rdan李代數(shù),則有:

(1)F(J)?J(1),J(1)=[J,J];

(2)如果H是J的子代數(shù),并且H+F(J)=J,則H=J.

證明(1)如果J=[J,J],顯然有F(J)?J(1).

如果J≠[J,J],反證.假設(shè)x∈F(J),并且x?J(1),不妨令dimJ=r.

我們可以構(gòu)造J的(r-1)維子空間N,并且N?J(1),x?N,由N的維數(shù)顯然有N是J的一個極大子代數(shù).但由x∈F(J)知x是屬于任何一個極大子代數(shù)的,當然就有x∈N,這就產(chǎn)生了矛盾.所以F(J)?J(1).

(2)反證.若H≠J,則有J的一個極大子代數(shù)N,使得H?N.于是F(J)?N.由于J=H+F(J)?N,所以N=J.這與N是極大子代數(shù)矛盾.從而H=J.

引理7若J是域F上的一維Jo rdan李代數(shù),且ch F≠3,則[J,J]=0.

證明由于J是一維的,所以不妨設(shè)x∈J,J=Fx.因為ch F≠3,由Jacobi等式知[x,[x,x]]=0.設(shè)[x,x]=λx,λ∈F.則

因此λ=0,即[x,x]=0.從而J是可交換的.

引理8設(shè)J是域F上的有限維冪零Jo rdan李代數(shù),ch F≠3.則有:

(1)J的每一個極大子代數(shù)M也是J的理想;

(2)F(J)=J(1).

證明(1)因為J冪零,所以存在n∈N和一個理想序列,滿足

于是由M≠J,知存在m∈N,使得Jn+M≠M,并且Jn+1+M=M.于是?x∈J,滿足x∈Jn且x?H.從而有即M是J的理想.

(2)由結(jié)論(1)可知,J的任何極大子代數(shù)M都是J的理想.于是J/M沒有真子代數(shù),也沒有真理想,從而J/M只能是一維的.由引理7知J/M是可交換的,即因為M是J中任意的極大子代數(shù),故J(1)?F(J).由引理6,F(J)?J(1)知F(J)=J(1).

引理9設(shè)J是域F上的Jordan李代數(shù)且ch F≠3.設(shè)A是J的理想,B是A的理想,且B?A∩F(J).若A/B冪零,則A也冪零.特別的,若A是J的理想且A?F(J),則A是冪零的,φ(J)是J的冪零理想.

利用定理2的引理9及文獻[5]中定理2.12的方法,易證下面的定理:

定理4設(shè)J是域F上的Jordan李代數(shù)且ch F≠3,則下列命題等價:

(1)J冪零;

(2)?x∈J,adx冪零;

(3)J/C(J)冪零;

(4)若A是J的理想且滿足A?φ(J),則J/A冪零;

(5)J的每個極大子代數(shù)H也是J的理想;

(6)F(J)=φ(J)=J(1).

[1] SUSUMU OKUBO.Jordan-Lie super algebra and jordan-Lie triple system[J].Journal of Algebra,1997,198:388-411.

[2] GRISHKOV A N.Speciality of Lie-Jordan algebra[J].Journal of Algebra,2001,237:621-636.

[3] 錢玲.Jordan李代數(shù)的Engle定理及其應用[D].長春:東北師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院,2010.

[4] STRADE H,FARSTEINER R.Modular Lie algebras and their rep resentations[M].New York:Marcel Dekker Inc,1988:300.

[5] 孟道驥.復半單李代數(shù)引論[M].北京:北京大學出版社,1998:56-88.

[6] 陳良云,張永正.關(guān)于限制李超代數(shù)的分解[J].數(shù)學物理學報,2007,27(4):577-582.

[7] 吳險峰.低維李超三系的分類[J].吉林大學學報:理學版,2009,47(3):671-676.

On the decom position and Frattin i theory of Jordan L ie algebras

W EN Qi-jun1,Q IAN Ling2,CHEN Liang-yun2

(1.School of Sciences,Changchun University,Changchun 130022,China; 2.School of M athematics and Statistics,Northeast No rmal University,Changchun 130024,China)

This paper w ill p rove that a Jordan Lie algebra satisfyingC(J)={0}can be decomposed into direct sum of indecomposable ideals and this decomposition is unique up to the order of the ideals,give its Frattini theo ry and obtain some sufficient and necesary conditions of nilpo tent Jo rdan Lie algebras using Engel's theorem of a Jordan Lie algebra.

Jordan Lie algebras;Engel's theorem;uniqueness of the decomposition;Frattini theory

O 152.5

110·21

A

1000-1832(2010)04-0012-05

2010-05-27

國家自然科學基金資助項目(10701019,10871057);中央高?；究蒲袠I(yè)務費專項資金資助項目.

溫啟軍(1973—),男,碩士,講師;通訊作者:陳良云(1974—),男,博士,副教授,主要從事李代數(shù)研究.

(責任編輯:陶 理)