李鳳高, 胡國華

(湖南理工學院 數(shù)學學院, 湖南 岳陽 414006)

由方陣誘導的某些子代數(shù)結(jié)構(gòu)的同構(gòu)刻畫

李鳳高, 胡國華

(湖南理工學院 數(shù)學學院, 湖南 岳陽 414006)

用Pn×n表示數(shù)域P上全體n×n 矩陣構(gòu)成的集合, 那么Pn×n構(gòu)成數(shù)域P上的一個線性空間, 同時它又構(gòu)成一個環(huán). 在同構(gòu)意義下, Pn×n的子空間的個數(shù)以及左(右)理想的個數(shù)被刻畫.

線性空間; 子空間; 理想; 左理想; 右理想

Abstract:Let Pn×nbe the set of n×n matrices over a number field P. Then Pn×nare both a linear space over P and a ring. Some of characterizations about numbers of subspaces and left (right) ideals of Pn×nare given under isomorphisms.

Key words:linear space; subspace; ideal; left ideal; right ideal

設P是任一數(shù)域, 用Pn×n表示數(shù)域P上全體n×n矩陣構(gòu)成的集合. 由文[1,2] 知, 集合Pn×n對于矩陣的加法及數(shù)與矩陣的乘法構(gòu)成數(shù)域P的一個n2維線性空間. 由文[3,4,5,6] 知, 集合Pn×n對于矩陣的加法及乘法構(gòu)成一個環(huán). 在這篇文章中, 我們將刻畫線性空間Pn×n的互不同構(gòu)的子空間的個數(shù)及矩陣環(huán)Pn×n的互不同構(gòu)的左(右)理想子環(huán)的個數(shù).

1 子空間的同構(gòu)計數(shù)

數(shù)域

P上線性空間V的一個非空子集W叫作V的一個子空間, 如果W對于V的加法和數(shù)乘運算來說也構(gòu)成一個線性空間. 關(guān)于Pn× n 的互不同構(gòu)的子空間的個數(shù), 我們有

定理1設Pn× n是數(shù)域P上n×n 矩陣構(gòu)成的線性空間, 那么Pn× n恰有n2+1個互不同構(gòu)的子空間.

證明由文[1]、[2] 知, 同一數(shù)域上兩個線性空間同構(gòu)的充要條件是它們有相同的維數(shù). 由于 Pn× n作為數(shù)域P上的線性空間是n2維的, 故Pn× n 的任一子空間的維數(shù)取以下整數(shù)之一: 0,1,2,…,n2. 用Eij表示(i, j)位置元素為1而其它位置元素為0的n×n矩陣. 對于任一 0≤m≤n2, 設 m=nk+r, 其中r∈Z， 且 0≤r＜n, 由E11,…,E1n,…,Ek1,…,Ekn,Ek+1,1,…,Ek+1,r 生成的子空間

就是Pn×n的一個m維子空間. 因此, Pn×n恰有n2+1個互不同構(gòu)的子空間.

2 左(右)理想的同構(gòu)計數(shù)

環(huán)R 的一個非空子集I叫作R 的一個左理想 (子環(huán)), 如果對任意的r∈R,a, b∈I , 有a-b, ra∈I .類似地可定義R的一個右理想 (子環(huán)). 如果環(huán)R的一個非空子集I既是R 的一個左理想, 同時又是R的一個右理想, 則稱I為R 的一個理想 (子環(huán)). 關(guān)于矩陣環(huán)Pn×n的理想, 有

定理2[7]矩陣環(huán)Pn×n只有平凡理想: {0}和Pn×n.

關(guān)于矩陣環(huán)Pn×n的單邊理想的部分討論可見[8]. 現(xiàn)在我們給出一些更進一步的結(jié)果.

引理3設Ω是矩陣環(huán)Pn×n的任一左理想, T是Pn×n中任一可逆矩陣, 則

是Pn×n的一個左理想.

證明因為零矩陣在ΩT中, 故ΩT≠Φ. 任取AT, BT∈ΩT, 其中A, B∈Ω. 由Ω是Pn×n的左理想知A-B∈Ω, 從而AT-BT=(A-B) T∈ΩT. 對任意的X∈Pn×n, 由Ω是Pn×n的左理想知XA∈Ω, 從而X( AT)=(XA) T∈ΩT. 由左理想的定義便知結(jié)論成立.

對于任意的A1, A2,…,Am∈Pn×n, 我們用符號〈A1, A2,…,Am〉表示由A1, A2,…,Am生成的左理想. 注意

引理4設Ω是矩陣環(huán)Pn×n的任一左理想. 令 r=max{rankX| X∈Ω}, 那么存在一個可逆矩陣T∈Pn×n, 使得ΩT=〈E11,E22,…,Err〉.

證明設A∈Ω且rankA=r. 由文[1]、[2] 知, 存在可逆矩陣S, T∈Pn×n使得

注意ΩT是Pn×n的一個左理想, SAT∈ΩT, 故E11=E11SAT,E22=E22SAT,…,Err=ErrSAT 都在ΩT中.于是ΩT?〈E11,E22,…,Err〉. 現(xiàn)在斷言:ΩT中每個矩陣的第r+1,r +2,…,n列都是零. 若不然, 存在B∈Ω使得BT的第r+1,r+2,…,n列不全為零. 不妨設BT的(1,r+1)元b1,r+1≠0, 而BT=(bij)n×n. 注意

因此ΩT=〈E11,E22,…,Err〉.

定理5矩陣環(huán)Pn×n至多有n+1個互不同構(gòu)的左理想.

證明設Ω是Pn×n的任一左理想, 且r=max{rankX| X∈Ω}. 由引理4 知, 存在一個可逆矩陣T∈Pn×n, 使得 ΩT=〈E11,E22,…,Err〉. 注意T-1ΩT=ΩT , 直接驗證可知,

是左理想Ω到ΩT的一個同構(gòu)映射. 因此Pn×n的任一左理想與下面的左理想之一同構(gòu):

這表明Pn×n至多有n+1個互不同構(gòu)的左理想.

推論6 矩陣環(huán)Pn×n至多有n+1個互不同構(gòu)的右理想.

證明 注意Ω是Pn×n右理想當且僅當ΩT={AT|A ∈Ω}是Pn×n的左理想. 于是從定理5 可得所需的結(jié)論.

[1] 張禾瑞, 郝鈵新. 高等代數(shù)(第四版) [M]. 北京: 高等教育出版社, 1999

[2] 北京大學數(shù)學系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組. 高等代數(shù)[M]. 第三版. 北京: 高等教育出版社, 2003

[3] 張禾瑞. 近世代數(shù)基礎[M]. 北京: 高等教育出版社, 1978

[4] 熊全淹. 近世代數(shù)[M]. 武昌: 武漢大學出版社, 1991

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[6] 徐誠浩. 抽象代數(shù)——方法導引[M]. 上海: 復旦大學出版社, 1989

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[8] 左連翠. 矩陣環(huán)中的單側(cè)理想及偽理想[J]. 濟南大學學報, 1999, 9(2): 19～21

Isomorphic Characterization of Some Subalgebra Structures Induced by Square Matrices

LI Feng-gao, HU Guo-hua
(College of Mathematics, Hunan Institute of Science and Technology, Yueyang 414006, China)

O151.21, O153.3

A

1672-5298(2010)01-0017-03

2009-12-11

湖南省高等學?？茖W研究一般項目(09C470)

李鳳高(1953- ), 男, 河北張家口人, 湖南理工學院數(shù)學學院教授. 主要研究方向: 代數(shù)組合論