鄭惠江，王太勇，何改云，郝永江

(天津大學(xué)天津市先進(jìn)制造技術(shù)與裝備重點實驗室，天津 300072)

在機(jī)檢測系統(tǒng)使加工中心在原功能的基礎(chǔ)上增加了產(chǎn)品質(zhì)量檢測的功能，建立起無需脫離生產(chǎn)環(huán)境即可完成加工—檢驗—再加工的復(fù)雜空間型面CAD/CAM/CAQ閉環(huán)制造系統(tǒng)(CAD—computer aided design，計算機(jī)輔助設(shè)計；CAM—computer-aided manufacturing，計算機(jī)輔助制造；CAQ—computer aided quality，計算機(jī)輔助質(zhì)量管理)．而從 CAD 數(shù)據(jù)中提取加工零件的幾何特征參數(shù)進(jìn)行測量軌跡的規(guī)劃，是在機(jī)檢測系統(tǒng)實現(xiàn)其基本功能的重要基礎(chǔ)之一．

本文基于 STL文件中三角面片法向量的高斯映射提出一種對工件模型中自然二次曲面特征的判定方法，并通過將快速聚類法和 Gauss-Newton法相結(jié)合，研究了不同類型曲面幾何特征參數(shù)的提取方法．

1 自然二次曲面幾何特征的判別

如圖1所示，考慮到實體造型中出現(xiàn)不完整自然二次曲面及 STL格式文件本身記錄數(shù)據(jù)存在誤差等情況，將組成圓柱表面的三角面片的法向量進(jìn)行高斯映射[5-6]，在單位球面上形成一個在大圓附近的、具有較小寬度的圓帶(或部分圓帶).組成圓錐面(圓臺面)的三角面片的高斯映射，在單位球面上形成一個小圓附近的、具有較小寬度的圓帶(或部分圓帶)；球面的高斯映射為一個單位球面(或部分球面)；平面的高斯映射在單位球面上形成一個投影點附近的較小區(qū)域．將STL模型記錄的三角面片法向量，利用最小二乘法進(jìn)行平面擬合．平面方程用 ax+by+cz+d=0表示，通過求解線性方程組 0=Ax 擬合平面，其中

建立方程 ATAx =0，求解 ATA最小特征值對應(yīng)的特征向量，即求得擬合平面方程系數(shù)(a b c d)，令，則擬合平面的單位法向量為n? =(a ′b′c′)．該平面相對于高斯球球心的距離為d′．計算各個三角面片法向量相對擬合平面帶有符號的距離δi[7]，

式中：Q為所計算的法向量；P為擬合平面上的一點.

對于給定的閾值δ′，若存在多個δi＞δ′，則判定該表面為球面；當(dāng) δi＜ δ′時，若d′? 1 ＜ δ ′′(δ′為給定的閾值)，則給定表面為平面；若d′? 0 ＜ δ ′′，則給定表面為圓柱面；若d′?1＞ δ ′′且d′? 0 ＞ δ ′′，則給定的表面為圓錐面(圓臺面)．δ′和δ′的大小與 STL格式文件的數(shù)據(jù)精度有關(guān)，從工程實際應(yīng)用情況出發(fā)，可以選擇δ′= δ′= 0.001．

圖1 STL模型及其高斯映射圖像Fig.1 STL models and their Gaussian images

2 自然二次曲面特征參數(shù)的提取

在判定出所給定的幾何表面形狀后，即可按其形狀特點，對 STL模型中給定幾何表面上坐標(biāo)點的坐標(biāo)進(jìn)行自然二次曲面特征參數(shù)的提?。?/p>

2.1 球面特征參數(shù)的提取

球面的特征參數(shù)主要是球半徑 r.球面可用方程x2+ y2+ z2+ asx + bsy + csz + ds= 0 來表示，可采用奇異值分解法求解線性方程組 A xs=Bs來擬合球面，得到球面方程的系數(shù) xs=(asbscsds)T[8]．其中A同平面擬合中的A，而

忽然，樹枝搖晃起來，葉子上的水落下來，灑了秀容月明一身。秀容月明驚訝得抬起頭，他看到了一顆顆黑紫色的桑棗，也看到樹丫上坐著一個少女，赤著腳，一雙亮晶晶的眼睛正盯著他，看他濕淋淋的樣子，少女咯咯咯地笑起來。

則球面半徑為

2.2 圓錐面特征參數(shù)的提取

圓錐面的特征參數(shù)主要是錐面高度、大底圓半徑和錐頂角．如圖 2所示，圓錐面向垂直于其回轉(zhuǎn)軸線的平面投影得到的是一個圓環(huán)或者部分環(huán)面扇形．

圖2 圓錐面在與其回轉(zhuǎn)軸線垂直平面上的投影Fig.2 Projections of the circular conical surface on the plane squaring to their spin axes

圓錐面上的各點到該平面帶有方向的最大距離和最小距離之差即為該圓錐面的高度，其錐角θ=2arcsind′．

如圖3所示，圓錐面投影中的小圓和大圓之間分布的三角片數(shù)目較為均勻，坐標(biāo)點的分布密度小圓要大于大圓，利用相鄰兩坐標(biāo)點之間的距離，采用快速聚類法[9]對坐標(biāo)點分類識別，識別出屬于大底圓的坐標(biāo)點．設(shè)集合S為{xi,i = 1 ,2,… ,n }，其中 xi為STL文件中圓錐面上所有的坐標(biāo)點．以 xi與其相鄰坐標(biāo)點間的最小距離()作為樣本進(jìn)行聚類分析，

圖3 STL模型中圓錐面上坐標(biāo)點分布情況Fig.3 Distribution of coordinate points on circular conical surface in STL model

選定樣本值中的最大和最小的量作為初始凝聚點，將n個樣本分為2類．設(shè)2個初始的凝聚點的集合為

計算新的判別標(biāo)準(zhǔn)值

式中 nl為 G2(0)中的樣本數(shù)．

將集合2G中的坐標(biāo)點進(jìn)行旋轉(zhuǎn)平移以及投射變換后，轉(zhuǎn)化為一平面上的離散點集 ( xi1, xi2) (i=1,2,… ,m )，采用最小二乘法將其擬合為平面圓曲線[10-13]，得到所求大底圓半徑．平面上圓方程為[14]

其中 a ≠ 0，x , b ∈R2．通過給定的離散點集 ( xi1, xi2)求解系數(shù)a、b和c．將離散點集中的坐標(biāo)點代入式(2)中，得到線性方程組 B u =0，其中

為了得到一個非平凡的解，通常使u2= 1．因為STL模型中數(shù)據(jù)存在著誤差，可轉(zhuǎn)化為

當(dāng) 0a≠ 時，式(1)變換為

從式(2)中可以得到擬合圓心向量z和半徑r，即

當(dāng)離散點集分布不均勻或者只在部分圓周上分布的情況下，最小二乘法擬合的結(jié)果會出現(xiàn)較大的偏差[14-15]．設(shè)離散點集上各點到圓心的距離方程為

式中 xi=(xi1, xi2)．為了使各點到圓的距離的平方和最小，即求解 k =(z1, z2,r )T，使得

將式(3)對k的各個分量進(jìn)行求偏導(dǎo)數(shù) ? ti( k)/?ki，可得Jacobian矩陣為

引進(jìn)向量函數(shù)

設(shè)Gauss-Newton迭代形式為

取 δ(n)2＝10-6為終止迭代條件，并取離散點集的最小二乘擬合圓的圓心坐標(biāo)和半徑值作為迭代計算的初始向量，迭代求解出圓心坐標(biāo)和該圓半徑．

2.3 圓柱面特征參數(shù)的提取

圓柱面特征參數(shù)是圓柱面的直徑和高度．將圓柱面向垂直于其回轉(zhuǎn)軸線的平面進(jìn)行投影，得到一個圓或者圓弧，其直徑即為圓柱面直徑，而圓柱面上各點到該平面帶有方向的最大距離和最小距離之差即該圓柱面高度．該投影通過空間坐標(biāo)變換后，可將 STL模型中記錄的圓柱面上的坐標(biāo)點轉(zhuǎn)化為一平面上的離散點集，利用式(2)～式(8)求解出圓柱面半徑1r．

3 旋轉(zhuǎn)面特征參數(shù)提取實例

本文所提供的方法已用Visual C++6.0在天津大學(xué)自主開發(fā)的復(fù)雜空間形面制造質(zhì)量在機(jī)檢測系統(tǒng)中實現(xiàn)．下面給出由三維CAD生成的STL文件特征數(shù)據(jù)提取的實例．用 Proe軟件做出柱錐相貫的組合體三維模型，保存成 STL格式文件，如圖 4(a)所示．根據(jù)所讀入的STL文件，對幾何體中間部位的圓錐面和左側(cè)的圓柱面都給出了正確的幾何特征判斷，如圖 4(b)和圖 4(c)所示．并且對這兩部分的幾何特征參數(shù)進(jìn)行了判定，具體結(jié)果如表 1所示．通過實例計算，判別結(jié)果的平均精度達(dá)到了0.006 27%，完全可以滿足工程中實用要求．

圖4 由STL文件提取旋轉(zhuǎn)面幾何特征的判別實例Fig.4 Instances of rotational surface characteristic extraction from STL file

表1 幾何模型的CAD軟件測量數(shù)值和判別數(shù)值Tab.1 Measured values in CAD and identified values of geometry model

4 結(jié) 語

本文提出了從 STL文件中提取出自然二次曲面幾何特征及其參數(shù)的新方法．該方法利用 STL文件中三角面片法向量在高斯映射圖像體現(xiàn)的概率統(tǒng)計規(guī)律，并運(yùn)用快速聚類和Gauss-Newton法相結(jié)合，從STL文件中提取自然二次曲面的幾何特征并確定其相關(guān)數(shù)值．通過對CAD軟件生成的STL文件進(jìn)行特征數(shù)據(jù)提取的實例，驗證了該方法的有效性．根據(jù)該方法利用 Visual C++6.0開發(fā)了相關(guān)軟件功能，并成功應(yīng)用于天津大學(xué)自主開發(fā)的復(fù)雜空間形面制造質(zhì)量在機(jī)檢測系統(tǒng)中．

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