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曲線系方程的應用反思與課堂生成資源的利用*

2010-09-07 10:31:22方雷
楚雄師范學院學報 2010年6期
關鍵詞:準線橢圓結論

方雷

(楚雄第一中學,云南 楚雄 675000)

曲線系方程的應用反思與課堂生成資源的利用*

方雷

(楚雄第一中學,云南 楚雄 675000)

在課堂教學中,抓住課堂生成資源,引導學生自主探究,讓學生從提出問題到探索結論的過程中,獲得自主學習的體驗和成功的快樂,從而激發(fā)學生學習興趣,培養(yǎng)學生的探究意識和創(chuàng)新精神。經驗型和專家型的教師更要重新審視自己已經熟悉甚至麻木的教學內容,對可能產生課堂生成資源的內容做必要的引導和啟發(fā),并對已經產生或者可能產生的課堂生成資源,提出了教師應有的知識準備和策略預設。

教學反思;自主探究;課堂生成資源;策略預設

0.引言

人教版高中數(shù)學(必修)第二冊(上)復習參考題七B組第四題有以下結論:兩條曲線的方程是C1:f1(x,y)=0和C2:f2(x,y)=0,它們的交點是P(x0,y0),求證方程f1(x,y)+λf2(x,y)=0的曲線C也經過點P(λ是任意實數(shù))。

以上結論在很多教輔資料中都有收錄,并被廣泛應用于解決直線系和圓系的問題。在教學中,我也會在適當?shù)臅r候介紹該結論,并引導學生應用該結論解決相關問題,但多年來也僅僅停留在模仿應用的層面,未作深入的研究。

1.正文

2009年12月7日,在我所教的理科實驗班的一節(jié)復習課上,我復習了這一結論。在對結論進行簡單證明之后,一名學生提出了以下問題:“已知曲線C1:f1(x,y)=0和C2:f2(x,y)=0,當曲線C1和C2無公共點時,方程f(x,y)+λf2(x,y)=0(λ是任意實數(shù))的曲線C與曲線C1、C2有何關系?”面對這一突如其來的問題,我意識到這是一個鼓勵學生自主探究的極好切入點。于是,我先讓學生憑直覺或經驗猜測這一問題的結果。課堂經過短暫的沉默之后,有學生說:這樣的方程不表示任何曲線;而有的則說如果該方程能表示一條曲線,則這條曲線和C1、C2都相交;也有人說如果該方程能表示一條曲線,則這條曲線和C1、C2都不相交。在這一過程中,我讓學生充分發(fā)揮其想象力,不對他們的猜想進行評論,只對學生的猜測進行規(guī)范化的表達和復述。為了降低問題的難度,讓學生對問題的理解更具體,在學生充分發(fā)表意見之后,我建議學生從C1:f1(x,y)=0和C2:f2(x,y)=0都表示圓或者都表示直線且λ=±1的特殊情況入手,先用特例進行探究檢驗,再從所擁有的教輔資料中查找相關的題目作為例證,并鼓勵學生盡量從理論上對自己的結論進行論證。課下,我進行了思考,同時關注學生的探究過程,兩天后,學生得出了以下一組結果或例證:

(1)對于直線C1:Ax+By+C1=0和C2:Ax+By+C2=0(C1≠C2),則當λ≠-1時,方程Ax+By+C1+λ(Ax+By+C2)=0表示與C1、C2平行的直線,且該直線分C1、C2間的垂線段(有向線段)的比為λ;當λ=-1時,方程Ax+By+C1+λ(Ax+By+C2)=0不表示任何曲線。

(2)對于圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(C1、C2無公共點),則方程x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0不表示任何曲線或所表示的曲線與C1、C2也沒有公共點。

例如:對于曲線C1:x2+y2-1=0與C2:x2+y2-4=0,當λ=1時,方程方程f1(x,y),所表示的曲線與C1、C2都沒有公共點;λ=-1時,方程f1(x,y)+λf2(x,y)=0不表示任何曲線(僅為學生所舉例證,該結論不具備一般性)。

(3)對于圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,當C1、C2相切時,則方程x2+y2+D1x+E1y+F1-(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0表示過切點的公切線。

例如C1:x2+(y-4)2-36=0與C2:(x-3)2+y2-1=0,當λ=-1時,方程f(x,y) +λf2(x,y)=0化為3x-4y-14=0,該方程表示過C1、C2切點的公切線。

(4)已知C1:f1(x,y)=0和C2:f2(x,y)=0,當曲線C1和C2無公共點時,方程f1(x,y)+ λf2(x,y)=0(λ是任意實數(shù))如果能表示某一曲線,則該曲線與曲線C1、C2都沒有公共點。

例如:(2005江蘇)如下圖,⊙O1和⊙O2的半徑都等于1,|O1O2|=4,過動點P作⊙O1和⊙O2的切線PM、 PN(M、N為切點),使得,試建立平面直角坐標系,,并求動點P的軌跡軌跡方程。

略解:建立如圖所示直角坐標系,設P(x,y),

則(x+2)2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1],化簡得(x-6)2+y2=33就是所求的軌跡方程。

以上解答中的(x+2)2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1],即相當于問題中λ=-2的情形。曲線(x-6)2+y2=33與⊙O1、⊙O2都沒有公共點。

一般地,若C1:f1(x,y)=0和C2:f2(x,y)=0無公共點,則方程組無解,所以都無解,結論4得證。

這次教學中的“意外”,使我對多年來感覺熟悉而從不質疑的內容,產生了一些批判性的思考;對學生的探究和創(chuàng)新能力,有了進一步的認識;對如何激發(fā)和利用課堂生成資源,培養(yǎng)學生的探究意識和學習興趣等教學方法及策略,有了新的感悟。吸取以上教訓,在基本完成“橢圓的幾何性質”教學內容之后,我對所教的理科實驗班給出了以下問題,為學生進行探究埋下伏筆。

已知直線l:y=2x+3與坐標軸相交于A、B兩點,動點Q在線段AB上移動,求點Q到橢的右焦點和右準線的距離之比的最小值。

大多數(shù)學生都能在課后完成以上解答,而且讓我欣慰的是,有學生驗證了點是直線l與橢圓C的切點,發(fā)現(xiàn)了線段AB上其它的點都在橢圓的外部,并結合橢圓的第二定義,提出了以下猜想:橢圓上的點到焦點和對應準線的距離之比等于離心率;橢圓外的點到焦點和對應準線的距離之比大于離心率;橢圓內的點到焦點和對應準線的距離之比小于離心率。此時,我對學生的猜想給出了充分的肯定,并鼓勵學生自己判斷猜想的真假。第二天,學生就給了我以下的證明:

設點Q(x0,y0)是橢圓

有了以上兩次學習經歷,部分學生的創(chuàng)新意識和探究精神有了一定的提高,在完成了雙曲線和拋物線的學習后,多數(shù)學生又針對雙曲線和拋物線,重新研究了以上問題;而且對以下問題:“過拋物線y2=px(p>0)的焦點,作直線與拋物線交于A、B兩點,求證,以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切?!睂W生在解決該問題之后,有更多學生自然的就提出了“對于橢圓和雙曲線,是否有類似的結論?”這樣的問題,也有學生提出了以下問題:“已知直線l過點M(m,0),與拋物線y2=2px(p>0)交于A、B兩點,當0時,判斷以AB為直徑的圓與拋物線的準線的位置關系?!痹谖业墓膭詈椭笇拢岢鲞@些問題的學生最終都自主解決了這些問題。

上述由學生提出的系列問題,的確顯得稚嫩,學生對有些結論也還不能完成嚴密的論證,但他們從提出問題到探索結論的過程中,獲得了自主學習的體驗和成功的快樂。對激發(fā)學生學習興趣以及培養(yǎng)學生的探究意識和創(chuàng)新精神有很大的促進作用。

2.結論

通過對以上幾次教學過程的反思,我認為,經驗型和專家型的教師更要重新審視自己已經熟悉甚至麻木的教學內容,對可能產生課堂生成資源的內容做必要的引導和啟發(fā),并對已經產生或者可能產生的課堂生成資源,教師要有以下的知識準備和策略預設:

(1)有堅實的專業(yè)功底。面對學生可能產生的各種“稀奇古怪”的問題,教師要能從專業(yè)的角度及從理論的高度進行探究,成為學生創(chuàng)新思維和研究性學習的參與者、引領者和評價者。

(2)有承認“我不會”的氣度。學生的思維火花,總會照到老師的認知盲區(qū),面對突發(fā)狀態(tài),教師不能用“這個問題太難,不適合你”或“這種問題太偏,沒有什么實際意義;高考從來不考,不用管它”之類的話來敷衍學生,而是要有承認我不會的氣度,引導及參與學生的主動探索和研究,激發(fā)和保護學生的探究意識和創(chuàng)新精神。這樣,才能更好的把握住教學的契機,化被動為主動,增強教學效果,提升教師的人格魅力。

(3)必要時有“我不會”的糊涂。對一個功底扎實的教師來說,學生的大多數(shù)問題,都是教師能完全掌控和把握的問題,此時教師要是每問必答,固然能樹立教師的良好形象,但也可能讓學生對教師產生高山仰止不可超越的心態(tài),使學生失去主動探索的機會和發(fā)現(xiàn)的快樂,久而久之,也不利于學生探究意識和創(chuàng)新精神的培養(yǎng)。所以,對于一些適合學生自主學習的問題,教師即使成竹在胸,也可以有“我不會”的糊涂,給學生留出探究的空間。

(4)鼓勵學生“反彈琵琶”。教師經常會有這樣的困擾:對于某類問題,老師已經給出了最簡解法,但學生卻經常別出心裁,對老師推薦的方法置若罔聞,自己搞出一個舍近求遠費時費力的解法,面對這樣的情況,教師不應該有白費力氣的憤慨,更不應該責怪學生“離經叛道”,而是要為學生的行為感到高興,學生的解法雖然不是最優(yōu)解法,但對他來說,卻是一個自主創(chuàng)新的過程。所以,教師要允許甚至鼓勵學生懷疑結論、反叛經典。這往往是學生創(chuàng)新意識的萌芽和自主探究的開始。

(責任編輯 劉洪基)

Reflection for the Curvilinear Equation Application and Utilization of the Classroom Generic Resources

FANG Lei
(Chuxiong First Middle School of Yunnan Province,Chuxiong 675000,China)

Based on the reflection of teaching process,the author hold that the teachers must re-examine their numbing teaching contents.Teachers must give necessary guidance and inspiration to students on the potential classroom generic resources contents.The author puts forward the knowledge preparation and strategy preferences to point against produced or may generation classroom resources.

teaching reflection;experience task;classroom generic resources;strategy preferences

G633.6

A

1671-7406(2010)06-0105-04

2010-04-17

方 雷 (1966—),男,云南南華縣人,中學高級教師,主要從事中學數(shù)學教學與研究。

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