龔三瓊

（蘇州高博軟件技術(shù)職業(yè)學(xué)院，江蘇 蘇州 215163）

高職院校高等數(shù)學(xué)課程概念教學(xué)方法初探

龔三瓊

（蘇州高博軟件技術(shù)職業(yè)學(xué)院，江蘇 蘇州 215163）

數(shù)學(xué)概念的教學(xué)直接影響著學(xué)生對數(shù)學(xué)課程和后續(xù)課程的學(xué)習(xí)以及邏輯思維能力的培養(yǎng)，本文對如何做好高職院校數(shù)學(xué)概念教學(xué)進(jìn)行了一些探討。

高職院校；高等數(shù)學(xué)；概念教學(xué)

數(shù)學(xué)概念是揭示數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性和特征的思維形式，在講數(shù)學(xué)概念時應(yīng)聯(lián)系數(shù)學(xué)背景、思想方法，重視演變的過程，不僅要看見數(shù)學(xué)“冰冷的美麗”，還要發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)“火熱的過程”。教師在教學(xué)中要將抽象的概念具體化，使概念與學(xué)生熟知的數(shù)學(xué)知識聯(lián)系在一起，使概念的理解和運(yùn)用與專業(yè)和生活實際緊密聯(lián)系。

高等數(shù)學(xué)課程中，主要有極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分和級數(shù)等概念。筆者在教學(xué)中，對不同概念嘗試采用不同的教學(xué)方法。

一、高職院校高等數(shù)學(xué)課程概念教學(xué)方法探析

1.結(jié)合專業(yè)實際進(jìn)行概念教學(xué)

導(dǎo)數(shù)是微積分學(xué)的一個重要概念，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算又是微積分學(xué)的基礎(chǔ)，弄清導(dǎo)數(shù)的概念十分重要。筆者在教授經(jīng)濟(jì)管理類專業(yè)學(xué)生時，從成本函數(shù)的案例引入導(dǎo)數(shù)的概念。

若產(chǎn)量Q和成本C之間函數(shù)關(guān)系為C＝C（Q），當(dāng)產(chǎn)量變化時，成本相應(yīng)發(fā)生變化。生產(chǎn)廠家要做出關(guān)于某種產(chǎn)品已生產(chǎn)Q0個單位時是否還要擴(kuò)大生產(chǎn)時的合理決策，必須了解：在產(chǎn)量為Q0處，改變產(chǎn)量，成本增加還是減少，增加或者減少多少？

這個平均變化率只能反映產(chǎn)量在[Q0,Q0+△Q]之間時，成本的平均變化程度。接著引入極限思想，揭示在Q0處產(chǎn)量的變化引起成本改變的程度，即Q0處成本的變化率。當(dāng)△Q較小時，成本的平均變化率可以看作在Q0處成本的變化率。即當(dāng)△Q→0時，△C的極限值lim△Q△C即為成本函數(shù)在Q0處的變化率。通過分析指△Q→O△Q△C出，比值 △Q 的極限若存在，極限值即是導(dǎo)數(shù)C’（Q0）。C’（Q0）反映了在 Q0處，產(chǎn)量每改變一個單位，成本約改變C’（Q0）個單位。通過成本改變程度的實例引入導(dǎo)數(shù)的概念，一方面，經(jīng)濟(jì)管理類專業(yè)的學(xué)生容易理解；另一方面，能讓他們體會到數(shù)學(xué)課是學(xué)習(xí)專業(yè)課的重要工具，調(diào)動了他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)課程的積極性。

又如，在給化工類專業(yè)的學(xué)生講解導(dǎo)數(shù)概念時，可以通過分析物質(zhì)的反應(yīng)速度，即單位時間內(nèi)濃度的改變量的案例引入；給電子類專業(yè)學(xué)生講解導(dǎo)數(shù)概念時，可以通過分析電流，即單位時間內(nèi)電量的改變量的案例引入等等。

2.結(jié)合生活實際進(jìn)行概念教學(xué)

數(shù)學(xué)概念來源于實踐。數(shù)學(xué)概念的形成是從大量的實際例子出發(fā)，經(jīng)過比較、分類，從中找出一類事物的本質(zhì)屬性，然后再通過具體的例子對所發(fā)現(xiàn)的屬性進(jìn)行檢驗與修正，最后通過概括得到定義并用符號表示出來。因此，概念的教學(xué)也應(yīng)該從生活實際出發(fā)，經(jīng)過概括和提煉，升華為數(shù)學(xué)概念。

極限思想是高等數(shù)學(xué)里的一種重要思想方法，極限是微積分學(xué)中處理問題的重要工具，所以極限概念的理解就顯得尤為重要。在講解極限概念時，除了介紹我國古代數(shù)學(xué)家劉徽的割圓術(shù)之外，還可以講解如下案例：將一盆80°C的熱水放在一間室溫為20°C的房間里，水的溫度將會逐漸降低，隨著時間的推移，水溫將會越來越接近室溫20°C。通過對這個眾所周知的案例的分析，引出極限的概念，再分析極限的定義。

3.利用幾何直觀進(jìn)行概念教學(xué)

高等數(shù)學(xué)的主要研究對象是具有連續(xù)性的初等函數(shù)，“連續(xù)”這個概念在微積分學(xué)里占有重要的地位。因此，弄清“連續(xù)”這個概念對后續(xù)教學(xué)起著重要作用。目前，高職院校的高等數(shù)學(xué)教材大多是直接給出連續(xù)的數(shù)學(xué)定義。如果在教學(xué)中也按直接給出定義，再分析解釋定義，最后舉例說明的過程講解“連續(xù)”這個概念，勢必讓部分高職學(xué)生在學(xué)習(xí)“連續(xù)”這個概念時有如墜云霧之感，產(chǎn)生高等數(shù)學(xué)難學(xué)的印象，開始放棄高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。筆者在講解“連續(xù)”這一概念時，是按照如下思路來進(jìn)行教學(xué)的：

考慮到高職學(xué)生雖然數(shù)學(xué)基礎(chǔ)普遍較差，但其具備一定的應(yīng)用母語的能力。因此筆者從“連續(xù)”的中文涵義入手，首先提問學(xué)生“連續(xù)”的中文意義，再給學(xué)生一些不同情況的數(shù)學(xué)函數(shù)的數(shù)學(xué)圖像，讓學(xué)生從直觀感覺上說出對應(yīng)圖像是“連續(xù)”還是“間斷”的、某些點(diǎn)處是“連續(xù)”還是“間斷”的，然后結(jié)合圖像從極限的角度分析“連續(xù)點(diǎn)”或是“間斷點(diǎn)”處極限值與函數(shù)值的關(guān)系以及定義域的情況，抽象概括出“連續(xù)”的數(shù)學(xué)概念。最后給出幾個典型的例題，根據(jù)概念進(jìn)行分析，輔以適度的練習(xí)并講解。這個教學(xué)過程從概念的中文涵義入手，結(jié)合學(xué)生對圖像的直觀感覺，由淺入深，由具體到抽象，再由抽象至具體，使得學(xué)生對“連續(xù)”這一概念有了較深刻的印象，理解起來比較容易。從后續(xù)教學(xué)可以看到，這種教學(xué)過程適合于高職院校學(xué)生的認(rèn)知水平，教學(xué)效果良好。

對于高職院校的學(xué)生，高等數(shù)學(xué)課程里很多概念都可以用類似的教學(xué)過程進(jìn)行教學(xué)。例如，函數(shù)的極值、曲線的凹凸性和漸近線等概念都可以先分析概念的中文涵義，再給出例子并做出相應(yīng)圖像，再結(jié)合圖像分析，讓學(xué)生先有感性認(rèn)識，再給出概念。這樣可以使學(xué)生從對文字的理解，結(jié)合對圖形的認(rèn)識，進(jìn)而順利遷移到數(shù)學(xué)概念的理解。這種教學(xué)過程實質(zhì)是利用數(shù)形結(jié)合的思想方法及知識的正遷移，學(xué)生容易接受。

4.結(jié)合數(shù)學(xué)實際進(jìn)行概念教學(xué)

概念教學(xué)還可以從數(shù)學(xué)實際出發(fā)。在講解高階導(dǎo)數(shù)概念時，一些教材利用加速度這個物理概念引入高階導(dǎo)數(shù)的概念，對于中學(xué)物理知識掌握不夠牢固的高職學(xué)生來講，理解起來略顯困難。

筆者在教學(xué)過程中，首先舉出求函數(shù)y=x3+sinx-e3的導(dǎo)數(shù)的例題，求出其導(dǎo)數(shù)y'=3x2+cosx之后，再引導(dǎo)學(xué)生觀察，函數(shù)3x2+cosx還可以繼續(xù)求導(dǎo)數(shù)，得6x-sinx。以此類推，引導(dǎo)學(xué)生分析出對函數(shù)y=x3+sinx-e3的求導(dǎo)工作可以持續(xù)進(jìn)行下去，于是引出高階導(dǎo)數(shù)的概念。這種直接用數(shù)學(xué)例題引入高階導(dǎo)數(shù)概念的方法，學(xué)生容易掌握概念和計算方法。講解幾個例題并讓學(xué)生進(jìn)行一些練習(xí)之后，再把加速度就是路程函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的涵義提出來分析，這樣講解，過渡比較自然，學(xué)生印象深刻，教學(xué)效果良好。

5.將數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)融入概念教學(xué)

數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是數(shù)學(xué)課程教學(xué)的核心，學(xué)生掌握了數(shù)學(xué)思想方法，就能更加快速、深刻、透徹地理解數(shù)學(xué)知識，進(jìn)而學(xué)好高等數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)思想方法隱含在概念中，概念的正確理解有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)的思想方法，反過來，掌握了數(shù)學(xué)思想方法又能促進(jìn)學(xué)生對概念的理解。

在概念教學(xué)時，既要注重數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生和發(fā)展過程，又要注重挖掘隱藏在概念后的思想和方法。把數(shù)學(xué)理論發(fā)現(xiàn)、發(fā)展的過程融入概念教學(xué)中，可以讓學(xué)生感覺到數(shù)學(xué)創(chuàng)新的過程和方法。

概念是一個模式，是許多具體實際問題的抽象，它以純數(shù)學(xué)的形式表明了一類事物和現(xiàn)象所具有的共同的量性特征，所以說，抽象的方法是概念中所蘊(yùn)含的一個重要思想方法。

概念教學(xué)中，啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用歸納和類比的思想方法，弄清概念的內(nèi)涵、外延和背景，學(xué)會抓主要矛盾。例如，在講授多元函數(shù)微積分學(xué)過程中，啟發(fā)學(xué)生與一元函數(shù)微積分學(xué)進(jìn)行類比學(xué)習(xí)；講授空間解析幾何時，啟發(fā)學(xué)生與平面解析幾何進(jìn)行類比學(xué)習(xí)。但多元函數(shù)與一元函數(shù)、空間圖形和平面圖形畢竟有著本質(zhì)的不同，所以要引導(dǎo)學(xué)生抓住主要矛盾。

二、準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)概念的教學(xué)要求

高職數(shù)學(xué)課程的教學(xué)強(qiáng)調(diào)“淡化嚴(yán)密性，注重思維訓(xùn)練”，這在概念教學(xué)中尤為重要。例如，傳統(tǒng)的大學(xué)數(shù)學(xué)課程采用嚴(yán)密的“ε-N”與“ε-δ”定義來講解極限，這種嚴(yán)密的、形式化的定義十分抽象，對高職院校的學(xué)生來說，只要求理解通俗的極限的描述性定義，會結(jié)合函數(shù)圖形判斷函數(shù)的極限即可，對于“ε-N”與“ε-δ”定義不必介紹。

對于一些概念、定理，學(xué)生會結(jié)合函數(shù)圖形理解涵義，得出結(jié)論即可。例如，對于微分中值定理，理工科類專業(yè)學(xué)生能結(jié)合圖形理解定理，進(jìn)行一些簡單的計算和證明即可，而經(jīng)濟(jì)管理類專業(yè)可以不作介紹。又如，筆者在講導(dǎo)數(shù)概念時，不介紹左、右導(dǎo)數(shù)的概念，而是把握導(dǎo)數(shù)實質(zhì)上是極限式，當(dāng)遇到討論分段函數(shù)分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)問題時，從左、右極限的角度進(jìn)行討論。

要注意的是，對一些定義和定理，雖然不講解嚴(yán)格定義和嚴(yán)格證明，但必需強(qiáng)調(diào)有嚴(yán)格的形式化定義和定理的嚴(yán)格證明，直觀形象講解不能代替數(shù)學(xué)上的嚴(yán)格定義和嚴(yán)格證明，以免學(xué)生出現(xiàn)思維偏差。

［1］劉文勇，萬青松.淺析數(shù)學(xué)概念教學(xué)與數(shù)學(xué)思想方法的關(guān)系［J］.九江職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報，2008，（1）.

［2］孫天川.導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)方法的探討［J］.湖州職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報，2008，（3）.

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