于霖沖

(1.北京航空航天大學(xué),北京 100091;2.廈門(mén)理工學(xué)院,福建 廈門(mén) 361024)

0 引言

機(jī)構(gòu)中如果包含了一個(gè)或者多個(gè)易產(chǎn)生較大變形的細(xì)長(zhǎng)構(gòu)件,這種細(xì)長(zhǎng)構(gòu)件在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生變形與運(yùn)動(dòng)的耦合,動(dòng)態(tài)參數(shù)會(huì)出現(xiàn)“波動(dòng)”,通常將這種機(jī)構(gòu)叫做柔性機(jī)構(gòu)。柔性機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)副之間的摩擦和碰撞在柔性機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中存在很大的不確定性。如果動(dòng)態(tài)參數(shù)“波動(dòng)”在安全臨界值附近,將使柔性機(jī)構(gòu)系統(tǒng)可靠性的判定更加復(fù)雜,增加了機(jī)構(gòu)系統(tǒng)的模糊性。隨著輕質(zhì)、高速的機(jī)械系統(tǒng)不斷出現(xiàn),構(gòu)件在速度和柔度上不斷加大,構(gòu)件的柔性變形也加大。在高精度和高可靠性的要求下,構(gòu)件變形已不能忽略[1]。因此,模糊隨機(jī)柔性機(jī)構(gòu)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能可靠性研究具有十分重要的現(xiàn)實(shí)意義。

美國(guó)學(xué)者Zateh在20世紀(jì)70年代提出了模糊理論[2],在結(jié)構(gòu)靜態(tài)模糊可靠性分析方面取得了許多成就[3-8]。其中,白廣忱教授和王光遠(yuǎn)院士對(duì)以可靠度為目標(biāo)函數(shù)的大系統(tǒng)多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題提出了模糊分配方法[3];Verma和Knezevic提出了概念設(shè)計(jì)階段機(jī)構(gòu)系統(tǒng)可靠度的模糊分配方法[4];Li Bing等[5]、董玉革等[6]、白廣忱和黃洪鐘等[7-9]的工作使模糊可靠性研究得到更加廣泛的應(yīng)用,但在機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)可靠性應(yīng)用上還有待進(jìn)一步深入探索。本文在上述研究成果的基礎(chǔ)上,提出了一種柔性機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)性能可靠性分析的新方法。

1 模糊響應(yīng)面方法的基本理論

響應(yīng)面法(Response Surface Method,簡(jiǎn)稱RSM)是由Bucher在20世紀(jì)90年代提出的,是在未知功能函數(shù)時(shí)進(jìn)行可靠性分析的一種近似方法,在結(jié)構(gòu)靜態(tài)可靠性分析上取得了很好的效果[10]。

設(shè)xi(i=1,2,…,n)為可靠性分析中的n個(gè)任意分布的獨(dú)立隨機(jī)變量,由這些隨機(jī)變量表示的極限狀態(tài)方程為:

響應(yīng)面方法的基本思想就是重構(gòu)一個(gè)近似的極限狀態(tài)方程g′(x)來(lái)近似替代g(x):

常規(guī)重構(gòu)響應(yīng)面g′(x)的方法是利用不含交叉項(xiàng)的二次多項(xiàng)式表示響應(yīng)面函數(shù),待定系數(shù)為2n+1個(gè):

式(3)可以通過(guò)系列確定性的實(shí)驗(yàn)確定,解線性方程組得到2n+1個(gè)待定系數(shù),從而確定由二次多項(xiàng)式表示的響應(yīng)面函數(shù)。得到響應(yīng)面函數(shù)后,可以用一次二階矩方法求出可靠度指標(biāo)和設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)。通常情況下,初始迭代點(diǎn)一般取均值點(diǎn),如不滿足可靠度指標(biāo)的精度要求,經(jīng)線性插值得新的展開(kāi)點(diǎn),直到精度滿足要求。具體求解計(jì)算步驟見(jiàn)文獻(xiàn)[10]。

2 動(dòng)態(tài)可靠性分析的模糊響應(yīng)面方法

傳統(tǒng)的RSM方法并沒(méi)有考慮模糊性,也沒(méi)有考慮安全失效狀態(tài)隨時(shí)間的動(dòng)態(tài)變化。單純考慮隨機(jī)變量的傳統(tǒng)RSM方法失效狀態(tài)表達(dá)為:

如果考慮狀態(tài)的模糊性,將安全狀態(tài)和失效狀態(tài)分別作為狀態(tài)空間的模糊集合:模糊安全域D s和模糊失效域Df,對(duì)應(yīng)的極限狀態(tài)函數(shù)為:

如果考慮安全失效狀態(tài)的模糊性,將安全狀態(tài)和失效狀態(tài)分別作為狀態(tài)空間的模糊安全域D s和模糊失效域D,考慮安全和失效狀態(tài)隨時(shí)間的動(dòng)態(tài)變化,這時(shí)極限狀態(tài)函數(shù)為時(shí)變的模糊極限狀態(tài)函數(shù)(t):

特別地:當(dāng)取 μf=0,μs=1 時(shí),或者取 μf=1,μs=0時(shí)分別表示不考慮狀態(tài)模糊的情況。

在確定μf或 μs后,假設(shè)各個(gè)狀態(tài)Y(tj)之間相互獨(dú)立,可以求得失效概率為:

同理,動(dòng)態(tài)可靠度為:

式(9)中,t∈T,f(yj,t)為Y(t)的聯(lián)合概率密度函數(shù)。這里,顯然有:

考慮狀態(tài)模糊性,通過(guò)系列確定性的實(shí)驗(yàn)將極限狀態(tài)函數(shù)轉(zhuǎn)化為區(qū)間函數(shù)[11-15]:

這樣,就將一個(gè)模糊響應(yīng)面由兩個(gè)確定的響應(yīng)面表達(dá),通過(guò)一次二階矩方法分別求出對(duì)應(yīng)的驗(yàn)算點(diǎn)和可靠度指標(biāo)βL和βU,則:

根據(jù)模糊數(shù)學(xué)的分解定理,利用λ水平截集方法,可以求出可靠度指標(biāo)β:

3 柔性機(jī)構(gòu)模糊動(dòng)態(tài)可靠性計(jì)算實(shí)例

將柔性機(jī)構(gòu)系統(tǒng)作為一個(gè)動(dòng)態(tài)模糊隨機(jī)系統(tǒng),其模糊性體現(xiàn)在機(jī)構(gòu)的模糊隨機(jī)動(dòng)態(tài)響應(yīng)和動(dòng)態(tài)參數(shù)的模糊失效狀態(tài)上面,通過(guò)多柔體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析,求出模糊隨機(jī)變量的動(dòng)態(tài)響應(yīng),利用響應(yīng)面重構(gòu)極限狀態(tài)方程。

3.1 柔性機(jī)構(gòu)模型

圖1為空間站柔性展開(kāi)機(jī)構(gòu)平面模型[3-5]。機(jī)構(gòu)系統(tǒng)由B0—B15共16個(gè)構(gòu)件組成。通過(guò)B8和B11兩臺(tái)電機(jī)驅(qū)動(dòng)螺旋副B7和B12,使得B0和B3之間的距離以及B3和B6之間的距離縮短,完成機(jī)構(gòu)的展開(kāi)運(yùn)動(dòng),圖1所示為機(jī)構(gòu)完全展開(kāi)的狀態(tài)。機(jī)構(gòu)系統(tǒng)中的大尺寸輕質(zhì)構(gòu)件 B 、B 、B 、B 、B 、B 和B15在展開(kāi)過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生較大的變形,將它們作為等截面均質(zhì)柔性梁,展開(kāi)機(jī)構(gòu)中的其它構(gòu)件視為剛體,展開(kāi)機(jī)構(gòu)為一個(gè)包含7個(gè)柔性構(gòu)件的柔性機(jī)構(gòu)。

圖1 展開(kāi)機(jī)構(gòu)Fig.1 Expand mechanism

根據(jù)多柔體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)原理,利用Lagrange乘子法建立廣義的柔性機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程為[1]:

根據(jù)式(14)進(jìn)行仿真,以柔性構(gòu)件B2的角加速度為研究對(duì)象,確定性仿真結(jié)果如圖2所示,機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)響應(yīng)由于耦合的原因非線性程度較高。

圖2 動(dòng)態(tài)響應(yīng)Fig.2 Dynamical response

確定柔性機(jī)構(gòu)系統(tǒng)的隨機(jī)變量為:驅(qū)動(dòng)力矩M d、摩擦力矩M f(單位n?mm)、驅(qū)動(dòng)時(shí)間t(單位s)、阻尼系數(shù)f以及裝配誤差(為便于計(jì)算,以坐標(biāo)x p和yp表示,單位mm)。表1為隨機(jī)變量設(shè)計(jì)值和方差、100組抽樣數(shù)據(jù)的均值和方差。

3.2 柔性機(jī)構(gòu)模糊響應(yīng)面分析

給定模糊集合Ds的隸屬度μs,本文采用最常用的正態(tài)分布隸屬度函數(shù),設(shè)X(t)為機(jī)構(gòu)在t時(shí)刻的動(dòng)態(tài)響應(yīng),則μ為:

式中,a(t)為模糊參數(shù),根據(jù)專家經(jīng)驗(yàn)確定;b(t)為t時(shí)刻模糊分布的標(biāo)準(zhǔn)差。

根據(jù)表1數(shù)據(jù)進(jìn)行最大角加速度的動(dòng)態(tài)仿真,確定構(gòu)件B2的最大角加速度的設(shè)計(jì)規(guī)定值為aθ2≤4.7 rad/s2。再根據(jù)式(11),在上述分析的基礎(chǔ)上可以計(jì)算由兩個(gè)確定的響應(yīng)面表達(dá)的模糊響應(yīng)面。確定模糊分布參數(shù)b(t)為0.01,通過(guò)一次二階矩方法分別求出對(duì)應(yīng)的可靠度指標(biāo)βL和βU分別為4.689 8和4.710 8,迭代次數(shù)為5次。由式(13)計(jì)算得到一定模糊水平截集下的可靠度,計(jì)算結(jié)果為0.936 2。

4 結(jié)論

考慮狀態(tài)模糊的情況確定柔性機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)可靠度更加符合工程實(shí)際,模糊響應(yīng)面方法為可靠性分析提供了一種新方法。

通過(guò)柔性機(jī)構(gòu)實(shí)例仿真分析,證明該方法具有迭代次數(shù)少,計(jì)算速度快,精度高的優(yōu)點(diǎn),適合于復(fù)雜系統(tǒng)的仿真,尤其在隨機(jī)變量數(shù)量較多的情況下,可以極大縮減計(jì)算時(shí)間,節(jié)約計(jì)算成本。

該方法具有很強(qiáng)的拓展性,可以按照本文方法求解其他運(yùn)動(dòng)參數(shù)的可靠度。

[1]Shabana A A.Flexible Multibody Dynamics:Review of Past and Recent Developments[J].Multibody System Dynamics,1997(1):189-222.

[2]Zateh L A.Theconcept of a linguistic variableand its application to approximate reasoning-I[J].Information Science,1975(8):199-249.

[3]白廣忱,王光遠(yuǎn).系統(tǒng)可靠度的模糊優(yōu)化分配[J].哈爾濱BAI Guangchen,WANG Guangyuan.Fuzzy optimal allocation of system reliability[J].Journal of Harbin Architecture&Civil Engineering Institute,1994,27(6):1-6.

[4]Verma D,Knezevic J.A fuzzy weighted wedgemechanism for feasibility assessment of system reliability during conceptual design[J].Fuzzy Sets And Systems,1996,83:179-187.

[5]LI Bing,HU Meilin,XU Kai.A practical engineering method for fuzzy reliability analysis of mechanical structures[J].Reliability Engineering and System Safety,2000,67:311-315.

[6]董玉革,陳心昭,趙顯德,等.模糊可靠性理論在機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)可靠性分析中的應(yīng)用[J].應(yīng)用科學(xué)學(xué)報(bào),2002,20(3):316-320.DONG Yuge,CHEN Xinzhao,ZHAO Xiande,et al.An application of fuzzy reliability theory in the reliability analysis of mechanism movement[J].Journal of Applied Science,2002,20(3):316-320.

[7]白廣忱,黃洪鐘.機(jī)械系統(tǒng)可靠性的多目標(biāo)模糊優(yōu)化設(shè)計(jì)[J].機(jī)械設(shè)計(jì),1998(1):12-13.BAI Guangchen,HUANG Hongzhong.Multi-objective fuzzy optimization design for the reliability of mechanical systems[J].Mechanical Design,1998(1):12-13.

[8]黃洪鐘,白廣忱.串聯(lián)系統(tǒng)可靠性分配的模糊優(yōu)化方法[J].機(jī)械設(shè)計(jì)與制造,1996(5):10-12.HUANG Hongzhong,BAI Guangchen.Fuzzy optimization of series system reliability apportionment[J].Mechanical Design&Manufacture,1996(5):10-12.

[9]白廣忱,張建國(guó).基于模糊狀態(tài)判據(jù)的應(yīng)力──強(qiáng)度干涉理論[J].機(jī)械設(shè)計(jì)與制造,1998(5):1-2.BAI Guangchen,ZHANG Jianguo.The stress strength interference theory based on fuzzy state criterions[J].Machinery Design&Manufacture,1998(5):1-2.

[10]Bucher C G,Bourgund U.A fast and efficient response surface approach for structural reliability problems[J].Structural Safety.1990,7:57-66.

[11]呂震宙,岳珠峰,張文博.彈性連桿機(jī)構(gòu)廣義剛度可靠性分析的數(shù)值模擬法[J].計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào),2004,21(1):62-66.LüZhenzhou,YUE Zhufeng,ZHANG Wenbo.Numerical simulation method for random-fuzzy reliability analysis of elastic linkage mechanism stiffness[J].Chinese Journal of Computational Mechanics,2004,21(1):62-66.

[12]Akpan U O,Koko T S,Orisamolu I R.Respond surface based fuzzy analysis of structural systems[R].US:AIAA,A00-24744,2000:1 640.

[13]劉長(zhǎng)虹,陳虬,呂震宙,等.工程模糊隨機(jī)結(jié)構(gòu)失效模式的確定方法[J].機(jī)械強(qiáng)度,2001,23(3):302-304.LIU Changhong,CHEN Qiu,LüZhenzhou,et al.Determination for the failure models in the fuzzy-random engineering structures[J].Journal of Mechanical Strength,2001,23(3):302-304.

[14]Paola M D.A method for the probabilistic analysis of nonlinear systems[J].Probabilistic Engineering Mechanics,1995(10):1-10.

[15]呂震宙,岳珠峰.模糊隨機(jī)可靠性分析的統(tǒng)一模型[J].力學(xué)學(xué)報(bào),2004,36(5):533-539.LüZhenzhou,YUE Zhufeng.Unified reliability model for fuzziness and randomness of the basic variables and state variables in structure[J].ACTA MECHANICA SINICA,2004,36(5):533-539.