海軍工程質(zhì)量監(jiān)督站 劉楚瑜

1、前言

小波變換是一種新的變換分析方法，它的主要特點(diǎn)是通過(guò)變換能夠充分突出問(wèn)題某些方面的特征。因此，小波變換在許多領(lǐng)域都得到了成功的應(yīng)用，特別是小波變換的離散數(shù)字算法已被廣泛用于許多問(wèn)題的變換研究中。

從小波變換的數(shù)學(xué)理論來(lái)說(shuō)，它是繼Fourier變換之后純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)完美結(jié)合的又一光輝典范，享有“數(shù)學(xué)顯微鏡”的美稱。從純粹數(shù)學(xué)的角度來(lái)說(shuō)，小波變換是調(diào)和分析（包括函數(shù)空間、廣義函數(shù)、Fourier分析和抽象調(diào)和分析等）這一重要學(xué)科大半個(gè)世紀(jì)以來(lái)的工作結(jié)晶；從應(yīng)用科學(xué)和技術(shù)科學(xué)的角度來(lái)說(shuō)，小波變換又是計(jì)算機(jī)應(yīng)用、信號(hào)處理、圖像分析、非線性科學(xué)和工程技術(shù)近些年來(lái)在方法上的重大突破。

2、小波分析的基本理論

與傅利葉(Fourier)變換相比，小波分析中所用到的小波函數(shù)具有不唯一性，即小波函數(shù)Ψ(t)具有多樣性。但小波分析在工程應(yīng)用中，一個(gè)十分重要的問(wèn)題就是最優(yōu)小波基的選擇問(wèn)題，因?yàn)橛貌煌男〔ɑ治鐾粋€(gè)問(wèn)題會(huì)產(chǎn)生不同的結(jié)果。目前主要是通過(guò)小波分析處理信號(hào)的結(jié)果與理論結(jié)果的誤差來(lái)判定小波基的好壞，并由此限定小波基。但并不是隨便一個(gè)函數(shù)都可以成為小波基函數(shù)，要滿足非常嚴(yán)格的限制才能成為一個(gè)可用的小波函數(shù)，進(jìn)而發(fā)展成一個(gè)好的小波變換函數(shù)。

考慮平方可積的實(shí)數(shù)函數(shù)空間L2(R)（即能量有限的信號(hào)空間），設(shè)Ψ(t)∈L2(R)，其傅利葉變換為，當(dāng)滿足(1)式允許條件(Admissible Condition)時(shí)，我們稱為一個(gè)基本小波，或小波母函數(shù)(Mother Wavelet)。

根據(jù)不同的標(biāo)準(zhǔn)，小波函數(shù)具有多樣性，實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)根據(jù)支撐長(zhǎng)度、對(duì)稱性、正側(cè)性等標(biāo)準(zhǔn)選擇合適的小波。常用的小波有：Haar小波、Daubechies(dbN)小波系、Biorthogonal(biorNr.Nd)小波系、Coiflet(coifN)小波系、SymletsA(symN)小波系、Morlet小波、Mexican Hat小波、Meyer小波、Battle-Lemarie小波等。

2.1 多分辨分析

1988年，Mallat在構(gòu)造正交小波基時(shí)提出多分辨分析(Multi-Resolution Analysis)的概念，給出了離散正交二進(jìn)小波變換的金字塔算法，即任何函數(shù)f(t)∈L2(R)都可以根據(jù)分辨率為2-N的f的低頻部分（“近似部分”）和分辨率為2-j(1≤j≤N)下f的高頻部分（“細(xì)節(jié)部分”）完全重構(gòu)。多分辨分析只是對(duì)低頻部分進(jìn)一步分解，而高頻部分則不予考慮。

分解具有關(guān)系：

f(t)=An+Dn+Dn-1+…+D2+D1，其中，f(t)代表信號(hào)，A代表低頻近似部分(Approximations)，D代表高頻細(xì)節(jié)部分(Details)，n代表分解層數(shù)。

2.2 小波包分析

多分辨分析可以對(duì)信號(hào)進(jìn)行有效的時(shí)頻分解，但由于其尺度是按二進(jìn)制變化的，所以在高頻頻段其頻率分辨率較差，而在低頻頻段其時(shí)間分辨率較差。小波包分析(Wavelet Packet Analysis)能夠?yàn)樾盘?hào)提供一種更加精細(xì)的分析方法，它將頻帶進(jìn)行多層次劃分，對(duì)多分辨分析中沒(méi)有細(xì)分的高頻部分進(jìn)一步分解，并能根據(jù)被分析信號(hào)的特征，自適應(yīng)的選擇相應(yīng)的頻帶，使之與信號(hào)的頻譜相匹配，從而提高了時(shí)頻分辨率，因此，小波包分析具有更廣泛的應(yīng)用價(jià)值。

分解具有關(guān)系：

其中，f(t)代表信號(hào)，A代表低頻近似部分，D代表高頻細(xì)節(jié)部分，下標(biāo)代表分解層數(shù)。

3、小波分析在抗震方面的應(yīng)用

對(duì)地震動(dòng)的了解主要是根據(jù)過(guò)去強(qiáng)震觀測(cè)結(jié)果和震害現(xiàn)象去探求地面運(yùn)動(dòng)規(guī)律和地震動(dòng)特性。描述地震動(dòng)特性所用的數(shù)學(xué)工具以往是Fourier分析，其特性歸結(jié)為三要素，即地震動(dòng)的振幅、頻譜和持時(shí)。三要素的得出是將Fourier分析應(yīng)用于地震動(dòng)研究的結(jié)果。Fourier分析的另一個(gè)名稱是頻譜分析。

對(duì)于地震動(dòng)研究而言，F(xiàn)ourier分析有明顯的不足多處，F(xiàn)ourier分析適合處理非常平穩(wěn)的周期信號(hào)，對(duì)于具有很強(qiáng)非平穩(wěn)特性的地震動(dòng)加速度過(guò)程，F(xiàn)ourier分析無(wú)法得出時(shí)域和頻域中地震動(dòng)加速度過(guò)程的全貌和局部化結(jié)果，無(wú)法依據(jù)地震觀測(cè)記錄建立地震動(dòng)加速度過(guò)程的解析表達(dá)式。強(qiáng)震觀測(cè)記錄分析表明，在不同時(shí)段上周期特性是不一樣的，一般來(lái)說(shuō)，開(kāi)頭部分，即是縱波部分，高頻分量比較多；尾部，即振動(dòng)衰減趨于零部分，低頻分量比較多。振動(dòng)最強(qiáng)烈的一段，即中間部分，中頻分量比較多。目前地震工程中常用的頻譜有三種，即Fourier譜，反應(yīng)譜與功譜。地震記錄的這種頻譜組成隨時(shí)間變化的特性，是前面三種頻譜無(wú)法描述的。

小波分析作為處理非平穩(wěn)信號(hào)的強(qiáng)有力工具，同樣適合于用于處理地震動(dòng)加速度過(guò)程，其理論覆蓋了相當(dāng)廣泛的研究領(lǐng)域，它為多種獨(dú)立開(kāi)發(fā)的信號(hào)處理提供了統(tǒng)一的框架。小波分析方法不像Fourier分析方法那樣把時(shí)域信號(hào)表示為若干精確的頻率分量之和，小波變換提供了一種自適應(yīng)的時(shí)—頻局部化分析方法，它將時(shí)域信號(hào)表示為若干代表子頻帶特點(diǎn)的時(shí)域分量之和，這些時(shí)域分量正是小波變換所確定的。正是由于這種表示方式，小波分析方法才獲得了在時(shí)—頻局部化方面的成功和關(guān)于時(shí)—頻局部化方面豐富多彩的應(yīng)用。應(yīng)用小波分析方法可在任意時(shí)段上對(duì)地震動(dòng)加速度過(guò)程的頻率成分和振幅進(jìn)行調(diào)整，以反映地震動(dòng)過(guò)程的頻譜組成隨時(shí)間的變化，對(duì)頻譜和振幅進(jìn)行精細(xì)描述。這為工程設(shè)計(jì)時(shí)，輸入地震波的選擇擴(kuò)大了范圍。我們可以制造一批頻譜組成隨時(shí)間變化不同，但反應(yīng)譜相同的地震動(dòng)樣本，以滿足建筑結(jié)構(gòu)統(tǒng)計(jì)分析的需要，同時(shí)這對(duì)結(jié)構(gòu)非線性地震反應(yīng)分析和實(shí)驗(yàn)研究也是極為有用的。用小波分析方法可以直觀具體地檢測(cè)現(xiàn)有強(qiáng)震加速度記錄中長(zhǎng)周期成分的缺失狀況，并以某種方式進(jìn)行添補(bǔ)。

目前，模擬強(qiáng)地震動(dòng)的方法以工程方法為主，現(xiàn)有工程方法合成地震動(dòng)的最大缺陷是頻率從頭至尾不變。將小波分析方法用于強(qiáng)地震動(dòng)模擬，能夠克服現(xiàn)有工程方法的上述缺陷，并且為強(qiáng)地震動(dòng)模擬提供一個(gè)靈活的“框架”。

TsoChienPan等將雙線性結(jié)構(gòu)在地震作用下的響應(yīng)分別用窗口傅立葉變換(STFI)、連續(xù)小波變換(CWT)、和離散小波變換(DWT)進(jìn)行分析，其目的是識(shí)別雙線性結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)的頻率變化趨勢(shì)和屈服、卸載時(shí)間。結(jié)果表明，CWT在時(shí)間和頻率的分辨率上均優(yōu)于STFT；CWT能反映出雙線性結(jié)構(gòu)振動(dòng)頻率變化的趨勢(shì)，但DWT從低尺度上的小波系數(shù)出現(xiàn)突變點(diǎn)更好地反映出結(jié)構(gòu)的屈服時(shí)間和卸載時(shí)間，Yoshihiro將系統(tǒng)(線性結(jié)構(gòu)、雙線性結(jié)構(gòu)、Ramberg-Osgood系統(tǒng))的切線剛度用尺度函數(shù)表示，通過(guò)測(cè)出系統(tǒng)在地震作用下的響應(yīng)，用最小二乘法求出Pjk，從而得到S(t)來(lái)識(shí)別系統(tǒng)的非線性行為。JunIyama等基于能量輸入的觀點(diǎn)用小波變換對(duì)地震在不同頻帶的信號(hào)的時(shí)間歷程進(jìn)行了分析，提出了一種根據(jù)預(yù)想時(shí)一頻特點(diǎn)模擬地面運(yùn)動(dòng)加速度的方法。

4、結(jié)論與展望

總之，小波變換被應(yīng)用到抗震方面的研究尚較少。從研究方向來(lái)看，大多數(shù)都集中在某類簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)上，不具有推廣性；從研究理論上來(lái)看，很多文獻(xiàn)都偏重于介紹故障信號(hào)的小波變換結(jié)果，而缺乏理論上的有力支持，真正實(shí)現(xiàn)小波分析與故障信號(hào)間關(guān)系的文獻(xiàn)極少。小波變換作為一種新興的時(shí)頻分析手段，在處理結(jié)構(gòu)測(cè)試數(shù)據(jù)時(shí)具有極大的優(yōu)勢(shì)，可以預(yù)見(jiàn)其在土木工程領(lǐng)域中特別是抗震方面有著廣闊的發(fā)展空間和應(yīng)用價(jià)值。