啜鋼，劉圣，溫小軍

(1．北京郵電大學(xué) 信息與通信工程學(xué)院，北京 100876；2．北京郵電大學(xué) 泛網(wǎng)無線通信教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100876)

1 引言

衰落信道下的中繼傳輸已經(jīng)被證明是減輕路徑損耗和衰落影響的有效手段，近年來協(xié)作通信受到了廣泛關(guān)注[1～3]，其中，協(xié)作系統(tǒng)的中斷概率性能和功率分配問題更是研究的熱點(diǎn)之一[4～11]。文獻(xiàn)[5]和文獻(xiàn)[6]主要研究了協(xié)作系統(tǒng)只選擇一個(gè)最優(yōu)中繼時(shí)的系統(tǒng)的中斷概率性能。但文獻(xiàn)[5]研究的是在對(duì)稱信道下的中斷概率性能和在此基礎(chǔ)上的功率分配問題，而且其系統(tǒng)模型中沒有考慮從源到目的節(jié)點(diǎn)的直通鏈路，本文則考慮了源到目的節(jié)點(diǎn)的直通鏈路；文獻(xiàn)[6]雖然對(duì)非對(duì)稱信道下的協(xié)作系統(tǒng)中斷概率性能進(jìn)行了一定研究，但其非對(duì)稱模型仍然假設(shè)協(xié)作節(jié)點(diǎn)的源到中繼節(jié)點(diǎn)的參數(shù)和中繼到目的節(jié)點(diǎn)的參數(shù)是相等的，沒有考慮中繼節(jié)點(diǎn)位置的影響，即仍然存在對(duì)稱性，本文中中繼節(jié)點(diǎn)的位置則是完全隨機(jī)的，因此對(duì)應(yīng)的與信道有關(guān)的參數(shù)也是隨機(jī)的，更加符合實(shí)際。文獻(xiàn)[7～9]在對(duì)協(xié)作通信的研究中考慮了中繼的位置因素，引入了路徑損耗。但是文獻(xiàn)[7]研究了只有一個(gè)源節(jié)點(diǎn)、一個(gè)中繼節(jié)點(diǎn)和一個(gè)目的節(jié)點(diǎn)的系統(tǒng)模型，討論了中繼節(jié)點(diǎn)在源節(jié)點(diǎn)和目的節(jié)點(diǎn)之間的直線上變化時(shí)對(duì)系統(tǒng)誤碼率性能影響以及功率分配問題；文獻(xiàn)[8]考慮了中繼位置的隨機(jī)性，推出了協(xié)作系統(tǒng)中斷概率表達(dá)式，但其后面的分析中仍然把中繼節(jié)點(diǎn)局限在源到目的的直線上來；文獻(xiàn)[9]引入了非對(duì)稱信道模型，但是沒有研究其中斷概率性能。與文獻(xiàn)[7～9]相比，本文是在非對(duì)稱信道下研究多個(gè)中繼節(jié)點(diǎn)在一定區(qū)域內(nèi)隨機(jī)分布時(shí)系統(tǒng)的中斷概率性能。文獻(xiàn)[10]推出了對(duì)稱信道下協(xié)作系統(tǒng)的中斷概率表達(dá)式，其中斷概率表達(dá)式中沒有考慮中繼位置，即在非對(duì)稱信道下不適用。文獻(xiàn)[11]提出了一種求多個(gè)獨(dú)立指數(shù)隨機(jī)變量和的方法，本文將其改進(jìn)和擴(kuò)展，應(yīng)用到求解非對(duì)稱信道下的中斷概率中來。本文在文獻(xiàn)[5～11]研究的基礎(chǔ)上，考慮了源到目的節(jié)點(diǎn)直通鏈路，建立了適用于中繼隨機(jī)分布的非對(duì)稱信道下協(xié)作系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，給出了協(xié)作系統(tǒng)中斷概率表達(dá)式的閉式，并對(duì)協(xié)作節(jié)點(diǎn)的位置對(duì)中斷概率和功率分配系數(shù)的影響進(jìn)行了分析。

2 系統(tǒng)模型

該系統(tǒng)由一個(gè)源節(jié)點(diǎn)(單天線移動(dòng)終端)，一個(gè)目的節(jié)點(diǎn)(基站)和M個(gè)隨機(jī)分布的潛在中繼節(jié)點(diǎn)(單天線移動(dòng)終端)組成，分別用 s、d及來表示。其模型如圖1所示[9]，圖1中所有的節(jié)點(diǎn)都以半雙工模式工作。其中，所有的潛在中繼節(jié)點(diǎn)集合 Srelay構(gòu)成了候選協(xié)作域，如圖1中大長(zhǎng)方形區(qū)域；能夠幫助源節(jié)點(diǎn)進(jìn)行通信的中繼節(jié)點(diǎn)構(gòu)成了協(xié)作域，如圖1中小長(zhǎng)方形區(qū)域。

圖1 協(xié)作系統(tǒng)模型圖

整個(gè)系統(tǒng)的協(xié)作協(xié)議采用解碼中繼[12](decode and forward)方式，整個(gè)協(xié)作通信過程分為2個(gè)階段。

1) 第 1階段：源節(jié)點(diǎn)s以 Ps的功率將自己要發(fā)送的信息進(jìn)行廣播，中繼節(jié)點(diǎn)和目的節(jié)點(diǎn)對(duì)其進(jìn)行監(jiān)聽，能夠正確解調(diào)源節(jié)點(diǎn)所發(fā)信息的中繼節(jié)點(diǎn)ri(i ∈ { 1,2,… ,M })，將成為協(xié)作節(jié)點(diǎn)，構(gòu)成源節(jié)點(diǎn)的協(xié)作域，協(xié)作域用集合 D (N)來表示，表示協(xié)作域中用戶的個(gè)數(shù)，表示對(duì)集合求勢(shì)，在此階段目的節(jié)點(diǎn)接收到信息但不解碼。

2) 第2階段：協(xié)作域中的各個(gè)中繼節(jié)點(diǎn)以 Pri的功率將解調(diào)的信息重新編碼后再發(fā)送一遍，目的節(jié)點(diǎn)此時(shí)將2個(gè)階段的信息進(jìn)行最大比合并(MRC)。

設(shè)定系統(tǒng)為總功率受限的系統(tǒng)，系統(tǒng)總功率為P，因此，協(xié)作中繼節(jié)點(diǎn)的發(fā)射功率與源節(jié)點(diǎn)的發(fā)射功率滿足：

當(dāng)候選協(xié)作域中沒有節(jié)點(diǎn)能夠正確解調(diào)源節(jié)點(diǎn)的信息時(shí)，則源節(jié)點(diǎn)將以 P - Ps重新發(fā)送一次。這樣可以保證無論是否有協(xié)作節(jié)點(diǎn)協(xié)作源節(jié)點(diǎn)進(jìn)行通信，從目的節(jié)點(diǎn)看來發(fā)送端總以恒定的功率P進(jìn)行發(fā)送。

假設(shè)源節(jié)點(diǎn)與目的節(jié)點(diǎn)、源節(jié)點(diǎn)與中繼節(jié)點(diǎn)以及中繼節(jié)點(diǎn)與目的節(jié)點(diǎn)之間的信道為平坦瑞利快衰落信道，即在相關(guān)時(shí)間內(nèi)，從任意節(jié)點(diǎn)i到節(jié)點(diǎn)j的信道增益 hi,j保持不變，且假設(shè)它滿足均值為0，方差為1的獨(dú)立循環(huán)復(fù)高斯隨機(jī)變量。如果只考慮小尺度衰落的話，信道就是對(duì)稱信道。但在實(shí)際環(huán)境中影響信道的因素很多，包括大尺度衰落、小尺度衰落和陰影衰落等，在不考慮陰影衰落，只考慮小尺度和路徑損耗的影響時(shí)，信道將變?yōu)榉菍?duì)稱信道。目前多數(shù)文獻(xiàn)在研究協(xié)作系統(tǒng)中斷概率時(shí)，沒有考慮到中繼節(jié)點(diǎn)位置對(duì)中斷概率及功率分配的影響，本文充分考慮到中繼節(jié)點(diǎn)位置的影響，在非對(duì)稱信道下研究協(xié)作系統(tǒng)的中斷概率, 更接近實(shí)際情況。

3 中斷概率分析

3.1 協(xié)作域的確定

定義中斷概率outP 為任意2個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的互信息I小于要求的頻譜利用率R[1,2]的概率：

源節(jié)點(diǎn)的協(xié)作域是能夠正確解碼的中繼節(jié)點(diǎn)的集合，因此，協(xié)作域 D （N ）是所有中繼節(jié)點(diǎn)集合Srelay的一個(gè)子集，定義為[5]

當(dāng)中繼節(jié)點(diǎn)i滿足式(2)中的條件時(shí)，就認(rèn)為它能夠正確解碼[2]。式(2)中 Ps表示源節(jié)點(diǎn)的發(fā)射功率； ds,ri表示從源節(jié)點(diǎn)到第i個(gè)中繼節(jié)點(diǎn)的距離；dsβ,ri表示源節(jié)點(diǎn)到第i個(gè)中繼節(jié)點(diǎn)的路徑損耗；β是路徑損耗因子，表示信號(hào)強(qiáng)度隨距離衰減的速率，一般取2～6；表示源節(jié)點(diǎn)到第i個(gè)中繼節(jié)點(diǎn)的信道功率增益，因?yàn)榧僭O(shè)信道為瑞利衰落信道，所以服從指數(shù)分布。根據(jù)式(2)，任意中繼節(jié)點(diǎn)正確解調(diào)源廣播信息即成為協(xié)作節(jié)點(diǎn)的概率為

中繼節(jié)點(diǎn)之間能否正確解調(diào)源廣播信息是相互獨(dú)立的，因此，由候選協(xié)作域中M個(gè)節(jié)點(diǎn)構(gòu)成任一協(xié)作域的概率為[6]

3.2 基于協(xié)作域的MISO的中斷概率

協(xié)作域確定后，在某個(gè)相關(guān)時(shí)間間隔內(nèi)，目的節(jié)點(diǎn)處采用MRC的信道容量可表示為

根據(jù)式(1)和式(5)，協(xié)作域確定后系統(tǒng)的條件中斷概率表示為

下面利用特征函數(shù)來求解這個(gè)條件中斷概率：

文獻(xiàn)[11]在推導(dǎo)過程中只把λ分為相等和不相等2類，而在本文模型下，因?yàn)橹欣^可能成簇分布在不同的位置，即可能一簇中繼(包含多個(gè)中繼)在同一位置，而這樣的中繼簇又有多個(gè)，因此假設(shè)這些期望當(dāng)中，有K1個(gè)取值為λe1，K2個(gè)取值為λe2，Km個(gè)取值為λem，其余L個(gè)取值各不相同，即λe1…互不相同且，則式(8)進(jìn)一步變換并進(jìn)行展開：

式(9)中的各個(gè)展開分式的系數(shù)Ak，Bk，…，El，都可以由留數(shù)法求得。對(duì)式(9)進(jìn)行求逆變換可以得到γ的概率密度函數(shù)：

把式(10)代入式(7)中得到：

上式就是基于協(xié)作域的虛擬MISO系統(tǒng)的中斷概率。

3.3 協(xié)作系統(tǒng)的平均中斷概率

對(duì)于一個(gè)中繼個(gè)數(shù)為N的協(xié)作系統(tǒng)，可能的協(xié)作域的個(gè)數(shù)(任意中繼的可能組合)為2N個(gè)，考慮到所有情況，整個(gè)協(xié)作系統(tǒng)的平均中斷概率就是所有中斷情況發(fā)生的概率的和，表示為[6]

由上面假設(shè)知：Ps=αP，SNR = PN0,SNR ，對(duì)于式(4)，令則式(4)變?yōu)?/p>

將式(11)和式(13)代入式(12)即得到協(xié)作系統(tǒng)的平均中斷概率的表達(dá)式：

4 仿真和性能分析

仿真時(shí)，在平面直角坐標(biāo)系中用坐標(biāo)表示節(jié)點(diǎn)位置，對(duì)源節(jié)點(diǎn)和目的節(jié)點(diǎn)之間的距離進(jìn)行歸一化，即令s,d1d = ，源節(jié)點(diǎn)位于(0,0)，目的節(jié)點(diǎn)位于(1,0)，候選協(xié)作域中的節(jié)點(diǎn)隨機(jī)地均勻分布于以源節(jié)點(diǎn)和目的節(jié)點(diǎn)的連線為軸線、邊長(zhǎng)為1的正方形內(nèi)，即仿真分析區(qū)域是頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，0.5)，(1，0.5)，(0，-0.5)，(1，-0.5)的正方形。假設(shè)任意節(jié)點(diǎn)間的信道為瑞利衰落信道，信道系數(shù)為均值為 0，方差為1的循環(huán)平穩(wěn)復(fù)高斯隨機(jī)變量，路徑損耗因子β隨具體環(huán)境而有所不同，自由空間下一般取 2，城市蜂窩環(huán)境下取2.7～3.5[14]，本文考慮城市蜂窩傳播環(huán)境，這里取3β=。

圖2是中繼節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為5時(shí)，在不同功率分配系數(shù)α下的信噪比(SNR)和中斷概率(outage probability)的關(guān)系曲線。圖 2中不同的線型代表基于式(13)協(xié)作系統(tǒng)平均中斷概率的理論值，離散的符號(hào)代表協(xié)作系統(tǒng)平均中斷概率的 Monte Carlo仿真值。通過對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，理論值和Monte Carlo仿真值吻合地很好，證明了式(14)可以用來描述協(xié)作系統(tǒng)的中斷概率性能。其中Theory表示理論曲線，Monte Carlo表示Monte Carlo仿真曲線。

圖2 不同α下協(xié)作系統(tǒng)的中斷概率的理論值和仿真值比較曲線

圖3 是功率分配因子α=0.5時(shí)，不同中繼節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)情況下協(xié)作系統(tǒng)的平均中斷概率與信噪比的關(guān)系曲線。每次隨機(jī)生成多個(gè)不同數(shù)目不同位置的中繼節(jié)點(diǎn)，采用Monte Carlo仿真得到系統(tǒng)平均中斷概率，然后與理論值相比較，對(duì)比發(fā)現(xiàn)二者也是吻合的，說明了式(14)描述協(xié)作系統(tǒng)中斷概率性能的精確性。

圖3 不同中繼節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)下協(xié)作系統(tǒng)的中斷概率的理論值和仿真值比較曲線

圖4 是功率分配因子確定(α=0.5)時(shí)，相同個(gè)數(shù)的中繼(中繼個(gè)數(shù)為 10)不同位置分布時(shí)，協(xié)作系統(tǒng)的中斷概率與信噪比的關(guān)系曲線。圖中的“場(chǎng)景”即代表中繼的不同的位置分布，從圖4中可以看出，在功率分配因子和中繼個(gè)數(shù)都確定的情況下，不同分布的協(xié)作域也會(huì)產(chǎn)生不同的中斷概率性能，即中繼節(jié)點(diǎn)的分布直接影響到系統(tǒng)的中斷概率性能，因此，在研究中斷概率時(shí)，其位置因素不容忽視。

圖4 相同中繼節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)(10)不同位置分布下的中斷概率曲線

圖5 是不同中繼個(gè)數(shù)下有直通鏈路和無直通鏈路下中斷概率的對(duì)比。圖5中實(shí)線代表有直通鏈路，虛線代表無直通鏈路，從對(duì)比可以看出，系統(tǒng)中有直通鏈路時(shí)的中斷概率性能要優(yōu)于無直通鏈路的情況，而當(dāng)中繼個(gè)數(shù)比較多時(shí)，這種差距就有變小的趨勢(shì)。

圖5 不同中繼個(gè)數(shù)下系統(tǒng)模型中有直通鏈路和無直通鏈路的對(duì)比

上面的仿真說明，式(14)可以比較精確地描述協(xié)作系統(tǒng)的中斷概率性能，下面就在式(14)的基礎(chǔ)上討論基于中斷概率性能的最優(yōu)功率分配問題。

對(duì)于功率分配問題的研究，文獻(xiàn)[6,9,15,16]已給出一些結(jié)論。其中文獻(xiàn)[6]指出在采用 DF的協(xié)作方式下，前后2階段的最優(yōu)功率分配系數(shù)α為0.5；文獻(xiàn)[15]通過統(tǒng)計(jì)搜索的辦法指出在大多數(shù)網(wǎng)絡(luò)配置情況下，最優(yōu)功率分配系數(shù)α為0.5～0.6；文獻(xiàn)[16]結(jié)合有限比特反饋進(jìn)行功率分配使得中斷概率得到較大改善。本文在非對(duì)稱信道模型下對(duì)該問題進(jìn)行分析。圖6和圖7為中繼節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為8時(shí)，隨機(jī)生成的協(xié)作域?qū)ψ顑?yōu)功率分配系數(shù)α的影響。各圖中曲線從上至下為信噪比從8～12dB變化時(shí)協(xié)作系統(tǒng)中斷概率隨功率分配因子α的變化情況。*代表最優(yōu)α的位置，表1中(X ,Y)對(duì)應(yīng)協(xié)作節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)。

圖6 α與中斷概率的關(guān)系圖(1)

圖7 α與中斷概率的關(guān)系圖(2)

通過觀察圖6和圖7可以發(fā)現(xiàn)，在非對(duì)稱信道的協(xié)作通信系統(tǒng)中，考慮了源到目的節(jié)點(diǎn)的鏈路增益后，由于中繼節(jié)點(diǎn)的位置的隨機(jī)性，最優(yōu)功率分配系數(shù)并不是一個(gè)固定的值，也不限于一個(gè)較小的范圍，而是在一個(gè)較大的范圍內(nèi)波動(dòng)。因此，對(duì)于一般的無線信道環(huán)境，考慮到中繼節(jié)點(diǎn)的位置因素，在系統(tǒng)各節(jié)點(diǎn)無法得到精確的信道信息時(shí)，最優(yōu)α的值隨中繼位置分布的不同而不同。

另外，從中斷概率和α的關(guān)系圖及其相對(duì)應(yīng)的協(xié)作節(jié)點(diǎn)的位置坐標(biāo)可以看出：當(dāng)中繼節(jié)點(diǎn)的平均位置分布在源節(jié)點(diǎn)和目的節(jié)點(diǎn)的中間時(shí)，最優(yōu)α主要集中在0.5附近(如圖7所示)；而當(dāng)中繼節(jié)點(diǎn)的平均位置靠近源節(jié)點(diǎn)時(shí)，則最優(yōu)α偏小(如圖6中實(shí)線所示)；中繼節(jié)點(diǎn)的平均位置靠近目的節(jié)點(diǎn)時(shí)，最優(yōu)α偏大(如圖6中虛線所示)。這個(gè)結(jié)論與實(shí)際情況是相符的，當(dāng)中繼節(jié)點(diǎn)的平均位置靠近源節(jié)點(diǎn)時(shí)，源節(jié)點(diǎn)以較小的功率進(jìn)行廣播，就可以保證源到中繼節(jié)點(diǎn)的鏈路不會(huì)中斷，從而協(xié)作節(jié)點(diǎn)可以以更多的功率進(jìn)行中繼，整個(gè)系統(tǒng)的平均性能就能達(dá)到最優(yōu)；而當(dāng)中繼節(jié)點(diǎn)的平均位置靠近目的節(jié)點(diǎn)時(shí),源節(jié)點(diǎn)則需以較大的功率進(jìn)行廣播才能保證源到中繼的鏈路不會(huì)中斷，從而協(xié)作節(jié)點(diǎn)以比較小的功率進(jìn)行中繼，系統(tǒng)的平均性能就可以達(dá)到最優(yōu)。

5 結(jié)束語

本文考慮了中繼節(jié)點(diǎn)位置的隨機(jī)性，首先建立了更貼近于實(shí)際的非對(duì)稱信道下協(xié)作系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，推導(dǎo)出了非對(duì)稱信道下協(xié)作系統(tǒng)中斷概率的表達(dá)式，仿真證明該數(shù)學(xué)模型可以比較精確的描述協(xié)作系統(tǒng)的中斷概率性能。同時(shí)分析了節(jié)點(diǎn)位置對(duì)協(xié)作系統(tǒng)中斷概率性能的影響，然后根據(jù)此數(shù)學(xué)模型研究了在總功率受限條件下協(xié)作系統(tǒng)的最優(yōu)功率分配問題。研究表明功率分配因子α和路徑損耗都會(huì)影響協(xié)作方案的中斷概率。在考慮了位置因素的影響后，最優(yōu)功率分配因子在一個(gè)較大的范圍內(nèi)波動(dòng)，而且隨中繼的位置分布而變化。另外，從仿真結(jié)果可以看出當(dāng)中繼節(jié)點(diǎn)的平均位置靠近源節(jié)點(diǎn)時(shí)，最優(yōu)的功率分配因子會(huì)小于0.5，即源節(jié)點(diǎn)以比較小的功率進(jìn)行廣播，整個(gè)系統(tǒng)的平均性能就能達(dá)到最優(yōu)，而當(dāng)中繼節(jié)點(diǎn)的平均位置靠近目的節(jié)點(diǎn)時(shí),源節(jié)點(diǎn)則需以比較大的功率進(jìn)行廣播，協(xié)作節(jié)點(diǎn)只要比較小的功率進(jìn)行中繼，系統(tǒng)的平均性能才能達(dá)到最優(yōu)。

表1 協(xié)作節(jié)點(diǎn)位置坐標(biāo)

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