陳 敏

（黃淮學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)系，河南 駐馬店 463000）

L’ Hospital法則的應(yīng)用及其常見問題

陳 敏

（黃淮學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)系，河南 駐馬店 463000）

介紹了L’ Hospital法則在未定式極限求解方面的應(yīng)用，討論了L’ Hospital法則的應(yīng)用中易出現(xiàn)的問題并給出了相應(yīng)的解決方法．在用L’ Hospital法則求極限時(shí)，必須對(duì)L’ Hospital法則成立的條件進(jìn)行驗(yàn)證，否則可能得到錯(cuò)誤的結(jié)果．

L’ Hospital法則；未定式；極限

L’ Hospital法則是求解未定式極限的重要方法，它可以求解的未定式極限的主要類型有0/0，∞/∞，0·∞，∞?∞，1∞，∞0和00型．由于表示這些極限的函數(shù)或變量形式多樣，變化無窮，在運(yùn)用L’ Hospital法則時(shí)，必須注意是否符合法則成立的條件，否則可能導(dǎo)致運(yùn)算的繁瑣甚至得到錯(cuò)誤結(jié)果．

1 L’ Hospital法則

2 0/0型和∞/∞型極限的求解

例1 求下列極限[1―2]：

解：1)該極限屬于0/0型未定式，可直接用L’ Hospital法則求解．

2)該極限屬于∞/∞型未定式，也可以直接用L’ Hospital法則求解．

由例1可知，對(duì)于符合L’ Hospital法則要求的0/0型及∞/∞型未定式，可結(jié)合極限的運(yùn)算法則及等價(jià)無窮小代換等方法，使運(yùn)算過程得到簡(jiǎn)化．

3 0·∞型和∞?∞型極限的求解

對(duì)于0·∞型及∞?∞型未定式極限，一般首先作代數(shù)恒等變形，將其化為 0/0型或∞/∞型未定式極限，然后應(yīng)用 L’Hospital法則求解．

例2 求下列極限[3]：

解：1)該極限屬于0·∞型，可以化為0/0或∞/∞型．

2)該極限是∞?∞型未定式，對(duì)極限表達(dá)式的兩分式通分后可化為0/0型未定式．

4 1∞型、∞0型和00型極限的求解

對(duì)于1∞型、∞0型和00型未定式極限，一般可先用對(duì)數(shù)的性質(zhì)、代數(shù)恒等變形等方法把極限表達(dá)式的冪指數(shù)函數(shù)化為lim uv=exp(limv lnu)的初等函數(shù)形式，再對(duì)limv lnu恒等變形后應(yīng)用L’ Hospital法則求解．

例3 求下列極限[2―3]：

由例3可知，在應(yīng)用L’ Hospital法則求冪指函數(shù)的極限時(shí)，用代數(shù)替換等方法可簡(jiǎn)化計(jì)算．

5 L’ Hospital法則的應(yīng)用中應(yīng)注意的問題

應(yīng)用L’ Hospital法則求極限時(shí)，應(yīng)注意以下問題：

(1)只有未定式極限，才能用L’ Hospital法則求解，否則會(huì)得到錯(cuò)誤的結(jié)果．

(2)由于L’ Hospital法則的條件是充分而非必要的，因此limu′/v′不存在并不說明limu/v也不存在，可運(yùn)用其他方法求解．

(3)若分子、分母多次求導(dǎo)后極限表達(dá)式出現(xiàn)循環(huán)，并不代表極限不存在，可通過恒等變形等方法求解．

(4)在應(yīng)用L’ Hospital法則時(shí)，可綜合應(yīng)用恒等變形、變量代換、因式分解、等價(jià)無窮小替換等方法，從而簡(jiǎn)化求解過程．

(5)對(duì)于一些多元函數(shù)的極限，可以通過變量代換將其變換為一元函數(shù)的極限函數(shù)，然后用L’ Hospital法則求解．

分析：原極限是存在的，但不適合用L’ Hospital法則求解．此問題可用無窮小性質(zhì)求解．

這種解法較為繁瑣，稍不注意就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤．

例7的另一種解法如下：

綜上所述，在用 L’ Hospital法則求極限時(shí)，必須對(duì) L’Hospital法則成立的條件進(jìn)行驗(yàn)證，否則可能得到錯(cuò)誤的結(jié)果．另外，對(duì)所求極限表達(dá)式的形式進(jìn)行靈活變換，根據(jù)極限表達(dá)式的特點(diǎn)將L’ Hospital法則與其他方法相結(jié)合，可以簡(jiǎn)化極限的求解．

[1] 周誓達(dá)．微積分（經(jīng)濟(jì)類與管理類）[M]．北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，2005．

[2] 費(fèi)定暉．吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集題解[M]．濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2003．

[3] 傅英定，謝云蓀．微積分：上冊(cè)[M]．北京：高等教育出版社，2003.

〔責(zé)任編輯 張繼金〕

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1006-5261(2010)05-0028-02

2009-11-18

陳敏（1982―），女，河南正陽人，助教．