徐 兵 朱鵬遠(yuǎn)

(1,2.昌吉學(xué)院物理系 新疆 昌吉 831100)

基于卡諾圖在處理邏輯函數(shù)方面的應(yīng)用研究

徐 兵1朱鵬遠(yuǎn)2

(1,2.昌吉學(xué)院物理系 新疆 昌吉 831100)

卡諾圖是數(shù)字電路邏輯設(shè)計(jì)中必不可少的工具,它在邏輯函數(shù)的處理方面有著較多的應(yīng)用,如簡(jiǎn)化函數(shù)、邏輯運(yùn)算、形式轉(zhuǎn)換等。很好地利用卡諾圖所具有的功能,可以使邏輯電路的設(shè)計(jì)方案達(dá)到最佳。

卡諾圖;邏輯函數(shù);原變量;反變量

1 引言

卡諾圖是數(shù)字電路邏輯設(shè)計(jì)中必不可少的工具,其基本用途是對(duì)邏輯函數(shù)進(jìn)行簡(jiǎn)化,但它還有很多被人們開發(fā)出來的其它用途。在邏輯電路的設(shè)計(jì)中,常常要求使用個(gè)數(shù)及種類均較少的邏輯器件來實(shí)現(xiàn)特定的邏輯功能,這就必須對(duì)已知的邏輯函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)奶幚聿拍軌蜻_(dá)到目的,滿足設(shè)計(jì)要求。本文就卡諾圖在處理邏輯函數(shù)方面的應(yīng)用做一些探討性的研究。

2 卡諾圖用于邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)

邏輯函數(shù)主要有兩種表示方法:邏輯函數(shù)表達(dá)式和卡諾圖,在對(duì)邏輯函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)和運(yùn)算時(shí),應(yīng)用卡諾圖相對(duì)比較簡(jiǎn)單直觀,而且不需要套用很多的定理和公式,易于掌握。當(dāng)函數(shù)包含的變量個(gè)數(shù)不太多時(shí),用卡諾圖進(jìn)行邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)和運(yùn)算顯得尤其方便,這也是卡諾圖的最基本的應(yīng)用。

2.1 邏輯函數(shù)的卡諾圖表示

卡諾圖的一個(gè)重要的特征是能夠在圖形上直觀地反映最小項(xiàng)的相鄰關(guān)系,它將邏輯函數(shù)所涉及的n個(gè)變量分為兩組,兩組變量均按照循環(huán)碼排列,構(gòu)成一個(gè)二維表格。其中,每一個(gè)小格對(duì)應(yīng)于邏輯函數(shù)的一個(gè)最小項(xiàng),二維表格恰好包含了 n變量的邏輯函數(shù)的全部最小項(xiàng)。當(dāng)函數(shù)的變量取值與某小方格代表的最小項(xiàng)相同時(shí),函數(shù)值為1,小方格中也就對(duì)應(yīng)地填入 1。因此,對(duì)于任意一個(gè)“與—或”邏輯表達(dá)式,只要充分利用AB+=A的關(guān)系,就可以快速地將邏輯函數(shù)填入卡諾圖中。如:將 F=AC+用卡諾圖表示出來。該函數(shù)涉及四個(gè)變量A、B、C、D,對(duì)于第一個(gè)“與”項(xiàng)AC,它在卡諾圖中對(duì)應(yīng)的小方格的集合為 A=1,C=1的所有小方格的集合,即:{m10,m11,m14,m15},不必考慮B、D的取值情況;第二個(gè)“與”項(xiàng)在卡諾圖中對(duì)應(yīng)的小方格的集合為 A=1,B=1,C=0的所有小方格的集合,即:{m12,m13},不必考慮D的取值;第三個(gè)“與”項(xiàng)在卡諾圖中對(duì)應(yīng)的小方格的集合為 A=1,B= 0,D=1的所有小方格的集合,即:{m9,m11},不必考慮 C的取值。第四個(gè)與項(xiàng)在卡諾圖中對(duì)應(yīng)的小方格的集合為A=0,B=0,D=1的所有小方格的集合,即:{m1,m3},也不必考慮 C的取值;用這種方法可以快速地得到邏輯函數(shù)的卡諾圖表示結(jié)果,如圖 1所示。

2.2 用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)

①將卡諾圖中 2n個(gè)相鄰的“1”格畫在一個(gè)矩形圈內(nèi)(即卡諾圈);

②圈內(nèi)“1”格要盡量地多;圖上表征邏輯函數(shù)取值為 1的相鄰最小項(xiàng)的相鄰小方格進(jìn)行合并,達(dá)到以簡(jiǎn)單的一個(gè)“與”項(xiàng)替代若干個(gè)最小項(xiàng)的目的。

卡諾圖變量取值組合按循環(huán)碼的規(guī)律排列,使處在相鄰位置的最

③每個(gè)“1”格可以被重復(fù)圈用;

④每個(gè)“1”格必須至少被圈過 1次;

⑤每個(gè)圈中至少有一個(gè)從未被圈過的”1”格;

⑥卡諾圈的個(gè)數(shù)要最少。

寫出最簡(jiǎn)“與—或”邏輯表達(dá)式的方法:一個(gè)卡諾圈寫 1個(gè)“與”項(xiàng),將圈中沒有發(fā)生 0、1變化的變量相乘即可。其中,始終為 1的變量寫為原變量,而始終為 0的變量寫為反變量。然后將所有與項(xiàng)相加,就獲得了邏輯函數(shù)的最簡(jiǎn)“與—或”表達(dá)式。如圖 2所示,按照圈“1”規(guī)則,可畫得三個(gè)卡諾圈,因此最簡(jiǎn)“與—或”邏輯表達(dá)式為:

3 用卡諾圖獲得邏輯函數(shù)的反函數(shù)和對(duì)偶函數(shù)

3.1 用卡諾圖獲得邏輯函數(shù)的反函數(shù)最簡(jiǎn)“與—或”式

原函數(shù)的卡諾圖中的“0”格所對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)即為反函數(shù)所對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)。將它們按照圈“1”格的規(guī)則進(jìn)行操作,即把相鄰的 2n個(gè)“0”格圈為一個(gè)卡諾圈,將其中對(duì)應(yīng)的沒有發(fā)生 0、1變化的變量相乘,作為一個(gè)“與”項(xiàng)。其中,始終為 1的變量寫為原變量,而始終為 0的變量寫為反變量。照此把所有的卡諾圈完成后,將所得的各個(gè)“與”項(xiàng)相加,既得邏輯函數(shù)的反函數(shù)的最簡(jiǎn)“與—或”表達(dá)式。如我們將圖 1所示的邏輯函數(shù)的“0”格全部標(biāo)出,并畫出卡諾圈,如圖 3。則反函數(shù)的最簡(jiǎn)“與—或”形式為:

3.2 用卡諾圖獲得邏輯函數(shù)的對(duì)偶函數(shù)最簡(jiǎn)“與—或”式

首先,由原函數(shù)的卡諾圖獲得其反函數(shù)的全部最小項(xiàng)編號(hào) (即原函數(shù)卡諾圖中的 0格所對(duì)應(yīng)編號(hào))。那么對(duì)偶函數(shù)中的最小項(xiàng)與反函數(shù)中的最小項(xiàng)一一對(duì)應(yīng),其關(guān)系為:若反函數(shù)中最小項(xiàng)編號(hào)為 i,則對(duì)偶函數(shù)中有編號(hào)為 (2n-1)—i的最小項(xiàng) [n為函數(shù)變量個(gè)數(shù) ][3]。由此獲得對(duì)偶函數(shù)的全部最小項(xiàng),填出對(duì)應(yīng)的卡諾圖,然后進(jìn)行圈“1”格的操作,即可寫出對(duì)偶函數(shù)的最簡(jiǎn)“與—或”表達(dá)式。如我們

對(duì)圖 1所示的邏輯函數(shù)求對(duì)偶函數(shù),過程如下:由原函數(shù)的卡諾圖可知反函數(shù)的全部最小項(xiàng)編號(hào)為{0,2,4,5,6,7, 8},則可得對(duì)偶函數(shù)的全部最小項(xiàng)的編號(hào)應(yīng)該是{15,13,11,10,9,8,7},

畫出對(duì)應(yīng)的卡諾圖如圖 4,進(jìn)行圈“1”格的操作,得對(duì)偶函數(shù)最簡(jiǎn)“與—或”式為:

4 用卡諾圖實(shí)現(xiàn)邏輯函數(shù)不同表示形式之間的轉(zhuǎn)換

在數(shù)字邏輯設(shè)計(jì)運(yùn)算中,最基本的邏輯運(yùn)算是“與”、“或”、“非”三種運(yùn)算,通過這三種基本運(yùn)算邏輯函數(shù)可表示成許多不同的形式,常見的有“與—或”式、“或—與”式、“與非—與非”式、“或非—或非”式、“與—或—非”式等五種形式。利用卡諾圖可以很方便地實(shí)現(xiàn)邏輯函數(shù)在這五種形式之間轉(zhuǎn)換,方法簡(jiǎn)單,不易出錯(cuò)。

邏輯函數(shù)的最簡(jiǎn)“與—或”式的獲得方法已在 2.2中細(xì)說,這里就不再舉例說明了。

4.1 將邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)換為“或—與”式

將邏輯函數(shù)填入卡諾圖中,然后按照圈“1”格的方法,對(duì)卡諾圖中的“0”格畫出卡諾圈,如圖 3。一個(gè)圈寫 1個(gè)“或”項(xiàng),將卡諾圈中沒有發(fā)生 0、1變化的變量相加即為“或”項(xiàng)。其中,始終為 1的變量寫為反變量,而始終為 0的變量寫為原變量。然后將各“或”相相乘,既得邏輯函數(shù)的最簡(jiǎn)“或—與”式。如我們寫出圖 1所示的邏輯函數(shù)的最簡(jiǎn)“或—與”式:

4.2 將邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)換為“或非—或非”式

要獲得邏輯函數(shù)的“或非—或非”式,只需要將所獲得的“或—與”式利用 F=和

進(jìn)行變換即可。如對(duì) 4.1中獲得的“或—”與式進(jìn)行變換可得“或非—或非”式:

4.3 將邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)換為“與—或—非”式

要獲得邏輯函數(shù)的“與—或—非”式,只要求出其反函數(shù)的最簡(jiǎn)“與—或”式,然后對(duì)等式兩邊再求一次反即可。我們寫出圖 1所示的邏輯函數(shù)的“與—或—非”式:

5 結(jié)束語

在設(shè)計(jì)實(shí)際的數(shù)字系統(tǒng)時(shí),為了減少所用器件的數(shù)目,往往不限于使用單一邏輯功能的門電路,這時(shí)希望得到的最簡(jiǎn)邏輯式可能既不是單一的“與—或”式,也不是單一的“與—非”式,而是一種混合的形式。因此,究竟將函數(shù)化簡(jiǎn)、變換成哪種形式最為有利,還要根據(jù)選用哪些種類的電子器件而定[4]。通過探究,我們更加充分地了解了卡諾圖在處理邏輯函數(shù)方面的應(yīng)用,為選用器件的種類提供了方便。

[1][4]閆石.數(shù)字電路技術(shù)基礎(chǔ)(第四版)[M].北京:高等教育出版社,1998.

[2]華成英.數(shù)字電路技術(shù)基礎(chǔ)[M].北京:高等教育出版社,2002.

[3]王毓銀.數(shù)字電路邏輯設(shè)計(jì)(第三版)[M].北京:高等教育出版社,1999.

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1671-6469(2010)03-0096-03

2010-05-21

徐兵 (1956-),女 ,甘肅民勤人,昌吉學(xué)院物理系,副教授,研究方向:電工、電子技術(shù)理論與實(shí)踐的教學(xué)與研究。

(責(zé)任編輯:代琴)