劉俊英,曹小紅

（陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,西安替換為 710062）

一致 Fredholm指標(biāo)算子及廣義Weyl型定理

劉俊英,曹小紅＊

（陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,西安替換為 710062）

利用由一致Fredholm指標(biāo)性質(zhì)定義的新譜集σ2（·）研究 Hilbert空間上有界線性算子的廣義Weyl型定理,得到了 T∈B（H）滿足廣義 Weyl型定理的充要條件,同時(shí)將主要結(jié)論應(yīng)用到H（p）類算子.

廣義Weyl定理;廣義a-Weyl定理;一致 Fredholm指標(biāo)算子;譜

譜理論一直是算子理論研究中的一個(gè)熱點(diǎn)問題.從Jacobson定理知道算子乘積的譜滿足:任給兩個(gè)Hilbert空間上的有界線性算子 T和B,TB和B T的譜集中非零元相同.若對算子 T來說,任給有界線性算子B,TB和B T的譜相同,稱算子 T為一致可逆算子.在文獻(xiàn)[1]中,作者給出了算子具有一致可逆性的充要條件.受此啟發(fā),本文給出了算子具有一致 Fredholm指標(biāo)性質(zhì)的充要條件.1909年,H.Weyl[2]在檢查hermitian算子 T的所有緊攝動(dòng)的譜時(shí)發(fā)現(xiàn),λ屬于 T的所有緊攝動(dòng)的譜的充要條件是λ屬于T的譜集但不為 T的譜集中孤立的有限重特征值.現(xiàn)在這個(gè)結(jié)論被稱作Weyl定理.二十世紀(jì)90年代,許多學(xué)者對Weyl定理進(jìn)行了變形和推廣[3-5].本文根據(jù)一致Fredholm指標(biāo)性質(zhì)（見定義1）定義了一種新的譜集,利用該譜集去研究廣義Weyl型定理,將一致Fredholm指標(biāo)性質(zhì)應(yīng)用到了廣義Weyl型定理的判定中.同時(shí)研究了算子演算和 H（p）類算子的廣義Weyl型定理.

1 預(yù)備知識

在本文中,H表示一個(gè)無限維復(fù)Hilbert空間,B（H）為 H上的有界線性算子的全體.對算子 T∈B（H）,σ（T）為 T的譜集;σa（T）表示 T的逼近點(diǎn)譜,ρa(bǔ)（T）=Cσa（T）,T＊為 T 的伴隨算子.用n（T）來表示零空間N（T）的維數(shù),d（T）表示值域R（T）的余維數(shù).稱 T∈B（H）為一個(gè)上半Fredholm算子,若n（T）< ∞且R（T）閉;若 d（T）< ∞且R（T）閉,則稱 T為一個(gè)下半Fredholm算子.算子 T∈B（H）稱為是 Fredholm算子,若R（T）閉且n（T）和 d（T）都有限.若 T∈B（H）為一個(gè)上（或者下）半 Fredholm算子,T的指標(biāo)ind（T）定義為ind（T）=n（T）-d（T）.指標(biāo)為零的Fredholm算子稱為是Weyl算子.算子 T的升標(biāo)asc（T）,為滿足 N（Tn）=N（Tn+1）的最小的非負(fù)整數(shù),若這樣的整數(shù)不存在,則記asc（T）= ∞;而算子 T的降標(biāo)des（T）,為滿足 R（Tn）=R（Tn+1）的最小的非負(fù)整數(shù),同樣當(dāng)這樣的整數(shù)不存在時(shí),記des（T）= ∞.如果算子 T有有限升標(biāo)和有限降標(biāo),那么稱 T為Drazin可逆的.若 T為有有限升標(biāo)和有限降標(biāo)的Fredholm算子,稱 T為Browder算子.算子 T的上（下）半 Fredholm譜σSF+（T）（σSF-（T））,Weyl譜σw（T）,Browder譜σb（T）以及Drazin譜σD（T）分別定義為

2 CFI算子與廣義Weyl型定理

[8]中,作者給出如下一致Fredholm指標(biāo)算子的定義以及判定定理:

定義1稱T∈B（H）是一致Fredholm指標(biāo)算子（簡稱為 CFI算子）或者說算子 T有一致Fredholm指標(biāo)性質(zhì),若對于任意的B∈B（H）,以下情況之一發(fā)生:

（1）TB,B T同時(shí)為 Fredholm算子且ind（TB）=ind（B T）=ind（B）;

（2）TB,B T同時(shí)不為Fredholm算子.

引理1 T∈B（H）是CFI算子的充要條件是以下情況之一發(fā)生:

（1）T是 Weyl算子;

（2）R（T）不閉;

（3）R（T）閉且 n（T）=d（T）= ∞.令

顯然 σ1（T） ? accσa（T） ? σD（T）.T稱為是isoloid,如果isoσ（T） ?σp（T）,其中σp（T）表示 T的點(diǎn)譜.若isoσa（T） ?σp（T）,則稱 T為a-isoloid.

參考文獻(xiàn):

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[11]CAO Xiaohong.A-Browder's theorem and generalized a-Weyl's theorem[J].Acta Mathematica Sinica,English Series,2007,23（5）:951-960.

Abstract:This paper described generalized Weyl type theorems for a bounded linear operatorTdefined on a Hilbert space by means of the new spectrumσ2（·）defined in view of the property of consistency in Fredholm and index.ForT∈B（H）the sufficient and necessary conditions for which the generalized Weyl type theorems hold are established.Meanwhile,the generalized Weyl type theorems forT∈H（p）are obtained.

Key words:generalized Weyl's theorem;generalized a-Weyl's theorem;consistent Fredholm and index operators;spectrum

Consistent Fredholm and index operators and generalized Weyl type theorems

LIU Junying,CAO Xiaohong
（College of Mathematics and Information Sciences,Shaanxi Normal University,Xi'an 710062）

O177.2

A

1000-1190（2010）04-0557-05

2010-03-16.

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（10726043）;教育部新世紀(jì)優(yōu)秀人才支持計(jì)劃項(xiàng)目（2006）;陜西師范大學(xué)中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金項(xiàng)目（GK200901015）.

＊通訊聯(lián)系人.E-mail:xiaohongcao@snnu.edu.cn.