李 芮，向中富

(重慶交通大學(xué)土木建筑學(xué)院，重慶400074)

較多實(shí)驗(yàn)資料顯示，混凝土在失穩(wěn)斷裂前，縫端存在著類似金屬材料塑性區(qū)那樣的微裂紋區(qū)。由于裂紋方位的不對稱和荷載的不對稱等原因，在混凝土結(jié)構(gòu)中經(jīng)常遇到復(fù)合型裂紋，因此復(fù)合型裂紋的斷裂擴(kuò)展研究有著更加重要的理論意義和實(shí)用價值。

用斷裂與損傷耦合的方法來研究混凝土的破壞理論已成為固體力學(xué)研究的一個前沿課題。H.Horri和 S.Nemat-Nasser［1－2］及 M.F Ashby 和 S.D.Hallam［3］提出的滑動裂紋模型(sliding crack model)得到了不斷的發(fā)展?；瑒恿鸭y模型認(rèn)為:當(dāng)沿主裂紋的剪應(yīng)力超過兩裂紋面間的摩擦阻力時，裂紋面將發(fā)生滑動，從而導(dǎo)致主裂紋兩端翼裂紋的萌生和發(fā)展;翼形裂紋將隨著軸壓力的增加而不斷發(fā)展，逐漸趨于沿主壓應(yīng)力方向擴(kuò)展?？紤]到材料的復(fù)雜性，研究單條裂紋是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，需要考慮多裂紋相互作用的影響。近年來，許多學(xué)者都取得了很多有意義的成果。王元漢等［4］以斜裂紋和翼形裂紋為對象，分別介紹了壓剪斷裂和拉剪斷裂的計(jì)算方法，以一個單向受壓斜裂紋擴(kuò)展過程，說明兩種不同斷裂型式的轉(zhuǎn)換及計(jì)算模擬過程。孫雅珍等［5］應(yīng)用損傷和斷裂的耦合分析方法，研究了混凝土的破壞過程，確定初始損傷區(qū)域與斷裂區(qū)，用損傷力學(xué)的方法數(shù)值模擬了3點(diǎn)彎曲混凝土梁的破壞過程。

筆者考慮斷裂和損傷的耦合關(guān)系，建立了受壓縮混凝土翼裂紋損傷區(qū)與斷裂區(qū)邊界方程，并給出單向受壓混凝土損傷形狀分布圖，最后進(jìn)行了實(shí)例計(jì)算，經(jīng)過對比，本文研究結(jié)果與文獻(xiàn)［4］相近。

1 混凝土的損傷本構(gòu)關(guān)系

試驗(yàn)表明，混凝土在單軸壓縮下的性能和損傷狀況與單軸拉伸時有顯著不同，損傷表現(xiàn)為各向異性。為了分析各向異性損傷模型，Sidoroff提出了能量等價原理，在能量等價原理的基礎(chǔ)上，導(dǎo)出了受損材料的應(yīng)力、應(yīng)變和損傷能量釋放率。Sidoroff提出損傷面的概念，得出各向異性損傷演化方程，令各向異性損傷演化方程中的損傷因子為相同的數(shù)值，轉(zhuǎn)化為各向同性損傷模型，損傷因子為［6］:

式中:ε1，ε2和ε3為3個方向上的主應(yīng)變。

式(2)中當(dāng)應(yīng)變?yōu)樨?fù)時，取值為0;即［x］定義為:

2 翼形裂紋損傷區(qū)與斷裂區(qū)邊界方程建立

式中:D為損傷因子;ε0為損傷發(fā)生時的應(yīng)變;ε定義為:

在引入損傷以后，裂紋尖端將出現(xiàn)一個連續(xù)損傷的區(qū)域，裂紋的擴(kuò)展是連續(xù)損傷的集中化發(fā)展引起的，在損傷區(qū)的外面才是無損區(qū)，裂紋擴(kuò)展的過程就是裂紋尖端附近材料逐漸損傷引起的損傷區(qū)與斷裂區(qū)移動的過程。

將混凝土梁簡化成平面應(yīng)力問題，設(shè)受壓縮載荷作用后，梁中斜裂紋在兩裂紋尖端都擴(kuò)展了一定長度，形成了如圖1的翼形裂紋。

圖1 受壓縮載荷作用下的翼形裂紋板Fig.1 Plate with a wing crack under compression

設(shè)裂紋物體受垂直壓力σV和水平壓力σH的作用，主裂紋長為2 a，兩端子裂紋長為l，它們之間夾角為θ。

對圖 1 所示情形，Nemat-Nasser和 Horii［7］用復(fù)變函數(shù)方法計(jì)算過裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子，后來又給出了其近似公式［8］:

式中:l*是相對翼形裂紋的長度［2］，l*=0.27a;τeff表示主裂紋上的有效應(yīng)力，且:

式中:τ和σ分別為主裂紋面上的剪應(yīng)力和法向應(yīng)力，如式(5):

對圖1所示的平面應(yīng)力狀態(tài)下ε3<0，取圖2所示的裂紋尖端極坐標(biāo)系，可推導(dǎo)出式(2)中定義的ε:

式中:E為楊氏模量;υ為泊松比。

將式(6)代入式(1)，得到翼型裂紋的損傷區(qū)和斷裂區(qū)邊界方程:

圖2 裂紋尖端坐標(biāo)系Fig.2 Coordinate system of crack tip

3 實(shí)例分析

3.1 單向受壓的混凝土梁翼形裂紋

圖3表示當(dāng)σH=0時的混凝土梁受力示意圖。

圖3 單向受壓的翼形裂紋板Fig.3 Plate with a wing crack under unidirectional compression

D=0為損傷區(qū)與無損區(qū)的邊界，D=0.75為斷裂區(qū)與無損區(qū)的邊界。按照最大周向應(yīng)力理論及其它實(shí)驗(yàn)結(jié)果，取斷裂角φ01=70.5°。如圖4所示，當(dāng)子裂紋傾角φ01=70.5°時，畫出斜裂紋不同傾角的損傷區(qū)形狀。

圖4 不同傾角翼裂紋損傷區(qū)(D=0)的分布Fig.4 Distribution of damage zones due to wingcracks at different angles

以主裂紋傾角β=54°為例，畫出翼裂紋尖端的損傷場，如圖5。

圖5 β=54°時裂紋尖端損傷等值線分布Fig.5 Isoline distubution of damage zones near crack tips when β =54°

3.2 翼裂紋起裂點(diǎn)的坐標(biāo)

為了說明本文的計(jì)算方法及過程，選用單向受壓的翼裂紋混凝土試件作為算例。將表1中的幾何及物理參數(shù)代入式(7)。

取第二次擴(kuò)展的開裂角 φ02= －4.7°［4］，則計(jì)算得出:r=0.199 m。

表1 混凝土試件的幾何與物理參數(shù)Tab.1 The properties of the concrete specimen

所以當(dāng)主裂紋傾角為54°時，混凝土試件翼形裂紋起裂點(diǎn)的坐標(biāo)為(4.7°，199 mm)，這與文獻(xiàn)［4］的結(jié)果接近。

4 結(jié)論

從以上分析可以得出:

1)混凝土在受壓載荷作用下，由斜裂紋擴(kuò)展成為翼形裂紋。筆者應(yīng)用西多霍夫損傷模型和斷裂力學(xué)耦合分析方法，以單向受壓的翼形裂紋為例，探討了翼形裂紋損傷區(qū)與斷裂區(qū)的邊界方程。

2)討論并確定了混凝土翼形裂紋起裂點(diǎn)的坐標(biāo)，通過與其它理論結(jié)果的比較，驗(yàn)證了本文方法的正確性。

3)按斷裂損傷耦合理論，對混凝土單向受壓翼形裂紋損傷與斷裂區(qū)邊界方程進(jìn)行分析的初步嘗試，同時為研究混凝土翼裂紋的擴(kuò)展提供了一個新的思路。

［1］Horii H，Nemat N S.Compression-induced microcrack growth in brittle solids:axial splitting and shear-failure［J］.Journal of Geophysical Research，1985(90):3105－3125.

［2］Horii H，Nemat N S.Brittle failure in compression:splitting，faulting and brittle-ductile transition ［J］.Phil.Trans.R.Soc.Lond，1986，319(A):337 －374.

［3］Ashby M F，Hallam S D.The failure of brittle solids containing small cracks under compressive stress states［J］.Acta Metallurgica，1986(34):497 －510.

［4］王元漢，徐鉞，譚國煥，等.巖體斷裂的破壞機(jī)理與計(jì)算模擬［J］.巖石力學(xué)與工程學(xué)報，2000，19(4):449 －452.

［5］孫雅珍，余天慶.混凝土破壞的斷裂與損傷耦合分析［J］.沈陽建筑大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2006，22(1):53－56.

［6］Sidoroff F.Description of anisotropic damage application to elasticity［C］//Proceeding of IUTAM Colloquium on Physical Nonlinearities in Structure Analysis.Berlin:Springer-Verlag，1981:237－244.

［7］Horii H，Nemat N S.Compression-induced nonplanar crack extension with application to splitting，explosion and rock burst［J］.Journal of Geophysical Research，1982(87):6805 －6821.