唐偉，郭偉

(電子科技大學 通信抗干擾技術國家級重點實驗室, 四川 成都 611731）

1 引言

無線傳感器網(wǎng)絡（WSN, wireless sensor networks）通常由一組固定的傳感器節(jié)點和一組基站構成[1]。傳感器節(jié)點負責收集區(qū)域內(nèi)的信息，并將這些信息封裝為數(shù)據(jù)報文，通過多跳的方式傳遞至基站。常見的應用包括分布式壓縮[2,3]、目標跟蹤[4,5]以及環(huán)境監(jiān)測[6,7]等。無線傳感器節(jié)點往往只配有不可再生的電池，能量極為有限，因此需要設計節(jié)能路由算法以最大化網(wǎng)絡生命期。而路由算法設計主要需要考慮以下幾個方面。首先，鄰近節(jié)點所收集的數(shù)據(jù)之間往往具有很強的相關性，通常采用數(shù)據(jù)聚合來消除數(shù)據(jù)中的冗余信息[8,9]。其次，網(wǎng)絡中可能存在多個基站，相比單一基站的情形更加復雜，基站間的數(shù)據(jù)流量的合理分配以及節(jié)點數(shù)據(jù)的路由路徑等都需要在算法設計中解決[10]。

由于數(shù)據(jù)聚合會改變網(wǎng)絡中的數(shù)據(jù)流量，因而路由協(xié)議的設計上必須要考慮數(shù)據(jù)流量的變化。現(xiàn)有的數(shù)據(jù)聚合模型包括分布式壓縮模型[11]、局部Slepian-Wolf編碼模型[12]以及隨機場模型[13]等。例如，文獻[14]對分布式壓縮模型下的節(jié)能路由進行了研究，證明了在此情況下網(wǎng)絡總體能耗的最優(yōu)化問題中，壓縮算法與網(wǎng)絡的路由結構可以分別獨立考慮。由于分布式壓縮模型中需要獲得全網(wǎng)的數(shù)據(jù)相關信息，難以實現(xiàn)。因此，文獻[12]考慮了局部壓縮算法，即節(jié)點只與鄰居進行信息交換與數(shù)據(jù)壓縮的局部Slepian-Wolf編碼，并通過線性規(guī)劃的方法獲得網(wǎng)絡最小能耗路由算法。文獻[15]考慮了馬氏隨機場中的最小總能耗路由，并提出了一種基于最小生成樹的啟發(fā)式路由算法。文獻[16]研究了高斯隨機場中的最優(yōu)路由問題，對比分析了最小跳數(shù)路由、最小能耗路由以及Chernoff路由的性能。

現(xiàn)有大部分路由算法以網(wǎng)絡總體能耗為目標函數(shù)，難以準確反映網(wǎng)絡的生命期；盡管有人提出了一些最大化網(wǎng)絡中節(jié)點最小生命期的路由算法，然而還很少有將節(jié)點功率控制、數(shù)據(jù)聚合以及多基站三者相結合的路由算法。為此，本文首先分析了多基站無線傳感器網(wǎng)絡中最大網(wǎng)絡生命期路由問題的NP-hard性質(zhì)，然后提出了一種基于生成森林的啟發(fā)式算法。為了設計分布式算法，本文采用了次梯度方法。最后，本文通過大量仿真實驗驗證了啟發(fā)式算法的性能，并表明所提出的分布式算法能夠有效地收斂。

本文組織如下。第2節(jié)介紹系統(tǒng)模型。第3節(jié)給出最大生命期問題，并證明其NP-hard性質(zhì)。第4節(jié)提出基于最小生成森林的啟發(fā)式路由算法。第5節(jié)設計網(wǎng)絡最大化生命期問題的分布式算法。第6節(jié)是仿真實驗及結果分析。第7節(jié)是結束語。

2 系統(tǒng)模型

考慮一個無線傳感器網(wǎng)絡，其中節(jié)點之間通過雙向無線鏈路通信，網(wǎng)絡中的每個節(jié)點與至少一個基站連通。網(wǎng)絡可以被抽象為一個無向圖G(V?,E)，其中V?表示網(wǎng)絡中的傳感器節(jié)點和基站的集合，E表示鏈路的集合。記網(wǎng)絡中的傳感器節(jié)點集合為V，基站集合為S，則記節(jié)點i∈V的鄰居集合為傳感器節(jié)點初始能量為 Ei（單位是Joule），基站沒有能耗限制。每個傳感器節(jié)點i∈V連續(xù)或周期性地向基站報告所收集到的數(shù)據(jù)，且數(shù)據(jù)產(chǎn)生率為 Ri。其中，只要任意一個基站收集到數(shù)據(jù)，該數(shù)據(jù)就算被成功接收。由于無線傳感器網(wǎng)絡具有很強的面向應用性，本文假定網(wǎng)絡鏈路具有足夠帶寬傳輸數(shù)據(jù)。對于無線信道中的沖突、干擾等，可以通過物理層和鏈路層技術進行抑制，目前已有大量文獻對此進行研究，而本文重點研究該類網(wǎng)絡中的路由問題。

3 最大生命期路由問題

記網(wǎng)絡中通過鏈路(i,j)∈E的網(wǎng)絡流為fij。由于采用了數(shù)據(jù)聚合，網(wǎng)絡中的數(shù)據(jù)可以被分為2類：節(jié)點自身收集的原始數(shù)據(jù)以及去除了冗余信息的聚合數(shù)據(jù)。因此，網(wǎng)絡流可以被表示為

根據(jù)式(1)和式(2)，對于網(wǎng)絡中的任意傳感器節(jié)點i∈V，其能量消耗速率可以被表示為

由此，定義節(jié)點的歸一化能量消耗率 ωi（f）于是，節(jié)點i在對應的網(wǎng)絡流 f下的生命期可以被表示為。定義網(wǎng)絡生命期為第一個因為能量耗盡而死亡的節(jié)點的生命期[18]。由于該定義下網(wǎng)絡的生命期往往是其他定義下網(wǎng)絡生命期的下界，例如網(wǎng)絡分裂時的生命期、網(wǎng)絡失去功能時的生命期等等，因此在研究上具有重要意義。通過定義知于是可以得到定義網(wǎng)絡歸一化的能量消耗率為，于是有最大化Tnet（f），等價于最小化

minimize Ω

式(5)表示問題的目標是最小化網(wǎng)絡歸一化能量消耗率Ω，即最大化網(wǎng)絡生命期 Tnet。第1項約束表示離開節(jié)點 i的原始數(shù)據(jù)網(wǎng)絡流必須等于節(jié)點i自身產(chǎn)生的原始數(shù)據(jù)率。第2項約束表示離開節(jié)點 i的聚合數(shù)據(jù)網(wǎng)絡流必須等于來自其他節(jié)點的原始數(shù)據(jù)壓縮所得的聚合數(shù)據(jù)率與來自其他節(jié)點的聚合數(shù)據(jù)網(wǎng)絡流之和。第3項約束表示網(wǎng)絡中各節(jié)點的歸一化能量消耗率都不超過網(wǎng)絡的歸一化能量消耗率Ω。第四項約束表示所有網(wǎng)絡流的選擇數(shù)量之和為網(wǎng)絡中傳感器節(jié)點的數(shù)目。第1、第2及第4項約束一起，表明了網(wǎng)絡中的聚合數(shù)據(jù)網(wǎng)絡流構成一棵沒有環(huán)路的生成樹[19]，即節(jié)點 i向且只向一個鄰居節(jié)點輸出聚合數(shù)據(jù)網(wǎng)絡流，聚合數(shù)據(jù)網(wǎng)絡流最終匯集到基站。下面的定理給出了問題的NP-hard性質(zhì)。

定理 1網(wǎng)絡最大生命期路由問題是一個NP-hard問題。

證明考查經(jīng)典的集覆蓋問題（set cover problem），該類問題已經(jīng)被證明為一類NP-hard問題[20]。問題描述如下：對于集合 F及其子集的集合其中，以及一個正整數(shù)K，找到元素個數(shù)為K集合使得

首先，將集覆蓋問題映射為一個無線傳感器網(wǎng)絡。如圖1所示，網(wǎng)絡中有+ 2個傳感器節(jié)點，分別對應于集合 F中的元素為其子集的集合C中的元素為，以及兩個瓶頸節(jié)點 b1,b2；同時還有S個基站對于任意的當 ai∈cj時，網(wǎng)絡中對應地存在一條鏈路(ai, cj)；每個 cj與 b1,b2間都存在一條鏈路；且 b1,b2與每個基站間都存在一條鏈路。每個傳感器節(jié)點的數(shù)據(jù)產(chǎn)生率都是 1bit/s，每條鏈路的能量開銷都是 1J/bit，各鏈路的數(shù)據(jù)相關性指標都是ρ＜0.5。傳感器節(jié)點a1,a2,… ,aF的初始能量為1J， cj的初始能量為b1的初始能量為b2的初始能量是，基站的初始能量足夠大。顯然，網(wǎng)絡可以在多項式時間內(nèi)通過一個集覆蓋問題來構建。

圖1 集覆蓋問題向網(wǎng)絡最大生命期問題的轉化

然后，考慮使得網(wǎng)絡生命期最大的網(wǎng)絡流。對應于集覆蓋問題的一個最優(yōu)解令其中各元素所對應的節(jié)點將其原始數(shù)據(jù)和聚合數(shù)據(jù)都傳遞至 b1，而余下的C中元素所對應的節(jié)點將其原始數(shù)據(jù)和聚合數(shù)據(jù)都傳遞至 b2。于是，瓶頸節(jié)點 b1需要傳遞來自和）的聚合數(shù)據(jù)及其自身的原始數(shù)據(jù)，故其能量消耗率為；而瓶頸節(jié)點b2需要傳遞來自節(jié)點的聚合數(shù)據(jù)及其自身的原始數(shù)據(jù)，故其能量消耗率為。因而網(wǎng)絡恰好能夠存活1s。同時，這也是網(wǎng)絡的最大生命期。因為瓶頸節(jié)點 b1和 b2總共需要傳遞(bit/s)的數(shù)據(jù)流量，而總能量恰好為生命期不超過1s。由此，求解該類問題的NP-hard性質(zhì)得證。

根據(jù)定理 1，該類網(wǎng)絡中的最大生命期問題是難以直接進行求解的。為此，在下面2節(jié)中，本文提出一種啟發(fā)式路由算法來獲取問題的近似解。

4 基于最小生成森林的路由算法

為了在多基站無線傳感器網(wǎng)絡中實現(xiàn)最小生成森林，本文采用了偽樹根（pseudo root）方法[21]。如圖2所示，其中圓點表示傳感器節(jié)點，五角形表示基站，而中央的多刺形表示偽樹根。偽樹根與各基站通過偽鏈路（pseudo link）相連，且偽鏈路開銷為 0。認為數(shù)據(jù)全部匯集到偽樹根，而每條實際鏈路上的開銷為鏈路兩端節(jié)點傳輸單位比特數(shù)據(jù)所需的總功率，即

圖2 多基站無線傳感器網(wǎng)絡中的最小生成森林

對網(wǎng)絡中的每個傳感器節(jié)點iV∈，記該節(jié)點在生成樹中的父節(jié)點為pi，節(jié)點i的全部聚合數(shù)據(jù)都轉發(fā)給pi。于是，網(wǎng)絡流y與網(wǎng)絡流x存在如下關系

注意式(7)中，對于生成樹中的葉節(jié)點（不是任何節(jié)點父節(jié)點的節(jié)點）l，有 y是，通過遞推，網(wǎng)絡流y可以被網(wǎng)絡流x唯一確定，因而節(jié)點的能耗也可以用x表示。注意到x與y呈線性關系，即對于每條網(wǎng)絡流 yij都存在一組系數(shù)ζ（ij）使得。因而，有

于是，基于生成樹的多基站最大生命期路由問題可以被表示為如下線性規(guī)劃問題

由于無線傳感器網(wǎng)絡是一類分布式網(wǎng)絡，通常要求路由算法具有分布式性質(zhì)。為此，本文采用投影次梯度方法[22]來解決。

5 網(wǎng)絡最大化生命期問題的分布式算法

5.1 投影次梯度方法

對于n維向量 x ∈ ?n，考慮如下最優(yōu)化問題minimize subject to

其中，f是嚴格凸函數(shù)，ig是凸函數(shù)，jh是仿射函數(shù)，而Z是n?中的有界凸多面體。目標函數(shù)對應的拉格朗日函數(shù)為

對于n?+∈λ，定義

x?（λ, μ ） 是唯一的。 d （λ, μ ）在（λ*, μ*） 處的一組次梯度可以表示為。于

投影次梯度方法是一種迭代方法，且將迭代得到的拉格朗日乘數(shù)投影到定義域[23]。設初始的拉格朗日乘數(shù)為（λ(1), μ(1)）。在第 k ≥ 1步中，對拉格朗日乘數(shù)做如下更新

其中，()kα 是迭代步長。滿足下列條件時

迭代算法收斂于 d （λ, μ ）的最大值。若強對偶性質(zhì)成立，則序列收斂于原始問題的最優(yōu)解[24]。

5.2 分布式算法

為了應用次梯度方法，需要將問題(9)中的目標函數(shù)轉化為一個嚴格凸函數(shù)。為此，可以用目標函數(shù)Ω2替換原來的目標函數(shù)Ω，并引入二次協(xié)調(diào)項其中β是一個足夠小的正實數(shù)。于是，得到如下最優(yōu)化問題

minimize subject to

式(17)的拉格朗日函數(shù)為

其中，()kijξ是式(8)中ijx的系數(shù)。于是得到如下序列

對偶函數(shù) d （λ, μ ）在（λ(k), μ(k)）處的次梯度為

從上述可以得出問題的分布式算法。首先，通過分布式 Bellman-Ford[20]算法獲得網(wǎng)絡的最小生成森林，算法復雜度為 O (d|E | )，其中d是網(wǎng)絡的直徑。然后，由葉節(jié)點開始，根據(jù)式(7)遞推得到聚合數(shù)據(jù)流與原始數(shù)據(jù)流之間的相關系數(shù) ζ（ij），于是得到式(8)中對應于 wk(x)中 xij的系數(shù)。此步驟的復雜度為然后根據(jù)式(20)和式(21)計算對偶問題的次梯度，并更新拉格朗日乘數(shù)。其中，式(20)的復雜度為式(21)的復雜度為重復迭代步驟，直到對偶問題的目標函數(shù)下降的相對幅度低于一個足夠小的門限。算法中只涉及到初等代數(shù)運算，實現(xiàn)復雜度較低。

6 仿真實驗

6.1 仿真場景

仿真采用MATLAB數(shù)學工具實現(xiàn)。50～120個節(jié)點與1～5個基站隨機分布在100m×100m范圍的矩形區(qū)域中。節(jié)點初始能量為 1kJ，數(shù)據(jù)產(chǎn)生率都是 1kbit/s，發(fā)射機功率增益路徑損耗系數(shù)η=2，電路驅動功耗數(shù)據(jù)相關系數(shù)α的取值范圍為 0 .001～0.01 /m2。分布式算法中，懲罰系數(shù)β=0.1。對每個網(wǎng)絡規(guī)模，產(chǎn)生 20個隨機生成的網(wǎng)絡拓撲，且所示結果都是各個場景結果的平均值。

6.2 網(wǎng)絡規(guī)模的影響

圖3所示為網(wǎng)絡生命期與網(wǎng)絡規(guī)模之間的關系。其中，數(shù)據(jù)相關系數(shù) α = 0 .05 /m2。從圖3中可以看到，隨著網(wǎng)絡中節(jié)點數(shù)量的增加，網(wǎng)絡生命期也逐漸增加。隨著基站數(shù)量的增加，網(wǎng)絡生命期逐漸增加。同時，隨著基站數(shù)量的增多，新加入基站對網(wǎng)絡生命期的提升幅度逐漸減少。這是因為節(jié)點數(shù)量的增加，引起節(jié)點間距的縮短，有利于發(fā)射功率的降低以及數(shù)據(jù)相關性的提升，同時路由算法能夠有效地均衡節(jié)點數(shù)據(jù)流量負載，這些有利因素超過了網(wǎng)絡原始數(shù)據(jù)率增加所帶來的能耗增加，因而使得網(wǎng)絡生命期增加。而在網(wǎng)絡中引入新的基站，能夠減少節(jié)點與基站間的距離，減輕原生成森林上的數(shù)據(jù)流量，降低節(jié)點負載，提高網(wǎng)絡生命期。隨著基站數(shù)量的增大，新加入的基站只能影響鄰近基站的生成樹，對網(wǎng)絡的影響逐漸變小，因而對網(wǎng)絡生命期的提升效果逐漸減弱。

圖3 網(wǎng)絡生命期與網(wǎng)絡規(guī)模的關系

網(wǎng)絡平均能耗率與網(wǎng)絡規(guī)模的關系如圖 4所示。其中，網(wǎng)絡平均能耗率。隨著網(wǎng)絡規(guī)模的增加，節(jié)點平均能耗率呈下降趨勢。隨著基站的增加，網(wǎng)絡平均能耗率也逐漸降低。而當基站數(shù)量增多時，新加入基站對網(wǎng)絡平均能耗率的降低程度也減少。同樣的變化規(guī)律也能夠從圖 5所示的網(wǎng)絡聚合數(shù)據(jù)率與網(wǎng)絡規(guī)模的變化曲線上體現(xiàn)。

圖4 網(wǎng)絡平均能耗率與網(wǎng)絡規(guī)模的關系

圖5 網(wǎng)絡聚合數(shù)據(jù)率與網(wǎng)絡規(guī)模的關系

6.3 數(shù)據(jù)相關性的影響

圖 6是網(wǎng)絡生命期與數(shù)據(jù)相關性的關系曲線圖。其中，網(wǎng)絡規(guī)模為100個節(jié)點。不難發(fā)現(xiàn)，當數(shù)據(jù)相關系數(shù)增加時，數(shù)據(jù)相關性逐漸降低，網(wǎng)絡中的數(shù)據(jù)流量變大，節(jié)點能耗增加，網(wǎng)絡生命期如圖中所示呈下降趨勢。由于節(jié)點被分布到以各基站為根的生成樹上，當基站數(shù)量增加時，生成樹數(shù)目增加，單棵樹上的節(jié)點數(shù)量減少，所承載的數(shù)據(jù)流量減少，節(jié)點能耗降低，因此網(wǎng)絡生命期也增大。當基站數(shù)量變多時，新加入的基站只能影響越來越少的已有生成樹，對網(wǎng)絡生命期的提高效果降低。這些變化規(guī)律從圖7的網(wǎng)絡平均能耗率與數(shù)據(jù)相關性的關系以及圖 8的網(wǎng)絡聚合數(shù)據(jù)率與數(shù)據(jù)相關性的關系中都有明顯的印證。

圖6 網(wǎng)絡生命期與數(shù)據(jù)相關性的關系

圖7 網(wǎng)絡平均能耗率與數(shù)據(jù)相關性的關系

圖8 網(wǎng)絡聚合數(shù)據(jù)率與數(shù)據(jù)相關性的關系

6.4 分布式算法的收斂性能

圖9 表示的是120個節(jié)點的一個場景下，分布式算法的迭代收斂曲線。其中，歸一化的網(wǎng)絡生命期是通過式(20)迭代所得網(wǎng)絡生命期Ω的中間過程值與式(9)的最優(yōu)解的比值。從圖中可以看到，算法在2 000次迭代內(nèi)可以收斂到最優(yōu)值的110%，在3 300次迭代內(nèi)能夠收斂到最優(yōu)值的105%。而且算法最終能夠相當準確地收斂到最優(yōu)值。表1中是不同網(wǎng)絡規(guī)模下分布式算法的收斂性的數(shù)據(jù)。

圖9 分布式算法的收斂性質(zhì)

表1 不同網(wǎng)絡規(guī)模下分布式算法的收斂性能

7 結束語

本文對多基站無線傳感器網(wǎng)絡中的最大生命期路由算法進行了研究。本文首先證明了該類路由問題的NP-hard性質(zhì)，然后提出了一種基于生成森林的啟發(fā)式路由算法，之后根據(jù)次梯度方法設計了分布式路由算法。本文通過大量的仿真實驗對啟發(fā)式算法的性能進行了分析，并表明所提分布式算法具有較好的收斂性能。

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