鄧文華， 蔣練軍*， 鄧躍龍， 萬(wàn)小軍

(1.湖南城市學(xué)院物理與電子信息工程系，中國(guó) 益陽(yáng) 413000；2.益陽(yáng)醫(yī)學(xué)高等?？茖W(xué)校公共課部，中國(guó) 益陽(yáng) 413000)

電磁特異材料是由一些人工制備的電磁共振單元組成，當(dāng)探測(cè)電磁波的波長(zhǎng)遠(yuǎn)大于組成單元的晶格常數(shù)時(shí)，特異材料可以被看作是一種均勻的有效媒質(zhì)，它具有等效介電常數(shù)和磁導(dǎo)率，這就是有效媒質(zhì)的概念[1]．當(dāng)人們制備出了特異材料樣品后，它是否可以被等效為有效媒質(zhì)，如果可以等效的話如何計(jì)算其有效的介電常數(shù)εeff和磁導(dǎo)率μeff，這些都是特異材料的研究中非常基本和重要的問(wèn)題． 對(duì)于如何計(jì)算體系的等效介電參量，Pendry在1996年提出的金屬線立方格子結(jié)構(gòu)，其有效的介電常數(shù)εeff是利用等效近似的方法得出的經(jīng)驗(yàn)公式[2]；另一類方法是通過(guò)對(duì)特異材料體系內(nèi)非均勻的局域場(chǎng)做積分平均的方法來(lái)定義體系的有效媒質(zhì)[3,4]；另外有人提出了等效回路模型來(lái)計(jì)算體系的有效媒質(zhì)[5-7]．嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，這些方法都是一些近似理論. 其近似的程度有多大，成立范圍是什么，這些都值得進(jìn)一步探討．計(jì)算體系的有效媒質(zhì)參量，有一種大家熟知的方法，就是利用特異材料的透射和反射信息來(lái)求解體系的等效介電參量，因?yàn)樗梭w系的折射率和阻抗的信息，可以通過(guò)反解的方法求得，這就是S參量反解方法[8-9]．盡管人們已經(jīng)提出了很多有效的媒質(zhì)理論和計(jì)算方法，它們也在不同方面獲得了巨大成功，但是傳統(tǒng)方法仍然存在一些問(wèn)題．例如，S參量反解法存在解非唯一的問(wèn)題；在有些情況下，當(dāng)真空中的波長(zhǎng)大于特異材料的晶格常數(shù)時(shí)，即滿足長(zhǎng)波近似條件，體系依然不能被等效為有效媒質(zhì)[10]；有的時(shí)候從薄的特異材料體系計(jì)算出的有效媒質(zhì)不能適用于厚的體系[11-12]，這個(gè)現(xiàn)象非常奇怪，因?yàn)轶w系的有效介電性質(zhì)應(yīng)該是其局域特性，并不應(yīng)該依賴于體系的厚度．面對(duì)這些問(wèn)題，我們覺(jué)得非常有必要進(jìn)一步探討體系的有效媒質(zhì)參量的計(jì)算方法，本文基于推廣的相干勢(shì)近似(Generalized Coherent Potential Approximation，簡(jiǎn)稱GCPA)的方法[13]，采用研究特異材料有效媒質(zhì)性質(zhì)的“準(zhǔn)模”方法，將特異材料放入背景材料中，利用格林函數(shù)的方法來(lái)計(jì)算一維AB結(jié)構(gòu)的電磁特異材料體系的自能，態(tài)密度，從而確定體系的有效媒質(zhì)性質(zhì)．

1 物理模型與理論基礎(chǔ)

圖1 GCPA方法計(jì)算特異材料有效媒質(zhì)性質(zhì)的原理圖

如圖1，將電磁特異材料放入背景材料中，當(dāng)計(jì)算特異材料有效媒質(zhì)的時(shí)候，我們通?？紤]周期性的特異材料結(jié)構(gòu)，這樣不僅利于計(jì)算，而且利于實(shí)驗(yàn)上制備樣品．考慮電磁波在特異材料結(jié)構(gòu)中的散射問(wèn)題，為了使問(wèn)題簡(jiǎn)化，我們選取一層特異材料進(jìn)行研究而把其他區(qū)域替換成背景媒質(zhì)，其介電常數(shù)和磁導(dǎo)率分別用εref和μref來(lái)表示，而且它們可以被任意的調(diào)控．我們選取的這一層有效媒質(zhì)足夠厚，它的性質(zhì)可以代表特異材料整體的性質(zhì)．在這種簡(jiǎn)化下，電磁波的傳播可以通過(guò)格林函數(shù) (Green Function)方法進(jìn)行求解[13]．

考慮電磁波垂直入射到特異材料層的情況，并且確定入射波的極化，這種情況下我們的問(wèn)題可以簡(jiǎn)化為一維標(biāo)量方程的求解，定義一個(gè)格林函數(shù)

(1)

(2)

(3)

G=G0+G0VG=G0+G0TG0，

(4)

其中的T=V+G0VG0+G0VG0VG0+…=V(1-G0V)-1是標(biāo)準(zhǔn)的T矩陣．

若對(duì)散射體系進(jìn)行均勻化，我們需要對(duì)散射體系做構(gòu)型平均[13]，做過(guò)構(gòu)型平均的格林函數(shù)可寫為：

〈G〉c=G0+G0〈T〉cG0.

(5)

定義函數(shù)

(6)

利用(6)并運(yùn)用傅立葉變換將格林函數(shù)寫為：

(7)

我們發(fā)現(xiàn)公式(7)中∑正是電磁波傳播過(guò)程中電磁波模的自能(Self-Energy)，這和研究電子結(jié)構(gòu)中的自能項(xiàng)非常類似[14]．(7) 式說(shuō)明了電磁波在特異材料體系中傳播時(shí)，它仍然可以視作一個(gè)自由的模式，只是多了自能修正項(xiàng)．

根據(jù)散射理論[13]，在弱散射極限下，自能可以寫成：

∑(ω,k)≈T(k,k)/L.

(8)

它和體系沿入射方向的散射振幅有關(guān)，這里的L是體系的尺寸因子，起歸一化的作用．下面來(lái)求解T矩陣，由于電場(chǎng)滿足(1)式，我們可以利用格林函數(shù)和T矩陣進(jìn)行求解：

(9)

其中|φ0〉=exp(ikrefr-ωt)是在背景媒質(zhì)中的自由波函數(shù)．這里省略了時(shí)間因子e-iωt．假設(shè)已經(jīng)求解出體系的S參量，那么利用極限討論可以得到如下結(jié)果:

φ(z)=S21eikrefz,z→∞,φ(z)=eikrefz+S11e-ikrefz,z→-∞.

(10)

利用(9)和(10)式可以得到

T(kref,kref)=2krefi(S21-1),T(-kref,kref)=2krefiS11.

(11)

由此不難發(fā)現(xiàn)，自能∑可以通過(guò)計(jì)算S參量得到．

接下來(lái)討論如何確定特異材料的有效介電參量，方法是利用GCPA的思想，通過(guò)改變背景媒質(zhì)的介電常數(shù)εref和磁導(dǎo)率μref使得體系的自能為零.此時(shí)特異材料的有效介電參量就和背景媒質(zhì)的介電參量相同，從而得到體系的有效媒質(zhì)．但是GCPA的思想在大多數(shù)情況下并不適應(yīng)，因?yàn)轶w系的散射損耗總是存在的，特別是當(dāng)電磁波的頻率接近體系的共振頻率時(shí)，系統(tǒng)的散射損耗更大，因此很難使得體系的自能為零．為了解決這個(gè)問(wèn)題，我們將GCPA的方法進(jìn)行擴(kuò)展，通過(guò)定義電磁波態(tài)密度函數(shù)DOS來(lái)確定體系的有效媒質(zhì)參量，其定義為:

(12)

態(tài)密度函數(shù)DOS不同于傳統(tǒng)的概念，其物理意義是：在頻率為ω處波矢量為k的電磁波模式的存在概率．在特定頻率下，能使得DOS最大化的波矢k決定該頻率處電磁波的模式．在一個(gè)純凈的系統(tǒng)中，體系的自能為零，體系的態(tài)密度DOS是一個(gè)Delta函數(shù)，體系中的電磁波模式是一個(gè)純凈完美的模式；但是在一個(gè)散射系統(tǒng)中，體系的態(tài)密度DOS不再是一個(gè)Delta函數(shù)，體系中的電磁波模式也不再是一個(gè)純凈完美的模式，而是一個(gè)“準(zhǔn)模”(Quasi Mode)．

因此可將態(tài)密度寫成如下形式：

(13)

其中的自能項(xiàng)∑eff是背景材料的介電常數(shù)εref和磁導(dǎo)率μref的函數(shù)．在這個(gè)近似下，態(tài)密度函數(shù)只依賴于εref，μref，因此只需要調(diào)節(jié)這2個(gè)量使得DOS最大，體系的有效介電常數(shù)εeff和磁導(dǎo)率μeff就等于背景材料的介電常數(shù)εref和磁導(dǎo)率μref．

2 理論的數(shù)值模擬

在這一部分，我們通過(guò)一維AB結(jié)構(gòu)的特異材料體系來(lái)驗(yàn)證“準(zhǔn)?！崩碚摚浣Y(jié)構(gòu)如圖2所示，包圍特異材料的背景媒質(zhì)的介電常數(shù)εref和磁導(dǎo)率μref可以任意調(diào)節(jié)．為了方便起見(jiàn)，只計(jì)算一個(gè)單元的特異材料，在x，y方向使用周期性邊界條件，因此體系在x，y方向等效為特異材料的周期性陣列，單元在x，y，z方向的晶格常數(shù)為16 mm×6 mm×7.5 mm．電磁波沿z方向傳播，電場(chǎng)沿x方向，磁場(chǎng)沿y方向．對(duì)于一維AB結(jié)構(gòu)，如圖2(b)所示，這里的A,B代表2層均勻的介質(zhì)，設(shè)定它們的介電及幾何參量為εA=16，μA=1，dA=3.75 mm；εB=4，μB=1，dB=3.75 mm．

(a)準(zhǔn)模方法計(jì)算特異材料有效媒質(zhì)參量的裝置圖 (b) 一維AB結(jié)構(gòu)圖2

圖3 一維AB結(jié)構(gòu)體系的態(tài)密度DOS隨背景材料的介電常數(shù)εref的關(guān)系曲線，計(jì)算的頻率包括f=0.5,1.0,1.5,2.0,3.0 GHz，背景材料的磁導(dǎo)率μref恒為1

要研究體系的有效媒質(zhì)性質(zhì)，利用第一部分介紹的準(zhǔn)模方法，我們不斷變換背景材料的介電常數(shù)εref和磁導(dǎo)率μref并計(jì)算體系的S參量，以此來(lái)計(jì)算體系的自能和態(tài)密度DOS．由于這個(gè)體系不存在磁相應(yīng)，因此我們?cè)O(shè)定背景材料的磁導(dǎo)率μref恒為1，只來(lái)改變背景材料的介電常數(shù)εref，通過(guò)一系列的計(jì)算，我們得到圖3中的f=0.5,1.0,1.5,2.0,3.0 GHz幾個(gè)頻率處，體系的態(tài)密度DOS與背景材料的介電常數(shù)εref之間的關(guān)系圖線．

參考文獻(xiàn)：

[1] PENDRY J B. Negative refraction[J]. Contemp Phys, 2004, 45:191-196.

[2] PENDRY J B, HOLDEN A J, STEWART W J,etal. Extremely low frequency plasmons in metallic mesostructures[J]. Phys Rev Lett, 1996, 76:4 773-4 778.

[3] PENDRY J B, HOLDEN A J, BOBBINS D J,etal. Magnetism from conductors and enhanced nonlinear phenomena[J]. IEEE Trans Microwave Theory Tech, 1999, 47:2 075-2 082.

[4] POPA B, CUMMER S A. Detenmining the effective electromagnetic prop-erties of negative-refractive-index metamaterials from internal fields[J]. Phys Rev B, 2005, 72:165102.

[5] BAENA J D, BONACHE J, MARTIN F,etal. Equivalent circuit models for split ring resonators and complementary split rings resonators coupled to planar transmission lines[J]. IEEE Trans Microw Theory Tech, 2005, 53:1 451-1 456.

[6] LIU R P, ZHAO B, LIN X Q,etal. Evanescent-wave amplification studied using a bilayer periodic circuit structure and its effective medium mode[J]. Phys Rev B, 2007, 75:125118.

[7] AZNAR F, BONACHE J, MARTIN F,etal. Improved circuit model for left-handedlines loaded with split ring resonators[J]. Appl Phys Lett, 2008, 92:043512.

[8] BAKER-JARVIS J, VANZURA E J, KISSICK W A. Improved technique for detennining compley peanittivity with the transmission /reflection method[J]. Trans IEEE Microw Theory Tech, 1990, 38:1 096-1 099.

[9] SMITH D R, SCLMLTZ S, MARKOS P,etal. Determination of effective permittivity and permeability of metamaterials from reflection and trans-mission coefficients[J]. Phys Rev B, 2002, 65:195104.

[10] LI J, ZHOU L, CHAN C T,etal. Photonic band gap from a stack of positive and negative index materials[J]. Phys Rev Lett, 2003, 90:083901.

[11] ROCKSTUHL C, PAUL T, LEDERER F,etal. Transition from thin-film to bulk properties of metamaterials[J]. Phys Rev B, 2008, 77:035126.

[12] ZHOU J, KOSCLMY T, KAFESAKI M,etal. Size dependence and convergence of the retrieval parameters of metamaterials[J]. Photon Nanostr Fundam Appl, 2008, 6:96-100.

[13] SHENG P. Introduction to wave scattering, localization, and mesoscopic phenomena[M]. San Diego:Academic Press, 1995.

[14] ZIMAN J M. Principles of the theory of solids[M]. 2 ed. London:Cambridge University Press, 1972.