李兵,謝里陽,武瀅,魏玉蘭

(1.東北大學(xué)機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院,沈陽 110004;2.多倫多大學(xué)機(jī)械與工業(yè)工程系,多倫多 M5S 3G8加拿大)

0 引言

機(jī)器人被廣泛地應(yīng)用在現(xiàn)代加工技術(shù)、機(jī)械裝備、航空航天等領(lǐng)域里。并聯(lián)機(jī)器人相對(duì)串聯(lián)機(jī)器人具有高強(qiáng)度比、剛度比和更精確的運(yùn)動(dòng)軌跡而越來越多被采用。為了提高系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的速度和加速度,較輕的結(jié)構(gòu)被采用。但由于機(jī)器人結(jié)構(gòu)的柔性和慣性力造成了系統(tǒng)的殘余振動(dòng),而這些振動(dòng)影響了機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)軌跡,使系統(tǒng)控制更為困難。輸入整形法能有效地抑制柔性機(jī)構(gòu)和機(jī)器人的殘余振動(dòng)[1-2]。

輸入整形法,這種簡單有效的前反饋方法,它根據(jù)系統(tǒng)模型的共振頻率和阻尼比計(jì)算出一系列脈沖信號(hào),將這一系列脈沖與系統(tǒng)期望的輸入信號(hào)進(jìn)行卷積并作為輸入信號(hào)輸出給系統(tǒng),從而抑制了系統(tǒng)的殘余振動(dòng)。對(duì)于參數(shù)不確定系統(tǒng)也可以使用這種方法[3],與閉環(huán)控制策略相結(jié)合可以提高系統(tǒng)的魯棒性[4],也可以很好的抑制非線性系統(tǒng)的殘余振動(dòng)[5]。在脈沖序列里加入負(fù)脈沖能減少系統(tǒng)響應(yīng)的時(shí)間延遲,即負(fù)脈沖輸入整形器能在抑制系統(tǒng)殘余振動(dòng)的同時(shí)獲得更快的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)[6]。然而脈沖的幅度影響系統(tǒng)的減振效果,需要選擇一個(gè)合理的脈沖幅度,從而既能減少系統(tǒng)響應(yīng)的時(shí)間延遲又能更好地抑制系統(tǒng)的殘余振動(dòng)。單位幅度負(fù)脈沖輸入整形器能夠滿足這種要求。

1 系統(tǒng)模型和動(dòng)態(tài)方程

1.1 系統(tǒng)模型

一種 3自由度(3-DOF)平面并聯(lián)機(jī)器人是由 3個(gè)對(duì)稱布置的連接桿以閉環(huán)形式組成,每一個(gè)連接桿都有 2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)約束和一個(gè)直線位移約束,如圖 1。選用質(zhì)量比較輕的連接桿為了提高系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的速度和加速度,但卻造成了系統(tǒng)強(qiáng)烈的殘余振動(dòng)。系統(tǒng)的殘余振動(dòng)越嚴(yán)重,運(yùn)動(dòng)軌跡精度越差。因此,必須使用一個(gè)有效的方法抑制系統(tǒng)的殘余振動(dòng)。

圖 1 3-DOF并聯(lián)機(jī)器人系統(tǒng)的裝置圖

1.2 系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程

這種 3-DOF平面并聯(lián)機(jī)器人系統(tǒng)坐標(biāo)系圖,如圖2,給出了每個(gè)連接桿變形與不變形的兩種狀態(tài)[7]。三個(gè)連接桿的尺寸是一樣的,長為 200mm,寬為 30mm,厚為 2mm,運(yùn)動(dòng)平臺(tái)上每兩個(gè)旋轉(zhuǎn)鉸鏈的中心距離是100mm,每個(gè)滑塊所允許的運(yùn)動(dòng)行程為 400mm,連接桿的材料是一種鋁合金,這種材料的彈性模量E=7.1×1010N/m2,材料的質(zhì)量密度 ρ=2.77×103Kg/m3,兩個(gè)連接桿末端的集中轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 JBi=JCi=5.815×10-5Kg?m2。把連接桿看成柔性體,并將其簡化為Euler-Bernoulli梁模型,同時(shí)把運(yùn)動(dòng)平臺(tái)和滑塊看作剛體。根據(jù)機(jī)器人的特性,柔性連接桿采用了兩端簡支的邊界條件。

圖 2 3-DOF并聯(lián)機(jī)器人系統(tǒng)的坐標(biāo)系圖

使用拉格朗日方法,這種 3-DOF并聯(lián)機(jī)器人的動(dòng)態(tài)方程矩陣為[7]：

其中,M是系統(tǒng)的模態(tài)質(zhì)量矩陣,K是模態(tài)剛度矩陣,Ffg是剛體在彈性振動(dòng)中運(yùn)動(dòng)所造成的模態(tài)力,--表示剛體運(yùn)動(dòng)對(duì)柔性連接桿造成的彈性振動(dòng)的影響。

通過數(shù)字仿真可得,這種 3-DOF機(jī)器人柔性連接桿的前三階固有頻率為 70.5Hz、170.6Hz和 280.8Hz。由實(shí)驗(yàn)獲得的前兩階固有頻率和阻尼比分別為76.6Hz、231.2Hz、0.057和 0.017。

2 負(fù)脈沖輸入整形

負(fù)脈沖輸入整形器會(huì)減少系統(tǒng)響應(yīng)的時(shí)間延遲。不像正脈沖輸入整形器中各個(gè)脈沖幅度均為正值且幅度和等于 1,負(fù)脈沖輸入整形器的部分連續(xù)脈沖的幅度和小于或等于一個(gè)值 Q,且脈沖的幅值可以為負(fù)值。一個(gè)含有負(fù)脈沖的三脈沖輸入整形器和執(zhí)行過程如圖 3,脈沖幅度為 A1,A2,A3的負(fù)脈沖輸入整形器的約束方程為：

圖 3 含有負(fù)脈沖的輸入整形過程

2.1 N-ZV輸入整形

當(dāng) ZV輸入整形器加入負(fù)脈沖時(shí),即為負(fù)脈沖零振動(dòng)(N-ZV)輸入整形器。最小長度的 N-ZV輸入整形器是 3脈沖輸入整形器,其脈沖幅度為：

通過脈沖幅度 Q、共振頻率和阻尼比可以得出脈沖的作用時(shí)間。根據(jù)殘余振動(dòng)約束方程[1],一個(gè)正弦和一個(gè)余弦約束方程必須被滿足,如方程(4)。為了實(shí)現(xiàn)最小長度整形器,令 t1=0。

2.2 N-ZVD輸入整形

當(dāng)系統(tǒng)存在建模誤差或者不能獲得準(zhǔn)確的共振頻率和阻尼比時(shí),N-ZV輸入整形器就不能有效地抑制系統(tǒng)的殘余振動(dòng)。添加零導(dǎo)數(shù)約束方程可以提高整形器的不靈敏度,零導(dǎo)數(shù)約束方程就是令殘余振動(dòng)方程對(duì)模型頻率的導(dǎo)數(shù)等于零[8]。當(dāng)含有負(fù)脈沖時(shí),所構(gòu)成的整形器就是負(fù)脈沖零振動(dòng)和零導(dǎo)數(shù)(N-ZVD)輸入整形器,N-ZVD整形器最少由 5個(gè)脈沖組成,其脈沖幅度為：

2.3 N-EI輸入整形

為了獲得更高的整形器不靈敏度,可以放寬零殘余振動(dòng)約束方程的限制,采用 EI輸入整形器[9]。當(dāng)含有負(fù)脈沖時(shí),所形成的整形器就是負(fù)脈沖極不靈敏(N-EI)輸入整形器。N-EI整形器最少由5個(gè)脈沖組成,其脈沖幅度可由方程(5)得出。

當(dāng)考慮阻尼 ζ時(shí),N-ZV、N-ZVD和 N-EI輸入整形的脈沖作用時(shí)間 t2,t3,t4,t5可通過約束方程使用數(shù)值法得出。

3 單位幅度負(fù)脈沖輸入整形

由于普通負(fù)脈沖輸入整形器的脈沖幅度是通過部分和約束方程求出,整形命令的幅度會(huì)超過未整形命令的幅度,這樣會(huì)造成輸入過流現(xiàn)象,如圖 4。有可能影響系統(tǒng)的執(zhí)行效果,而且還會(huì)降低減振性能。Q越大,造成的過流現(xiàn)象越大,對(duì)系統(tǒng)影響越嚴(yán)重。這就需要我們對(duì)負(fù)脈沖輸入整形器進(jìn)行優(yōu)化。

圖 4 含有負(fù)脈沖的過流輸入

通過改變脈沖幅度的約束方程,采用單位幅度約束方程,即各個(gè)脈沖幅度可表達(dá)為：

這種輸入整形法成為單位幅度負(fù)脈沖(UMN)輸入整形法[6]。這種方法能夠消除過流現(xiàn)象,適合各種負(fù)脈沖輸入整形器。最小長度的單位幅度負(fù)脈沖零振動(dòng)(UMN-ZV)輸入整形器為 3脈沖輸入整形器;最小長度的單位幅度負(fù)脈沖零振動(dòng)和零導(dǎo)數(shù)(UMN-ZVD)輸入整形器為 5脈沖輸入整形器;最小長度的單位幅度負(fù)脈沖極不靈敏(UMNEI)輸入整形器為5脈沖輸入整形器。當(dāng)考慮阻尼 ζ時(shí),各個(gè)脈沖的作用時(shí)間可通過輸入整形的殘余振動(dòng)約束方程使用數(shù)值法得出。

4 仿真

通過實(shí)驗(yàn)可獲得系統(tǒng)第一階共振頻率 f=76.6Hz,阻尼比 ζ=0.057,此外 t1=0,Q=1,系統(tǒng)輸入信號(hào)為單位階越信號(hào)。UMN-ZV、UMN-ZVD和UMN-EI輸入整形器的各個(gè)脈沖作用時(shí)間見表 1。

表 1 單位幅度負(fù)脈沖輸入整形器參數(shù)

系統(tǒng)輸出響應(yīng)曲線如圖 5～圖 6,在振動(dòng)幅度小于5%的情況下,UMN-EI輸入整形器的系統(tǒng)輸出響應(yīng)曲線如圖 7。

圖 7 無整形與EI整形作用下的系統(tǒng)響應(yīng)

從圖 5中可以看出,ZV、N-ZV和 UMN-ZV輸入整形器能有效的減少系統(tǒng)的殘余振動(dòng),ZV輸入整形器的系統(tǒng)輸出響應(yīng)最慢,N-ZV輸入整形器的系統(tǒng)輸出響應(yīng)最快,其比 ZV輸入整形器響應(yīng)快 0.0028s;UMN-ZV輸入整形器僅比 N-ZV輸入整形器多用時(shí) 0.006s,但減振效果卻好于 N-ZV輸入整形器。對(duì)于 ZV、N-ZV和UMN-ZV,系統(tǒng)輸出響應(yīng)時(shí)間分別為 0.0065s、0.0037s和0.0043s。

從圖 6中可以看出,ZVD輸入整形器的系統(tǒng)輸出響應(yīng)最慢,但減振效果最好,N-ZVD輸入整形器的系統(tǒng)輸出響應(yīng)最快;N-ZVD比 ZVD減少響應(yīng)時(shí)間 0.004s,但第一個(gè)振動(dòng)周期減振效果較差;UMN-ZVD輸入整形器僅比 N-ZVD輸入整形器多用時(shí) 0.006s,但減振效果卻好于 N-ZVD輸入整形器。對(duì)于 ZVD、N-ZVD和UMN-ZVD,系統(tǒng)輸出響應(yīng)時(shí)間分別為 0.013s、0.009s和0.0096s。

從圖 7中也可得到相同的結(jié)論,EI輸入整形器的系統(tǒng)輸出響應(yīng)最慢,但減振效果最好,N-EI輸入整形器的系統(tǒng)輸出響應(yīng)最快;N-EI比 ZEI減少響應(yīng)時(shí)間0.004s,但第一個(gè)振動(dòng)周期減振效果較差;UMN-EI輸入整形器僅比 N-EI輸入整形器多用時(shí) 0.006s,但是減振效果卻好于 N-EI輸入整形器。對(duì)于 EI、N-EI和UMN-EI,系統(tǒng)輸出響應(yīng)時(shí)間分別為 0.013s、0.009s和0.0096s。

靈敏度曲線可看出系統(tǒng)頻率對(duì)殘余振動(dòng)抑制的影響,輸入整形器的不敏感性可通過估算在一定殘余振動(dòng)水平下的靈敏度曲線寬度得出。ZV、N-ZV與 UMNZV,ZVD、N-ZVD與 UMN-ZVD,EI、N-EI與 UMN-EI輸入整形器的靈敏度曲線如圖 8,圖 9,圖 10。

從圖 8～圖 10中可看出,對(duì)于振動(dòng)幅度小于 5%的情況下的不靈敏度,N-ZV比 ZV的小 0.02,N-ZVD比 ZVD的小 0.02,N-EI比 EI的小 0.02。正脈沖輸入整形器的靈敏度曲線寬于負(fù)脈沖整形器的靈敏度曲線,即負(fù)脈沖整形器的不靈敏度小于正脈沖整形器。3-DOF并聯(lián)機(jī)器人的 UMN-ZV,UMN-ZVD,UMN-EI輸入整形器的靈敏度曲線,如圖 11所示。

從圖11中可以得到,在振動(dòng)幅度小于 5%的情況下,UMN-ZV,UMN-ZVD,UMN-EI輸入整形器的不靈敏度分別為 0.05,0.274,0.36。對(duì)于 UMN-ZV,UMN-ZVD,UMN-EI輸入整形器,當(dāng)模態(tài)共振頻率誤差分別超過±2.5%,±13.7%,-18.5%～17.5%時(shí),系統(tǒng)的殘余振動(dòng)將不能限制在 5%以下。僅僅當(dāng)模態(tài)共振頻率等于系統(tǒng)實(shí)際共振頻率時(shí),振動(dòng)才能完全被抑制。對(duì)于動(dòng)態(tài)模型的不確定性,UMN-EI輸入整形器具有最好的魯棒性,但響應(yīng)時(shí)間較長。

對(duì)于 UMN-ZV,UMN-ZVD,UMN-EI輸入整形器,其不靈敏度與 N-ZV、N-ZVD和 N-EI輸入整形器的不靈敏度幾乎相同,系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間延遲較小,但改善了系統(tǒng)殘余振動(dòng)的抑制。

5 結(jié)束語

介紹了一種 3-DOF并聯(lián)機(jī)器人系統(tǒng),表達(dá)了動(dòng)態(tài)方程,根據(jù)實(shí)驗(yàn)獲得了系統(tǒng)固有頻率和阻尼比。介紹了N-ZV,N-ZVD,N-EI,UMN-ZV,UMN-ZVD和UMN-EI輸入整形器的構(gòu)造方法和特性,并應(yīng)用到這種 3-DOF并聯(lián)機(jī)器人系統(tǒng)。根據(jù)數(shù)字仿真,負(fù)脈沖輸入整形器在抑制系統(tǒng)振動(dòng)的同時(shí)能明顯減少系統(tǒng)響應(yīng)的時(shí)間延遲,而且整形器的魯棒性比正脈沖輸入整形器僅有微小的降低,但減振效果降低。單位幅度負(fù)脈沖輸入整形器比部分和負(fù)脈沖輸入整形器僅有較小的系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間延遲,但降低了系統(tǒng)的殘余振動(dòng)。尤其在 UMNZVD和 UMN-EI輸入整形器作用下,系統(tǒng)輸出響應(yīng)的殘余振動(dòng)明顯降低。從而實(shí)現(xiàn)了在減少系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間延遲的同時(shí)更好地減少系統(tǒng)殘余振動(dòng)。

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