林丹玲

（韓山師范學院 數(shù)學與信息技術系，廣東 潮州 521041）

偶數(shù)階中立型時滯微分方程的振動性

林丹玲

（韓山師范學院 數(shù)學與信息技術系，廣東 潮州 521041）

研究一類非線性的偶數(shù)階中立型時滯微分方程，得到了該類方程解振動的幾個新的判別準則，得到的結果推廣了已有文獻中的結果.

非線性；中立型；時滯微分方程；振動

近年對中立型時滯微分方程振動性的研究增長很快[1-5]，然而已有文獻大多研究一階或二階的情況，對高階研究較少. 本文考慮如下一般形式的非線性偶數(shù)階中立型方程：

1 引理

引理 1[6]設u∈Cn([t,∞ ),(0,∞))，u(n)(t) ≤0不恒為零，則存在t≥t和整數(shù)l∈ {0,1,,n}，n+奇數(shù)，使對t≥t有u(k)(t)>0,0≤k≤l且(? 1)k+lu(k)(t) >0,l≤k≤n.

引理2[7]設引理1的條件成立，且u(n?1)(t)u(n)(t)≤0,t≥t，則存在常數(shù)θ∈ (0,1)和M>0，使得對充分大的t有

2 主要結果

定理1假設

H2）存在函數(shù)H(t,s)∈C′(D,R)及h(t,s)∈C(D,R)，其中D={(t,s)|t≥s≥t0}滿足

若存在常數(shù)θ∈ (0,1)和M>0，使得

則方程（1）的所有解振動.

證明假設方程（1）有非振動解x(t). 不失一般性，設x(t)是方程（1）的最終正解，則存在t1≥t0使得x(t)> 0,x(t?τ) >0,x[g(t)]>0,t≥t1.

則有y(t)≥x(t)>0,y(n)(t)≤0,t≥t. 由引理1，存在t≥t使得y′(t)>0,y(n?1)(t)>0,t≥t.

1212

由此可得，對于任意的t≥t2，有

對上式令t→∞，并取上極限得

與式（2）矛盾. 證畢.

定理2假設定理1中的條件H1）成立，如果存在常數(shù)m≥2和函數(shù)ρ(t)∈C′([t0,∞),(0, ∞))，使得

則方程（1）的所有解振動.

證明假設方程（1）有非振動解x(t). 不失一般性，設x(t)是方程（1）的最終正解，則由定理1證明中的式（7），有

令t→∞，并取上極限得：

則方程（1）的所有解振動.

證明假設方程（1）有非振動解x(t). 不失一般性，設x(t)是方程（1）的最終正解，則由定理2的證明知存在t2≥t1≥t0及常數(shù)θ∈ (0,1)和M>0，使得當t>u≥t2時有

令t→∞，取下極限，并由式（13）可得?(u)≤ρ(u)z(u),u≥t2，因此

則由式（10）可知

注意到式（13），有

在式（16）中令t→∞，取上極限，并使用式（17）可得

因此對充分大的n，有

另一方面，由Schwarz不等式得

令n→∞，并注意到式（19），得

與式（14）矛盾. 證畢.

[1]ELABBASY E M, HASSAN T S, SAKER S H. New oscillation criteria for first order nonlinear neutral delay differential equations[J]. J Appl Math Comput, 2006, 2(1/2): 99-118.

[2]ELABBASY E M, HASSAN T S, SAKER S H. Oscillation criteria for first order nonlinear neutral delay differential equations[J]. J Differential Equations, 2005, 134: 1-18.

[3]WANG Peiguang, GE Weigao. Certain of second differential inequality of neutral type [J]. Appl Math Letters, 2000, 13: 45-51.

[4]WANG Peiguang, WU Yonghong. Further results on differential inequality of a class of second order neutral type [J]. Tamkand Journal of Mathematics, 2004, 35(1): 43-51.

[5]師文英，王培光. 一類二階中立型泛函微分方程的振動性[J]. 數(shù)學的實踐與認識，2004, 34(3): 125-132.

[6]KIGURADZE I T. On the oscillation of solutions of the equationsgnu=0[J]. Mat Sb, 1964, 65: 172-187.

[7]PHILOS CH G. A new criterion for the oscillatory and asymptotic behavior of delay differential equations [J]. Bull Acad Pol Sci Ser Sci Mat, 1981, 39: 61-64.

[責任編輯：熊玉濤]

Oscillation of Higher Order Neutral Delay Differential Equations

LIN Dan-ling
(Department of Mathematics and Information, Hanshan Teachers College, Chaozhou 521041, China)

The oscillatory criteria of even order nonlinear neutral delay differential equations are studied. The results obtained extend several results in known literature.

nonlinear; neutral; delay differential equation; oscillation

O175

A

1006-7302（2010）02-0006-46

2009-12-10

林丹玲（1963—），女，廣東揭陽人，副教授，碩士，研究方向：泛函微分方程，E-mail:cjxldl@126.com.