宋毅鋒， 卓永寧

(電子科技大學 通信抗干擾技術(shù)國家級重點實驗室，四川 成都 610054)

0 引言

Chirp信號具有大時間帶寬積，低功耗和穿透性強等優(yōu)點，所以Chirp擴頻系統(tǒng)在2007年被IEEE定為UWB標準之一。此系統(tǒng)不但具有一般超寬帶系統(tǒng)的優(yōu)點，而且傳輸距離有大幅度地提高，有效地擴大UWB的適用范圍。本文提出了一種基于快速偽譜修正的四階累積量TLS-ESPRIT算法，在原來的四階累積量TLS-ESPRIT算法的基礎上，增加了快速偽譜修正，不但能有較好地估計多徑時延，而且能在TLS-ESPRIT算法階數(shù)估計不準確的情況下，有效地識別估計結(jié)果中的虛徑，加以剔除，使得信道的幅度估計更加準確。

1 系統(tǒng)模型

信源發(fā)射的Chirp信號x(t)，表達式如下所示：

其中f0為Chirp信號的起始頻率，B為信號帶寬，Tc為信號持續(xù)時間，而信號的調(diào)頻斜率k0=B/Tc。

信號通過信道后，接收端得到的離散化信號y(n)為：

其中，Ts為信道采樣的周期，ys(n)表示發(fā)射信號通過信道后各多徑分量的疊加，yn(n)表示信道上的高斯白（或色）噪聲，且與ys(n)統(tǒng)計獨立，αi表示信道中第i條多徑的幅度和相位，τi表示第i條多徑的時間延時。

所提算法就是為了較準確地估計τi和|αi|的值(i=1,2,…,q)。本文假設其他參數(shù)在接受端是已知的。

2 偽譜修正的四階累積量TLS-ESPRIT算法

2.1 Chirp信號時變互四階累積量

Chirp信號的互四階累積量切片如下所示[1-2]：

因為 y(n)中的信號和噪聲互不相關，且 x(t)的均值為 0，則Chirp信號時變互四階累積量為：

由上式易知對Chirp信號求時變互四階累積量后，將一個非平穩(wěn)的二階相位的線性調(diào)頻信號轉(zhuǎn)化成為一組平穩(wěn)的一階相位的諧波信號。因此信道時延的估計轉(zhuǎn)化成為一組諧波信號的相位估計。同時，由于高階累積量的特性，高斯白（或色）噪聲都被去除了，因此提高了參數(shù)估計的精度。

2.2 TLS-ESPRIT算法

將兩矩陣作差得到：

易知此二矩陣的廣義特征值λi既為 exp，繼而解出時間延遲τi。

但是由于普通的ESPRIT算法對于短數(shù)據(jù)可靠性差，而且會出現(xiàn)病態(tài)的特征值。所以本文采用TLS-ESPRIT算法求解。將作SVD分解得到：

的最大整數(shù)i作為多徑階數(shù)q的估計，其中ρ為相鄰兩個廣義特征值比值的判決門限0＜ρ＜1。

最后根據(jù)下式計算出τi，其中 ω(λi)為 λi的輻角：

在仿真設計和工程實現(xiàn)的過程中，Chirp信號帶寬 B，Chirp信號持續(xù)時間Tc，抽樣周期Ts這三個參數(shù)要服從以下的三個方面的關系：

①根據(jù)帶通采樣定理，當抽樣頻率不小于信號帶寬時，抽樣信號的頻譜才不會發(fā)生交疊。所以有

②由于間延遲 τi始終為正，可將 ω(λi)定義在區(qū)間[0,2π]上，則諧波頻率估計就不會發(fā)生2π相位的周期模糊。這樣，本算法在不進行解周期模糊的情況下，可以估計的最大時間延遲可是并非越大越好。因為數(shù)據(jù) λi肯定存在估計偏差，在很大的情況下，τi的估計偏差會被線性放大。所以τi的分辨率和測量范圍就構(gòu)成了一組矛盾，因而最好選擇略為大于信道實際的最大多徑時延；

③在Chirp信號的一個持續(xù)時間Tc內(nèi)，為了得到更多的信息，就必須要求的采樣點數(shù)盡可能多，而由于實際電路的限制，Ts不可能取得很小，因此在兼顧第②點的情況下，可以適當?shù)脑龃骉c。

2.3 快速偽譜修正

由2.2的TLS-ESPRIT算法的描述可知，信號的時延估計僅僅用到了四階累積量矩陣SVD分解后的奇異值矩陣S。為了更有效地使用接收到的數(shù)據(jù)，本文考慮在奇異值矩陣S的基礎上，再利用矩陣 V的信息進行時延估計。由文獻[4]有

vi為酉矩陣V的列向量，對上式的高階方程的求根，可以等效為對構(gòu)造偽譜p(τi)求極大值：

而偽譜的極點就是方程的零點，可以通過對p(τi)進行譜峰搜索的辦法求解。譜峰搜索前，事先確定搜索步長 Δt和極大值門限ξ，搜索步驟如下：初始化參數(shù)：i=1，k=0：

①將時延 τi作為中心點，確定搜索范圍分別計算各點的偽譜；

2.4 信道幅度的估計

由Chirp信號的表達式，容易得到下面的線性方程組：由于此方程組的系數(shù)矩陣本身就是有誤差的，所以我們采用TSL 方法求解|αi|。

3 算法仿真

在仿真試驗中，相關參數(shù)的設計如下：Chirp信號的起始頻率 f0=2.45 GHz，信號帶寬 B=2.45 GHz，信號周期Tc=1000 ns，信號抽樣時間Ts=5 ns，ρ=0.9 ?？芍?，參數(shù)設計滿足 2.2所述的三個關系式。仿真信道模型采用 IEEE 802.15.4a所述的信道[5]，信道種類選擇cm_num=9（代表鄉(xiāng)村，雪地等開闊戶外NLOS環(huán)境），信道上附加RSN=5 dB的加性高斯白噪聲。偽譜譜峰搜索的步長定為step=1/ 6 ns。得到圖1所示的三個信號。

圖1 TLS-ESPRIT和全范圍偽譜搜索算法的時延估計對比

由于采樣數(shù)據(jù)有限，Chirp信號的數(shù)學期望不會嚴格等于零，而且還存在較大的高斯白噪聲干擾，這些原因都造成了時延估計的誤差。再加上四階累積量 TLS-ESPRIT算法不進行 2.5所述步驟③（偽譜修正），因而只使用了四階累積量矩陣SVD分解后的奇異值矩陣S的信息。

在圖1(b)所示的第二條仿真曲線中，第四條多徑就與實際信道有 9 ns的偏差。數(shù)據(jù)的不理想甚至會造成多徑階數(shù)估計的錯誤，產(chǎn)生虛徑。例如第三條多徑在實際信道中并不存在。而大范圍偽譜搜索算法而省去了 2.5所述步驟②（TLS-ESPRIT算法時延預估），注重了對V矩陣信息的使用，而沒能有效地利用S矩陣。

在圖1(c)所示的第三條仿真曲線中，雖有效地估計了137.8 ns處的多徑，但是卻在102.8 ns處產(chǎn)生了一條虛徑。同時，偽譜搜索算法事先也要進行階數(shù)估計，而大范圍的譜峰搜索也極大地增加了算法的計算量。綜上，以上兩種算法單獨使用效果均不理想。

與單純的TLS-ESPRIT算法比較，圖2(b)顯示新算法性能有了顯著的改善。它不但修正了第四條多徑的數(shù)值，而且判定出第三條多徑是虛徑。在時延估計比較準確的情況下，再進行多徑幅度的估計就比較準確。由上圖看出，估計出的信道幅度基本上顯示了多徑間能量的相對關系。由此可以看出，綜合使用了奇異值矩陣S和酉矩陣V信息的改進算法，信道估計性能有了明顯的提高。

圖2 快速偽譜修正四階累積量TLS-ESPRIT信道估計結(jié)果

4 結(jié)語

本文以Chirp信號為信源,低速UWB信道(IEEE 802.15.4a)為傳播環(huán)境，提出了一種基于快速偽譜修正的四階累積量TLS-ESPRIT算法。與單純的四階累積量TLS-ESPRIT算法和大范圍偽譜搜索算法相比，該算法除了具有四階累積量超分辨算法既有的優(yōu)點外，還兩個新的好處：

①有效地提高了信道估計的性能，不但修正了多徑的時延，還剔除了虛徑；

②算法的復雜度增加是很有限的，它只在很小的范圍內(nèi)進行譜峰搜索，并且一遇到有效峰值就停止搜索，確定修正結(jié)果。

此外本文還指出了仿真設計和工程應用中相關參數(shù)需要服從的三方面關系。

[1] 張賢達.現(xiàn)代信號處理[M].第2版.北京:清華大學出版社,2002:263-274.

[2] 倪紅艷,卓東風,肖蕾蕾,等,基于四階累積量的子空間盲信道估計[J].通信技術(shù),2009,42(01):107-109.

[3] Natasha D, Raviraj A, Ramy F. Multipath Delay Estimations Using Matrix Pencil[C]//IEEE Wireless Communications and Networking Conference. New Orleans: IEEE, 2003:632-635.

[4] Li X R, Pahlavan K. Super-resolution TOA Estimation with Diversity for Indoor Geolocation[J]. IEEE Transactions on Wireless Communications, 2004, 1(03): 224–234.

[5] Molisch A F,Balakrishnan K,Chong C C,et al.IEEE 802.15-04-0662-02-004a—2005, IEEE802.15.4a Channel Model- Final Report[S]. New York: IEEE.