王 健 ，孫 明 ，薛明霞 ，李洪建 ，王學萌

（1.山西大學環(huán)境與資源學院，山西太原030006；2.山西省水文水資源勘測局太谷均衡實驗站，山西太谷030800；3.山西大學黃土高原研究所，山西太原030006；4.山西省農(nóng)業(yè)科學院農(nóng)業(yè)資源綜合考察研究所，山西太原030006）

灰色模型作為一種預測理論，已經(jīng)在各行各業(yè)得到充分的應用，探索其在水文預測中的應用具有現(xiàn)實的意義[1]。其中，王學萌[2]和郝永紅[3]等把灰色理論預測模型應用到泉流量和人口方面的研究取得了很好的效果。針對降水量變化隨機性強、受外界影響因素多、難以準確地用非線性函數(shù)加以描述等特點，本研究提出采用灰色理論預測模型對太原盆地井灌區(qū)降水量在中、短期的變化進行預測。通過對實例建模分析，并進行誤差檢驗，達到精度要求，可用于年降水量的預測，這對農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、生活有重要作用。此外，降水量預測精度的提高，對本研究區(qū)地下水可開采量的確定也具有重要的意義。

1 區(qū)域概況

研究區(qū)域為農(nóng)業(yè)井灌區(qū)，位于山西省太原盆地中部，地理位置為東經(jīng)112°30′～112°33′，北緯37°26′～37°27′，面積7.72 km2。該區(qū)域涉及10個自然村，萬余人，萬余頭牲畜，耕地540余hm2，農(nóng)用地下水開采井9眼/km2，主要種植冬小麥、玉米、谷子、高粱、大豆、秋雜糧、棉花、油料、蔬菜及瓜類等10余種作物，屬純井灌溉區(qū)。

1.1 水文氣象條件

太原盆地井灌區(qū)屬大陸性干旱半干旱氣候，多年平均氣溫為9.9℃，7月份最高，1月份最低；多年平均降水量417.2 mm，主要集中在6—9月份；多年平均水面蒸發(fā)量1 002.9 mm（標準E601蒸發(fā)器測定）；最大凍土深度為92 cm，全年無霜期200 d。

1.2 水資源特征

太原盆地井灌區(qū)及周邊地區(qū)無地表水體，工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)及人畜吃水均依靠開采地下水。北部邊界為汾河支流烏馬河，是一條間歇性河流，上游建設(shè)有中型水庫，一般年份無棄水，豐水年份有水流過。不同頻率年的降水量為：P=20%，降水量508.2 mm；P=50%，降水量 403.6 mm；P=75%，降水量331.5 mm；P=95%，降水量246.6 mm。地下水可開采模數(shù)為19.2萬m3/（年·km2）。

2 研究方法及主要模型

2.1 降水量特征分析

以太原盆地井灌區(qū)1954—2007年（54年）的年降水量作為研究對象，資料來自于太谷縣氣象站和太谷水文均衡實驗站。運用滑動平均法進行趨勢分析（圖1-A）得出，近54年降水量呈遞減趨勢。在年際變化上，除個別年份外，1954—2007年平均降水量的年際波動幅度不是很大，基本上在400 mm左右，降水量的最小值為219 mm，出現(xiàn)在1986年；最大值出現(xiàn)在1977年，降水量為621.2 mm。以11年為基準，把54年的數(shù)據(jù)分為5段。從圖1-B可以看出，1987—1997，1998—2007年2個年份段降水量明顯減少，1987—1997年降水量最少；1954—1964年平均降水量最多。從分段結(jié)果來看，降水量也呈現(xiàn)出明顯的減少趨勢。

表1為太原盆地井灌區(qū)1954—2007年各月降水量的描述性統(tǒng)計結(jié)果。根據(jù)變異系數(shù)（CV）的大小可以粗略估計變量的變異程度，CV≤10%屬于弱變異性，10%≤CV≤100%屬于中等變異性，CV≥100%屬于強變異性。由表1可知，多年各月降水量均有較大變動，其中12，1，2月份屬于強變異性，其余各月的多年平均降水量屬于中等變異性，其中3，11月的CV均為96%，接近于強變異性，由此說明，冬季各月的降水量多年波動較大。

太原盆地井灌區(qū)降水年內(nèi)分配極不均勻，起伏較大。1954—2007年全年降水量71.23%集中在6—9月份，并多以大雨和暴雨形式出現(xiàn)，夏季降水量往往集中在幾場降水之中（圖2）。由圖2可知，1954—2007年太原盆地井灌區(qū)各月平均降水量呈典型的正態(tài)分布，7月降水量達到最大值，為93.4 mm，其比例為22.39%；1月降水量達到最小值，為2.7 mm，其比例為0.65%；冬季（12，1，2月）降水量最少，多年平均 12，1，2月份降水量占全年降水量的1.49%。冬夏降水量懸殊，全年降水量明顯集中于夏季。

表1 1954—2007年太原盆地井灌區(qū)降水量統(tǒng)計 mm

2.2 年降水量的突變分析

對太原盆地井灌區(qū)53年（1954—2006年）的年降水量時間序列，采取滑動的方法連續(xù)設(shè)置基準點，并確定基準點前后2個子序列的樣本數(shù)相同，即n1=n2=10，用滑動t檢驗法計算統(tǒng)計量t（用來檢驗2個隨機樣本平均值的顯著性差異）。為此，我們把一連續(xù)的隨機變量分成2個子樣本集 x1和 x2，μi，Si2和 ni分別代表 xi的平均值、方差和樣本長度（i=1，2）。其中ni需要人為定義。

原假設(shè) H0：μ1－μ2=0，定義一統(tǒng)計量為

這里 sp2是聯(lián)合樣本方差，sp2=為 σ2的無偏估計，顯然，t0～（tn1+n2-2）分布給出信度 α，得到臨界值tx，計算t0后在H0下比較 t0與tα，當 t0≥tα時，否定原假設(shè)，即說明其存在顯著性差異，當 t0＜tα時，則接受原假設(shè)H0。具體應用時，結(jié)合具體的需要選擇ni，并不斷地變動ni，以增進檢查結(jié)果的可靠性[4]。

本次檢驗把太原盆地井灌區(qū)年降水量作為樣本，經(jīng)多次試驗選擇ni=10，代入（1）式，檢驗結(jié)果列于表2。太原盆地井灌區(qū)年降水量時間序列的 t統(tǒng)計量在 1954—1985年超過了信度α=0.001的顯著性水平，1985年的t統(tǒng)計量達到極大值且超過了信度α=0.001的顯著性水平，表明太原盆地井灌區(qū)年降水量在1985年前后存在明顯的突變現(xiàn)象。

表2 1954—2006年降水量滑動t檢驗結(jié)果

圖3為太原盆地井灌區(qū)年降水量累積距平曲線，從圖3可以看出，井灌區(qū)年降水量在1985年以后持續(xù)減少，即從1985年以前為井灌區(qū)年降水量正距平占優(yōu)勢的偏多階段，轉(zhuǎn)變?yōu)?985年以后年降水量負距平占優(yōu)勢的偏少階段[5]。

2.3 灰色系統(tǒng)的引入和模型的建立

影響降水量的因素是紛繁復雜的，不是用幾個指標所能表達清楚的。而且這些因素之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系難以準確描述，它們對降水量的作用也無法精確計算。這反映了降水系統(tǒng)是一個既含有許多已知信息，又存在許多未知或未確知信息的灰色系統(tǒng)[6-8]。對灰色量進行預測，是從自身的時間序列中尋找有用信息建立模型，發(fā)現(xiàn)和認識內(nèi)在規(guī)律并進行預測。但不是說，像降水這樣的灰色量不受任何因素的影響，實際上其所受的影響，已或多或少地反映在起伏波動的數(shù)據(jù)里。正是這些既明白又不完全清楚的眾多因素共同作用的結(jié)果，才獲得了現(xiàn)實的一個灰色量——年降水量[9]。

某個地區(qū)的降水情況是一個綜合、復雜的不確定系統(tǒng)。通過對灰色量用一定的方法處理，建立動態(tài)模型，可將原始數(shù)據(jù)的隨機性弱化，減少原來的不規(guī)律性和干擾性，使分析預測的整體趨勢逼近實際。所以我們可以把某個地區(qū)的降水情況作為一個灰色系統(tǒng)進行研究[10-12]。

2.3.1 灰色系統(tǒng)GM（1，1）降水量分解模型 通過觀察不同時段的降水量數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)該數(shù)據(jù)序列同時存在著幾種不同的趨勢量，大致可以分為3個組成部分，即降水量的長期趨勢量~x（0）（t）、周期波動量E（ti）以及隨機變化量R（t）。運用灰色系統(tǒng) GM（1，1）模型模擬降水量的趨勢量~x（0）（t），通過對GM（1，1）模型殘差的周期分析獲得周期波動量E（ti），合并趨勢量與周期波動量得到降水量的周期修正量，然后通過對周期修正量的殘差分析獲得隨機變化量R（t）。合并趨勢量~x（0）（t）、周期波動量E（ti）和隨機變化量R（t），得到降水量的變化過程，這種方法被稱為灰色系統(tǒng)GM（1，1）分解模型[13]。

2.3.2 降水量的趨勢量 利用GM（1，1）模型分析降水量的總趨勢，首先要對原始的數(shù)據(jù)序列x（0）（t）作一次累加生成后，形成一條單調(diào)增長序列 x（1）（t），它弱化了數(shù)據(jù)列的隨機性，增加了規(guī)律性，然后再建立微分方程。該模型的一階微分方程為：

其中，x（0）（t）代表研究年 t的降水量；x（1）（t）為 x（0）（t）的逐年累加值，即t=1，2，……，n；a為系統(tǒng)的發(fā)展系數(shù)；u 為灰色作用量。求解微分方程（2）得到時間函數(shù)：

對方程（3）再進行累減還原，得到：

方程（3）和（4）即為 GM（1，1）模型進行灰色預測的基本計算公式。x＾（0）（t）即為運用 GM（1，1）模擬得出的降水量的趨勢量。

2.3.3 降水量的周期波動量 降水量的周期波動量要通過對GM（1，1）殘差周期分析獲得，對GM（1，1）模型的殘差序列依次分段用相應周期長度與變幅的正弦（或余弦）曲線去擬合殘差序列，計算公式為：

式中，E（ti）為第i個周期t年的殘差擬合值；Ai為第i周期的最大變幅；Ti為第i周期的長度[14]。降水量周期可根據(jù)殘差序列而確定，對殘差序列擬合最好的正弦（或余弦）曲線的周期即為降水量的波動周期。

最后將計算得到的各個殘差擬合值分別疊加到同一時刻GM（1，1）模型的趨勢量上，即：

2.3.4 降水量的隨機波動量 降水量的隨機波動量可以通過公式計算，即：

合并趨勢量、周期波動量和隨機變化量，可獲得降水量的變化過程。由于隨機波動的不可預測性，實際計算時用其絕對平均值來代替。

式中，Q（t）為模擬的降水量；其余符號同公式（4），（6），（7）。

2.4 降水量的計算與預測

以太原盆地井灌區(qū)1960—2007年降水量作為原始序列建立GM（1，1）模型，求得系統(tǒng)參數(shù)為a=0.006 728 575，u=483.726 6，預測模型為1）（t+1）=-71 366.5e-0.006728575t+71 891.4。其中（＾t）為時間函數(shù)；e為自然函數(shù)的底，e=2.718 282；t為時間自變量。GM（1，1）擬合曲線與降水量的擬合情況如圖4所示[3]。對GM（1，1）的殘差序列作出曲線（圖5中殘差曲線），此時的殘差絕對平均值為=46.613 05，平均相對誤差為12.094 83。根據(jù)殘差曲線可知，殘差序列的周期為 T1=9，T2=7，T3=5，T4=5，T5=7，T6=7，T7=7，函數(shù)類型為正弦。為了方便計算，取殘差絕對平均值為變幅=46.613 05，逐點求出修正值，再疊加到原模型計算值上，形成修正曲線，修正曲線與原始數(shù)據(jù)的擬合情況如圖4所示。修正后的殘差序列作出曲線如圖5所示的殘差修正值。經(jīng)殘差周期修正后，殘差絕對平均值為33.437 1，平均相對誤差為=8.477202。模型精度有明顯提高。

根據(jù)對太原盆地井灌區(qū)降水變化趨勢和特征的研究，結(jié)合上述模型的計算結(jié)果，確定太原盆地井灌區(qū)降水量變化周期T=7。在進行預測時，預測周期T=7，變幅A=100，將T，A值代入公式（6），對2010—2020年的降水量進行預測，結(jié)果列于表3。

表3 2010—2020年降水量預測結(jié)果 mm

3 結(jié)論

太原盆地中部農(nóng)業(yè)井灌區(qū)54年來降水量呈減少趨勢，年內(nèi)平均降水量71.23%集中在6—9月份，12—2月降水量最少，占1.49%，降水量明顯集中于夏季。1954—2007年描述性統(tǒng)計結(jié)果表明，各月降水量變異系數(shù)較大，降水量波動明顯，12，1，2月份屬于強變異性。以11年為基準，把近54年年降水量數(shù)據(jù)分成5段數(shù)列計算平均值，從分段的結(jié)果來看，降水量也呈現(xiàn)出明顯的減少趨勢，1987—1997年段的降水量平均值最小，1954—1964年段的降水量平均值最大。

采用滑動的t檢驗法，對近54年的降水量進行突變分析檢驗，結(jié)果表明，研究區(qū)降水量在1985年前后存在明顯的突變，1985年的t統(tǒng)計量達到極大值，且超過了信度α=0.001的顯著性水平，結(jié)果與圖1-B反映的情況吻合，在1985年后的1987—1997，1998—2007年 2個年份段降水量較 1954—1964，1965—1975，1976—1986年3個年份段降水量有明顯的突變減少。結(jié)合圖3，降水量的累積距平從1985年以前為年降水量正距平占優(yōu)勢的階段，轉(zhuǎn)變?yōu)?985年以后年降水量負距平占優(yōu)勢的階段。

在分析太原盆地井灌區(qū)54年的降水量特征的基礎(chǔ)上，用灰色模型對降水量進行預測，得到GM（1，1）的殘差序列值，殘差絕對平均值46.613 05，平均相對誤差=12.094 83，經(jīng)殘差周期修正后，殘差絕對平均值=33.437 1，平均相對誤差|q（t）|=8.477 202，模型精度有明顯提高。從預測值可以看出，2013，2014，2015年為枯水年，2010，2011，2018年為相對豐水年。根據(jù)預測結(jié)果要做好相應的工作，在太原盆地井灌區(qū)采取科學種植，節(jié)約用水，最大限度保護水資源，采取積極措施建立長效的節(jié)水農(nóng)業(yè)發(fā)展機制[16]。

從實例中總結(jié)出灰色預測模型與一般的時間序列分析、回歸分析建立的預測模型不同，它不需大量的原始數(shù)據(jù)，具有計算量小、計算方便和預測精度高等諸多優(yōu)點，但在實際中，需要不斷地將新測得的降水量值加到原始序列中，以便對原始數(shù)據(jù)序列進行調(diào)整和更新，從而使預測結(jié)果更加準確。

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